等腰三角形难题

1、等腰三角形补充练习一选择题（共3 小题）1在ABC中，B=30，点D 在 BC边上，点E在 AC边上，AD=BD， DE=CE， TOC o 1-5 h z 若ADE为等腰三角形，则C的度数为（）A20B20或30C30或40D20或402如图，网格中的每个小正方形的边长为1 ， A、 B 是格点，以A、 B、 C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）A 7 个 B 8 个 C 9 个 D 10 个3如图所示，在ABC中，AB=AC，BAD=，且AE=AD，则EDC=（A B C D二填空题（共14小题）5在同一平面内，已知点P 在等边ABC外部，且与等边ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的

2、三角形都是等腰三角形，则APC的度数为6等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45，则这个三角形的底角为7有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是度8如图，BAC=( 0 AB，点P为ABC所在平面内一点，且点P与 ABC的任意两个顶点构成PAB，PBC，PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为个10如图所示，ABC为等边三角形，AQ=PQ， PR=PS， PR AB于 R， PS AC于S，则四个结论正确的是 P 在A 的平分线上； AS=AR； QP AR； BRPQSP11如图，在ABA1中，B=20， AB=

3、A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到 A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到 A3，使得A2A3=A2D； ，按此做 TOC o 1-5 h z 法进行下去，An 的度数为12已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9 和 12 两部分，则腰长为，底边长为13 如图，等边三角形ABC中， D、 E分别为AB、 BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与 CD交于点F， AG CD于点G，则=14如图所示，在ABC中，AB=AC，BAC=80， P 在 ABC内，PBC=10，PCB=30，则PAB= 15线段AB 和直线l 在同一平面上则下列判断可能成立的有个直线l

4、 上恰好只有个1 点P，使ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个2 点P，使ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个3 点P，使ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个4 点P，使ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个5 点 P，使ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6 点 P，使ABP为等腰三角形16如图，ABC为正三角形，面积为S D1， E1， F1 分别是ABC三边上的点，且 AD1=BE1=CF1= AB，可得D1E1F1，则D1E1F1 的面积S1=；如，D2，E2， F2 分别是ABC 三边上的点，且AD2=S2=；按照这样的思路探索下去，Dn，且 ADn=BEn=CFn=AB，则

5、Sn=17已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为18如图，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+ 2=度E2=CF2= AB，则D2E2F2 的面积En， Fn 分别是ABC三边上的点，x，则x的取值范围是2017年 08 月 23 日 139*2832 的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共4 小题）（ 2016 秋 ?资中县期末）在ABC中，B=30，点D 在 BC边上，点E在 AC边上，AD=BD， DE=CE，若ADE为等腰三角形，则C的度数为（）A20B20或 30 C30或 40 D 20或40【解答】解：如图所示，AD=BD，B=30，ADC=6

6、0， DE=CE，可设C= EDC= ，则ADE=60 ，AED=2，根据三角形内角和定理可得，DAE=120 ，分三种情况：当AE=AD时，有60 =2，解得 =20；当DA=DE时，有120 =2，解得 =40；当EA=ED时，有120 =60 ，方程无解，综上所述，C的度数为20或 40，故选：D（ 2016 春 ?乳山市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1， A、 B 是格点，以A、 B、 C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）A 7 个 B 8 个 C 9 个 D 10 个 TOC o 1-5 h z 【解答】 解：如图所示，以A为圆心， AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点

7、C3、C8、 C7即为点C的位置；以 B为圆心，AB 长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、 C2、 C6、 C4、 C5即为点C的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点故以A、 B、 C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个故选（ B）3（ 2015?天心区校级自主招生）如图， 已知等边ABC外有一点P， P落在 BAC内，设P 到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3h1=6，那么等边 ABC的面积为（）A 4B 8C 9D 12【解答】 解：设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、 PB、 PC，则S PAB+S PAC S PCB=S CAB，即ah

8、1+ ah2ah3=，a( h2+h3 h1) =，h2+h3 h1=6， a=4 ， S CAB=12 ，故选(D) 4 （ 1998?杭州）如图所示，在ABC中， AB=AC， BAD=， 且 AE=AD， 则EDC=CD解：根据题意：在ABC中，AB=ACB= CAE=ADADE= AED，即B+ EDC= C+ EDC化简可得： =2 EDCEDC=故选 A14 小题）（ 2016?江西模拟）在同一平面内，已知点P 在等边 ABC外部，且与等边ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则APC的度数为15或 30或 60或 75或 150 【解答】 解：根据点P在等边A

9、BC外部，且与等边ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，作出如下图形：由图可得：AP1C=15，AP2C=30，AP3C=60，AP4C=75，AP5C=150 故答案为：15或 30或 60或 75或 150（ 2016 秋 ?东阿县期中）等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45，则这个三角形的底角为67.5或 22.5 【解答】 解：有两种情况；（ 1）如图，当ABC是锐角三角形时，BD AC于 D，则ADB=90，已知ABD=45，A=90 45 =45， AB=AC，ABC= C= (180 45) =67.5；2）如图，当EFG是钝角三角形时，FH EG于 H，

10、已知HFE=45，HEF=90 45 =45，FEG=180 45 =135， EF=EG，EFG= G= (180 135) =22.5 ，故答案为：67.5或 22.5（ 2013?香坊区三模）有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是36或 60 度【解答】 解：假设等腰三角形甲为ABC，等腰三角形乙为DEF（如图所示）顶角为D 根据题中的条件，甲的底长等于乙的腰长，甲的底角等于乙的顶角，我们可以将D 挪到B点，使BC与 DE重合，DF与 AB重合，如果 A为锐角，则F点在AB边上，由于CF=AC，由图知是不可能的如果 A为钝角

