中考必做的36道压轴题及变式训练

1、 i #中考必做的36道压轴题及变式训练第一题夯实双基“步步高”，强化条件是 标” 例1(北京，237分)在平面直角坐标系丁。中，掂物线广介一2一2 (2)与J轴交于点4具对称轴与轴交于点8.(1 )求点夕的坐标；(2 )设直线与直线AS关于该抛物线的对郁由对梆,求直线/的解析式；(3 )若该抛物线在27一这f 位于直线的上方，并且在x这一段位于直 线幺8的下方，求该抛物线的解析式解析当x=0眦y=2，点A的坐标为(。-2).;抛物线的对称轴为直线x二噌二L二点B的坐标为(1。Q)由题意得点A关于直式x=1的对称点的坐标为 (2.-2).设直线I的解析式为y = kx + b(k H 0).丁

2、点(L0)和亿力在直线I上.，忆短癣得kJ ，直线I的薜析式为y=-2x+2.由题意可知抛物线关于直线x=l对称，直线AB 和直缉也关于直线x=l对称.;他物线在2。3这一段位于直线AR的下方，二抛物线在- lx 0这一段位于直线I的下方.又抛物线在- 2x= 16/r - x 4- 2 ,解得:壮=；,所以胞物线的睚 工工析式为：行;-髭(2 )令抛物线解析式，=M导所以点 的坐标为-2)；令If D得：(1 - w也+ 1) - 0 r解得=& ,5=T f故点的坐标为(-L叽 所 以口乂 = 1 r OC =2 r OB = X r 因为e = 0.4 OB , 如筹=黑，又因为QCLW

3、 ,所以n1 AO( H t 可得：LOCA = OHC r 所以 LACH = ZOCA + QCU - LOQC + OCii = 5MT ,所 以ZUb为直角三角形.为外接圆的直径，所以该外接圆的圆心为的中点，圆心坐 标为：(犷口 (3 )如图1 图2所示,已求得：日以C(QT),设直线网解析式为L2 ，将点打的 坐标代入得：0=4A-2 ,解得：故直线坎， 的解析式为：设直线/BC，则该直 线的解析式可表示为：=1+ 当直线/与抛物线只有一个交点时可联立直线解析式和抛 物统统析式得：即:一4一ir 2 L 。.故 = 4 - 4 x-附=。/ 解得& = T ,所以直线/ ：=-因为点

4、山是直建，和抛物线的唯一交点,得： 1 二即州亿-3时，山GC的面积最 大，此时，过点封作打AU轴于工，所以 SdHHL = q悌形E、if k 十台 WN 内AOt-H= x2x2 + 3)4-x2k3 x 2 x 4 = 4O变式(安徽芜湖24 )平面直角坐标系中.平行四边形ABOC如图放S 一点A、C的坐标分别为(。,3), (T , 0) .格 此平行四边形绕点。顺时针旋转90得到平行 四边形，Aoc;(1)若抛物线过点C , A . a :求此抛物线的解析 式；(2)求帘亍四边形AROC和平行四边形/B 9c ,重 塞部分的周长；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点r间： 点M在何

5、处时-AMA，的面枳最大?最大面积是多 少?并求出此时点M的坐标解：Q)：平行四边形且3 0c由为旋转得 到，目点A的坐标为(0.3),点人的坐标为0 .。)口所以抛物统过点。(口，0) , A(0 1 3)A， (? j 0)谈抛物线的解析式为J =248+匚(&于口),可得 TOC o 1-5 h z ab +c = 0曰=1。=3 解得=2 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 9 3+3方+ & = 0c = 3匕媪，过点C . A , A，的抛物线的解析式为 y= -x: +2x+3 t因为AB I CO，所以nOAB=/AOC二90-0

6、5 二 JoH 十5二而 f又/D=-Qd=djU OD = _BCLK。丛 OD S&RO汽又QC=0C=lr.M；：QD的周长1 Q arcmFIa加 一至QA的周长二定三何及一AB的周长为QUQD的局长为(3 )谆接OM .设M点的坐标为g n) ,点M在抛物线上内二-用:十2邱十3 0 工认上-s上山e -+ s工血白 s上115d+ 0*1*11- -QX-&r = (m+fs)=2(鹏十川一?)因为0.洞43.所以当用=3时.R = U一T-AMA的面积有最大值所以当点M的坐标为与时,-AMU的面积 有最大值,且最大值为-.8（例题）23 .（河南，2311分）如图，在平面直角坐标

7、系中,直线尸入八与抛物线S斯斡3交于48两点.点H在轴上，点8的纵坐标为3 .点尸是直线 浦3下方的抛物线上O点（不与4 8重合），过点P作f轴的垂线交直线仍与 点C,作PD1.A6于点D.（1）求凤6及用“闻不的值；（2 ）设点P的横坐标为m.用含M的代数式表示线段广。的长，井求出线段加长的最大值；连接PBt线段PC把PDB分莅两个三角形，是否存在适合的，”值，使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在，直接写出直；若不存在,说明理由.卡3【答案】（1 ）由|一0得. H 2g 由:工+ 1-3 J得-4，加44）/F=M + M-3经过4疗两点，卜心 设直线上与轴交于点人则抵口） ”可”了

