现代控制理论

1、现代控制理论知识点总结第1章第6章总结state variablestate vectorstate spacestate space description：state equation and output equationMIMO (multiple-input multiple-output)linear time-varying (LTV) systemlinear time-invariant (LTI) system（A： system matrix or coefficient matrix；B：input matrix；C：output matrix；D：forward ma

2、trixTransfer function matrix Eigenvalue、Eigenvectorcontrollable 、diagonal 、Jordan canonical formState transformation第1章：线性系统的状态空间描述2022/8/163由输入-输出描述 状态空间描述确定参数A B C D选取适当状态变量 由微分方程（m=0,m=n两个结论）由传递函数G(s)直接分解(mn,m=n)并行分解(D(s)有重根;无重根)方块图法（等价系统）实现问题第1章：线性系统的状态空间描述由微分方程描述导出状态空间描述(Obtaining State Space D

3、escription from Differential Equation)结论1 m=0时，设微分方程描述为如下形式，则其对应的一个状态空间描述为：结论2 时，设微分方程描述为如下形式，则对应的一个状态空间描述为： 由传递函数导出状态空间描述（Obtaining State Space Description from Transfer Function）直接分解法(Direct Decomposition) 并行分解法(Parallel Decomposition)(1.50)定义：当 时，系统(1.50)是真有理系统(proper rational system)；当mn时,系统(1.5

4、0)是严真系统(strictly proper system)研究对象是SISO的常系数系统，且它的传递函数为：(1.58) and (1.60)给出的状态空间描述, 称为能控规范型/能控标准型(controllable canonical form)(1.58)(1.60)State space description of 严真系统(strictly proper system) ：(1.51) 结论1：直接分解法(Direct Decomposition)Then, the state space description of proper rational system （真有理系统）

5、can be represented as: (1.69)Where直接分解法(Direct Decomposition)(1.61)结论2：(1.79)Jordan canonical formis the characteristic root of multiplicity r, are the other distinct characteristic roots of D(s).Method 2: Parallel Decomposition（并行分解）结论1:（约当规范型）where , can be computed by (1.80)Note that, k0=0, if mn

6、 or b0=0.if is an eigenvalue (特征根) of multiplicity 1, in other words, the characteristic roots of system are all distinct（n个两两互异的特征根）, the state space description (1.79) and (1.80) can be reduced to a diagonal canonical form：(1.81)(1.82)结论2（对角线规范型）根据表1.1，将要求系统换化为其等价系统将每一个积分器的输出选为系统的状态变量根据等价系统中状态变量 与

7、其微分 的关系写出微分方程组，并进而整理成为状态方程的形式根据等价系统列写输出方程最后得到状态空间描述：由方框图得出状态空间描述Where A=,B=,C=,D=,X=x1,xnTThe polynomial about is called the characteristic polynomial（特征多项式）(1.101)is called the characteristic equation（特征方程）If the polynomial can be written in factored form as(1.102)The roots of the characteristic eq

8、uation are called the eigenvalues （特征值/特征根）of A1.5 DefinitionsConsider the LTI system described by the state equation为A的特征矩阵（characteristic matrix）当A有重根时，广义特征向量(generalized eigenvectors)的计算(1.105)Any nonzero vectorwhich satisfies the matrix equation(1.104)is called the eigenvector (特征向量) of A associ

9、ated with eigenvalues . If A has distinct eigenvalues, the eigenvalues can besolved by (1.104) .特征向量主要应用于由状态变换求对角线规范型或约当规范型is the characteristic root of multiplicity m If a system described by (1.117) and A has distinct eigenvalues , there is a nonsingular transformationwhich transforms the general

10、state description (1.117) into the diagonal canonical form (1.120)(1.120)Whereis a diagonal matrix(1.117) 由状态变换得对角线规范型 1.5.4-转化为对角线规范型1、通过状态变换 ，将一般状态空间描述转化为对角线规范形。前提：系统矩阵A的n个特征根两两互异。Step：1）由特征方程 求出n个互异特征根2）根据方程 求出特征根对应的特征向量 3）得出状态转移矩阵 和4）代入状态变换后状态空间描述 ，得到对角线规范形： 利用范德蒙矩阵转化为对角线规范型2、通过状态变换 ，将一般状态空间描述转化

11、为对角线规范型。前提：系统矩阵A的n个特征根两两互异且A为友矩阵。Step：1）由特征方程 求出n个互异特征根2）根据Vandermonde矩阵写出状态转移矩阵P 4）代入状态变换后状态空间描述 ，得到对角线规范形： 和1.5.5-转化为约当规范形1、通过状态变换 ，将一般状态空间描述转化为对角线规范形。前提：系统矩阵A有m重特征根 ，n-m个互异的特征根Step：1）由特征方程 求出n个特征根2）如果 ，根据方程 求出 对应的m个线性无关的特征向量 ；再根据 求出n-m个互异特征根对应的线性无关的特征向量 3）得出状态转移矩阵 和4）代入状态变换后状态空间描述 ，得到约当规范型 (1.124