11、，则F点在 AB延长线上，由于CF=AC，得知乙的底角=2倍的顶角=2倍甲的底角，故可以解得甲的底角是36 度；当等腰三角形甲和乙都是等边三角形时，1= 2= 3=60，即甲的底角是60故答案是：36或 60（ 2013?泰州一模）如图，BAC=（ 0 90） ，现只用4 根等长的小棒将 BAC固定，从点 A1 开始依次向右摆放，其中A1A2为第1 根小棒，且 A1A2=AA1，则角 的取值范围是18 22.5 【解答】解：A1A2=AA11= A2A1A3=2，2= A2A4A3= +2 =3，3= A2A4A3+ =4，18 AB，点P 为ABC所在平面内一点，且点P 与 ABC的任意两个

12、顶点构成PAB，PBC，PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为6 个解：如图所示，作AB的垂直平分线，ABC的外心P1 为满足条件的一个点，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、 P3为满足条件的点，分别以点A、B 为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，分别以点A、B 为圆心，以AB 长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点， TOC o 1-5 h z 综上所述，满足条件的所有点P 的个数为6故答案为：6（ 2013?安徽模拟）如图所示，ABC为等边三角形，AQ=PQ， PR=PS， PRAB于 R， PS AC于 S，则四个结论正确的是 P 在 A 的平分线上；

13、 AS=AR； QP AR； BRPQSP【解答】解：PR=PS， PR AB， PS AC， P 在 A 的平分线上，在 Rt ARP和 Rt ASP中， Rt ARP Rt ASP（ HL） ， AS=AR， QAP= PAR， AQ=PQ，PAR= QPA，QPA= QAR QP AR，ABC为等边三角形，B= C= BAC=60，PAR= QPA=30，PQS=60，在BRP和QSP中，BRPQSP（ AAS） ，项四个结论都正确，故答案为 TOC o 1-5 h z （ 2012?贵阳）如图，在ABA1中，B=20， AB=A1B，在A1 B上取一点C，延长AA1 到A2，使得A1A

14、2=A1C；在A2C 上取一点D，延长A1A2 到A3，使得A2A3=A2D； ，按此做法进行下去，An的度数为解：在ABA1 中，B=20， AB=A1B，BA1A=80，A1A2=A1C，BA1A是A1A2C的外角，CA2A1=40； DA3A2=20，EA4A3=10， TOC o 1-5 h z An=故答案为：（ 2012?枣阳市校级模拟）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和 12 两部分，则腰长为8或 6 ，底边长为5 或 9 【解答】 解：根据题意画出图形，如图所示，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x， BC=y， BD是腰上的中线， AD=DC=x，若AB+AD 的长为

15、12，则2x+x=12， TOC o 1-5 h z 解得x=4，则 x+y=9，即4+y=9，解得y=5；若AB+AD 的长为9，则 2x+x=9，解得x=3，则 x+y=12，即3+y=12，解得y=9；所以等腰三角形的底边为5 时，腰长为8；等腰三角形的底边为9 时，腰长为6；故答案为：8 或 6； 5 或 9（ 2011?济宁）如图，等边三角形ABC中，D、 E分别为AB、 BC边上的两动点，且总使AD=BE， AE与 CD交于点F， AG CD于点G，则=解：AD=BE，CE=BD，ABC，CAE DCB，DCB= CAE，AFG= CAF+ ACF= ACF+ DCB=60，AG

16、CD，FAG=30， FG： AF= 故答案为：（ 2011?鄂州校级模拟）如图所示，在ABC中，AB=AC，BAC=80， P在ABC内，PBC=10，PCB=30，则PAB= 70解：在 BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DCAD=AB=AC，DAC= BACBAD=20，ACD= ADC=80，AB=AC， BAC=80，ABC= ACB=50，CDB=140= BPC，又DCB=30= PCB， BC=CB，BDCBPC， PC=DC，又PCD=60，DPC是等边三角形，APD APC，DAP= CAP= DAC= 20=10，PAB= DAP+ DAB=10+

17、60 =70 或由BDCBPC， BP=BD=BABAP= BPA又ABP= ABCPBC=40BAP=（ 180 40） /2=70故答案为：70（ 2011?海曙区模拟）线段AB 和直线 l 在同一平面上则下列判断可能成立的有 5 个直线l 上恰好只有个1点P，使ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个2点P，使ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个3点P，使ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个4点P，使ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个5点P，使ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P，使ABP为等腰三角形【解答】 解：要使APB 是等腰三角形，分为三种情况：AP=BP（即作AB

18、 的垂直平分线于直线的交点，即有一个点）直线 l 上恰好只有个1 点 P， 使 ABP为等腰三角形正确；AB=AP（以A为圆心，以AB为半径画弧，交直线于两点），即直线 l 上恰好只有个2 点 P，使ABP为等腰三角形正确；直线 l 上恰好只有个3 点 P，使ABP为等腰三角形正确；AB=BP（以B为圆心，以AB为半径画弧，交直线于两点）即直线 l 上恰好只有个4 点 P，使ABP为等腰三角形正确；直线 l 上恰好只有个5 点 P，使ABP为等腰三角形正确； 1+2+2=5，直线 l 上恰好只有个6 点 P，使ABP为等腰三角形错误；故答案为：5（ 2011?拱墅区校级模拟）如图，ABC为正三角形，面积为S D1， E1， F1分别是ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1= AB，可得D1E1F1，则D1E1F1 的面积S1=S ； 如，D2，E2，F2分别是ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB，则D2E2F2 的面积S2