D63二阶常系数非齐次线性微分方程课件

1、三、常系数二阶线性齐次微分方程的通解:特征方程:实根 特 征 根通 解第1页，共23页。1. 求方程的通解.方程的通解为课堂练习2. 求方程的通解.方程的通解为第2页，共23页。四、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例4. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.第3页，共23页。

2、据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力位移满足定解问题:第4页，共23页。方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )第5页，共23页。解的特征:简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: 固有频率 (仅由系统特性确定)第6页，共23页。方程:特征方程:特征根:小阻尼: n k临界阻尼: n = k 解的特征解的特征解的特征第7页，共23页。小阻尼自由振动解的特征 : 由初始条件确定任意常数后变形运动周期:振幅: 衰减很快,随时间 t 的增大物体趋于平衡位置.第8页，共23页。大阻尼解的特征:( n k )1) 无振荡现象; 此

3、图参数: 2) 对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.第9页，共23页。临界阻尼解的特征 :( n = k )任意常数由初始条件定, 最多只与 t 轴交于一点; 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.2) 无振荡现象 ;此图参数: 第10页，共23页。二阶常系数非齐次线性微分方程 第六节一、二、 第六章 （略）第11页，共23页。一、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 1.则是非齐次方程的通解 .证: 将代入方程左端, 得第12页，共23页。是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如, 方程有特解对应齐次方程

4、有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .第13页，共23页。二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法第14页，共23页。一、 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 .(1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为Q (x) 为 m 次待定系数多项式第15页，共23页。(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式,故特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特

5、解形式为小结对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解第16页，共23页。例1.的一个特解.解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为第17页，共23页。例2. 的通解. 解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为第18页，共23页。 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为（略）3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.常系数二阶线性非齐次微分方程的特解:第19页，共23页。1. 求方程 y a2 y ex的通解. （P365, 1(2)） 课堂练习3. 写出方程的特解形式. 2. 求特解： y4y5 y|x0 1 y|x0 0 . ( P366, 3(2) )( P365, 2(1) )第20页，共2