12、-1.125)转化为约当规范型2、通过状态变换 ，将一般状态空间描述转化为约当规范形。前提：系统矩阵A有m重特征根 ，n-m个互异的特征根Step：1）由特征方程 求出n个特征根2）如果 , 根据方程 求出 对应的1个线性无关的特征向量 ；再根据（1.105）求出m-1个广义特征向量 ；然后根据 求出n-m个互异特征根 对应的线性无关的特征向量 3）得出状态转移矩阵 和4）代入状态变换后状态空间描述 ，得到约当规范型 (1.124，1.126)第2章：线性时不变系统时间响应1、定义法2、拉普拉斯变换法（预解矩阵法）3、相似变换法（对角、约当）4、凯莱-哈密尔顿法会求其导数方法2 拉普拉斯变换法

13、（Laplace transform method）/预解矩阵法Consider the homogeneous state equation矩阵指数函数（matrix exponential function）的计算 方法3 相似变换法(similarity transformation method) /特征值法：(2.29)Case 1:更一般的形式见P46方法4 Cayley-Hamilton Theorem Method（凯莱-哈密顿定理法） Case 1 Matrix A has n distinct eigenvaluesCase 2 Matrix A has n multipl

14、icity eigenvalue输出响应：y(t)=Cx(t)+Du(t)即：LTI系统的状态响应（解）零输入响应（解）零状态响应（解）1、Sylverster criterion（Th 3.1-3.5）V(x)和P正定、负定2、李亚普诺夫意义下稳定的基本概念、定理 李亚普诺夫第一方法（间接法，Th3.6） 李亚普诺夫第二方法（充分条件：Th3.7-3.10； 充要条件： LTI的应用（Th3.11） Lyapunov equation ， P Lyapunov function 第3章：控制系统的稳定性1、Sylvester criterion（赛尔维斯特准则）Theorem 3.6 对于非

15、线性系统（3.15）如果线性化微分方程 (3.26)，即雅可比矩阵J的特征根都具有负实部，那么平衡点 在它的一个小范围内是渐近稳定的 。2. 如果线性化微分方程 (3.26)，即雅可比矩阵J的特征根至少有一个有正实部，那么平衡点 在它的一个小范围内是不稳定的 。3. 如果线性化微分方程 (3.26)，即雅可比矩阵J的一些特征根中有零实部，而其他的特征根具有负实部，那么平衡点 取决于高阶泰勒展式g(x)，此时， 在其小范围内可能是稳定的，也可能是不稳定的或渐近稳定的。 Lyapunov First Method （李亚普诺夫第一方法）先求平衡点，写出Jacobi矩阵J，得到该平衡点处的线性化系统

16、（系统矩阵：将平衡点代入Jacobi矩阵），最后根据定理3.6，也就是线性化系统的系统矩阵J，看它的特征根的实部的情况。Lyapunov 2nd method在LTI中的应用：充要条件能控性判据能观性判据PBH 秩判据秩判据格拉姆判据第4章：线性系统的能控性和能观性对角线规范形秩判据能控性判据能观性判据没有零列向量没有零行向量约当规范形秩判据末行组成的矩阵是行线性无关的首列组成的矩阵是列线性无关的非奇异状态变换不改变系统的能控性与能观性SISO LTI 系统的能控规范型(Th 4.12）SISO LTI 系统的能观测规范型(Th 4.13） 对偶性：对偶系统、对偶性原理Th 4.14Th 4.

17、15 输入-输出描述只能描述完全能控完全能观的子系统Realization of SISO System Minimal Realization（最小实现） 一般的求取传递函数阵G(s)的最小实现的步骤是：对于给定的传递函数阵G(s)1）判断G(s)的严真性，严真则进行下一步；为真，将原G(s)分解成严真传函矩阵 ，对 进行下一步2）先初选出一种实现，最方便的方法是选取能控规范形实现或者能观规范形实现；3）对于上面初选的实现，判断其能控或能观性，若完全能控或能观，则这个完全能控能观的规范形实现即是G(s)的最小实现；若初选的实现是不完全能控或能观的，那么对其进行能控或能观规范分解，找出其完全能

18、控且完全能观的部分，于是这个完全能控能观的部分就是给定的传递函数阵G(s)的最小实现。第5章：LTI系统的时间域综合状态反馈控制的特性（不改变能控性，可能改变能观性; 改变极点,但不改变零点） 单输入-单输出 LTI系统极点配置：可配置的条件与算法全维状态观测器：形式（状态空间描述）、可配置条件、算法包含观测器的状态反馈系统的特性： 状态空间描述 特性（维数、特征根集合、分离性原理、传递函数矩 阵、能控性等）引入状态反馈后的闭环系统状态空间描述：transfer function of the closed-loop system:open-loop system:State Feedback Control 极点配置定理可配置的条件Th5.2：线性LTI闭环系统可通过状态反馈任意配置其全部极点的充分必要条件是：原开环系统为完全能控的。 极点配置算法(一)第 1 步 ：计算 的特征多项式，即第 2 步 ：计算由 所决定的期望特征多项式第 0 步 ：判断系统能控性，若能控则进入下一步；若不能控，则终止第 3 步 ：计算第 4 步 ：按(4.43)，构造变换矩阵第 5 步 ：求第 6 步 ：求状态反馈增益矩阵第 7 步 ：下结论 极点配置算法(二)第 0 步 ：判断系统能控性，若能控则进入下一步；若不能控，则终止第 1 步 ：令 ,并计算(A-bK) 的特征多项式，