万有引力练习题

1、 万有引力练习题如图（1）所示，质量为M、半径为R的匀质薄球壳内任意一点P处有一点质量m.以P为顶点作两对顶的很小的小圆锥，它们在球壳面上分别截得很小的面积元A、A.12试证：（1）两小面积元A、A的质量元对点处P点质量m所施引力之和为零。12（2）整个球壳对壳内任意一点处的质点的合引力为零（牛顿方法）。（3）求匀质球体（质量为M、半径为R）对球内离球心r（r1.为了解释T与T的观测观测计算观测计算图（8） #图（4） 不同，目前有一种理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为简化模型，假定在这两颗星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响。试根据这一

2、模型和上述观测结果确定这种暗物质的密度。卫星与地球附近的赤道平面内作半径相同的圆周运动，运动方向或者顺地球自转方向，或者与之相反。在地球参照系中，求卫星在第二种情况下的动能与第一种情况下的动能的比值。试求出行星绕太阳运行的椭圆轨道的周期平方与半长轴立方间的比例常数。如图（3）所示，从地球表面与竖直方向成角的方向，发射一质量为m的导弹，初速v=GM,M为地球质量，R为地球半径，忽略空气阻力和地球自转的影响，求0图（3）图（8） #图（4） #图（8） 图（4） #设地球半径为R，一物体从距地面的距离为R处无初速释放，求落在地面所需要的时间（不计其他星球对物体的作用）。火箭从地面上以第一宇宙速度竖

3、直向上发射，返回时落在离发射场不远处。试估计火箭飞行的时间。地球半径R=6400km.地两个质量均为m的物体，由轻质硬杆相连，形如一个“哑铃”，围绕一个质量为M的天体旋转，如图（4）所示，两物体和天体质心在一条直线上，两物体分别以r和r为半12径绕M作圆周运动，两物体成为了M的卫星，求此卫星的运转周期图（5）飞船沿半径为r的圆周绕地球运动，其周期为t如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆与地球表面在B点相切，如图（5）所示求飞船由A点到B点所需的时间（已知地球半径为R）0如图（6）所示，质量m=1.20104kg的飞船在离月

4、球表面高为h=100km处绕月作圆周运动。飞船采用两种方式登月：（1）在点A向前短时间喷气，使飞船与月球相切地到达B点（AB通过月心O）。（2）在A点外侧沿月球半径短时间喷气，使飞船与月球相切地到达点C点（CO丄AB）.设喷气相对飞船的速度V=1.00104m/s，已知月球半径R=1700km.，月球重力加速度（可作为常量）为g=1.700m/s2试求两种登月方式所需的燃料质量。图（6）图（8） #图（4） #图（8） 图（4） #太阳系中小星体A作半径为R的圆运动，小星体B作抛物线运动，B在近日点处1与太阳相距R=2R，且两轨道在同一平面上，运动方向相同。设B运动至近日点时，A恰21好运动至

5、图（7）所示位置，A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合为一个星体，其间质量损失可忽略，试判断新星体绕太阳运动轨道为何种曲线。卫星沿圆周轨道绕地球运行，轨道半径R=3R，R=6400km.由于制动装置短地地时间作用，卫星的速度减慢，使它开始沿着与地球表面相切的椭圆轨道运动，如图（8）所示。问制动后经过多少时间卫星落回到地球上？ 图（4） #根据“火星-2”自动站运行轨道的参数：离火星表面最远处（远点）a=25000km.最近距离（近点）b=1380km,转动周期t=18小时，火星半径r=3400km千米；地球半火径r=6400km，地球表面处自由落体加速度g10m/s2求火星质量与地球质量之

6、比。地边长为L的等边三角形三顶角处有三个星体，质量分别为m、m、m它们之123间以万有引力相互作用而运动，设运动中始终保持原等边三角形大小不变。就以下两种情况，求出为保持三颗星相对位形不变的转动运动的周期。用引力常数G、距离L和质量表示。1）mmmm1232)m1m、m互不相等。23 图（4） #一颗陨石在飞向质量为M的行星的途中（沿着通过行星中心的直线），碰到绕此行星沿半径为R的圆周轨道运转的自动宇宙站。站的质量为陨石质量的10倍。碰撞的结果陨石陷入站内，宇宙站过渡到与行星最近距离为R/2的新轨道上。求碰撞前陨石的速度u一双星系统，两颗星的质量分别为M和m（设Mm），距离为d，在引力作用下绕

7、不动质点作圆周运动。设这两颗星近似为质点。在超新星爆炸中，质量为M的星体损失质量M假设爆炸是瞬时的、球对称的，并且对残余体不施加任何作用力（或作用力抵消，对另一颗星也无直接作用。试求，在什么条件下，余下的新的双星系统仍被约束而不相互远离。从地球表面向火星发射火星探测器。设地球和火星都在同一平面上绕太阳作圆周运动。火星轨道半径R为地球轨道半径R的1.500倍。简单而又比较节省能量的发射过程可m0分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运行的人造卫星。第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原

8、方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道射到火星上，如图（9，所示。问：（1，为使探测器成为沿地球轨道运行的人造卫星，必须加速探测器，使之在地面附近获得多大的速度（相对于地球，？（2，当探测器脱离地球并沿着地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60。，如图（10，所示。问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面？（时间计算仅需精确到日）已知地球半径R=6.4,106m，重力加速度g可取e假设宇宙空间中远离其它星体有两质点A和B，它们的质量分别为m和M。开始时，A和B相距为l,相对于某惯性系，A静止，B以初速v沿AB连线方向运动。为维00持B的速度不变，应对B施加一个沿着其运动方向的外力F，如图（11）所示，（1）试求当A、B间距最大时外力F的值。（2）计算从开始起到AB距离最大时变力F做的功。用恰好足以摆脱太阳引力场的速度，在离开太阳的径向轨道上，从地球发射一航天器，由时间控制以使航天器在木星后面一距离穿越木星轨道。因航天器跟木星引力场有作用而偏转90，即作用后的速度切于木星轨道（圆轨道）。在这作用中航天器单位质量能得到的能量是多少？在作用时略去太阳引力场，并假定作用持续时间与木星周期相比较很小