8、 轴.，4CP-Z4Ao. TOC o 1-5 h z fX 22a/5二郭口4二匐口4门二厂二Ak 4i 5（2 ）由可知抛物线的解析式为；一97 Fg I 愉-;frr - 3（叫:阳 +1） 工占PV 二!相4 1-（，府-1 初 1） =-!府 4楸 4 422-2在曲口中,尸门HJV引”ZJ在40二当,=1时.I. 2J5=1 r m 1 JH T 4 1 3 5衣，g百F - ij + -川，有最大值”存在满足条件的将值变式一 27 .（江苏泰州J 27 , 12分）已知：二次函数4*+a-3的图像经过点P -25）.m 求。的值.并写出当1壮3时丁的取值范围；（2 ）设点月（）、

9、2（ m+1.M ）、丹（m+2,用）在这个二次理数的囹像上.当m:4时tyK外总能否乍为同f 三凿形的三边的长？清说明度由；当m取不小于5的任意实教呢，y .火、达一定能作为同一个三角形三边的长 请说明理由.【笞案】解；（1 ）巴点P代入二次函数解析式得5=（- 2y-2b- 3 除导b二 -2当14匹3时y的取值范围为-44/0.（2）时,八 八 内的值分别为5、12、21-由于512式21 .不育缄为 三角形的三边长.当m取不小于5的任意实数时，V】、外 门的值分别为m。2m *1m2 - 4、 H + 2m - 3 . 由于：rrP - 2m - 3 + m2 - 4 m2 + 2m

10、- 3 , iri - 2 ） 2 - 8 0 # 当m不小于S时成立j即y i + yz a为成立.所以当m取不小于5的任意诩时，山、火、人一定能作为同一三角形三边的长.变式二（重庆B卷如图,已知抛物线w =/十山十的图象与域的一 个交点为国，f另一个交点为且与”轴交于 点 COEL（1 ）求直线碗与抛物线的解析式.（3分）T（2 ）若点M是抛物线在轴下方图象上的一动 点,过点山作、松轴交直法坎.于点土，求 的最大值.（4分）在（2）的条件下,A取得最大值时.若 点尸是抛物线在崩下方图象上任意一点，以BC 为边作平行四边形f,尸（？，设平行四边形日人州 面积为皆.乙“的面积为反，且s S .

11、求点 p的坐标。（5分） 答案解析(1 )设直线BC的解析式为.=1+巾,将1(5.0) ,口。代入得詈，解得)=7，所以 直线龌析式为5=；将阴)f 代入虹十濯*5- r解得：资 ,所 以抛物线解析式为I-限C 2 )当抛物线与轴相交时/ -61+ 5 =。,解得 T= I或T= 5 j所以交点坐标为甘。，团风叫 因 为点用是抛物线在轴下方图象上一点,所以设 jU(rd / TLr十5(1 2小二万 ,所以平行四边形已日尸物面积3=6gsl=30。设 平行四边形的边网上的高为口口 则 BC1BD .因为 HP * 13D = 30 . BC - j/5 r 斫以 加=居=3氏共以乍屋”的平械

12、，交 抛物线于点,I交好由于点/在直线。F：上截取 PQ三RC .则四边形CS巴没平行四边形r因为 B(：UD r ()BC 三 45 .所以/EBE = 45,所以 EBD为等腰直角三角形,BE = y/iBD=eX 3/=6 ,因为印5.0）,所以说-LQ）,设直 线解析式为 = 一 + F r将乜-L。代入得十工=。, 解铮=T ,所以直线PQ解析式为叩f- L直。：、或所以点屋因示为国-3）或（3T）,线与抛物线的交点为第四颗准线焦点频现身，居高临F明结构（例题）（四川资阳，25,9分）抛物线 +一情的顶点在直线一上，过点尾z卦的首 线交该抛物设于点 位/V两点（点用在点N的左边）,M

13、4_L_r轴于点金，A/8L ,轴 于点尻（1）（3分）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含心的代数式表示），再 求网的值；（2）（3分）设点N的横坐标为，试用含的代数式表示点/V的纵坐标，并说明 NF二网（3 ） 0分）若射线交、轴于点巴且PMPB：弋，求点M的坐标.答案；解 1/ = L.P 十.十/f - -（jct2）: + （图-I） T4，顶点坐标为（2）顶点在直线出K3上，:- 2+3= K-1 .得e2（2厂点N在抛物建上,点川的纵坐标为！ +十24即点 /4 Jf?十+ 2） 4过点F作FUL/VS于点C,在口加FCN中,仁+2,NC=NB-CB= *6,一出产工m二十嗔

14、三(a - cj)- -1(ij 2i 二 i 储，必什 44HU AH (o, +cj-h2) - 4- a) +|4 +4u)+ 4:* NF = at? , NFNB 连接AF、BE由NF = NB，得ZXFB =由（2）的思路知,MF= MA f二乙 1MF=/AFFN*/AM_Lj:轴,轴,J/HA/F+ ZBjVF = L8（rVAAIF和NFO的内角总和为网上）2乙TMF+2NA7?F= 180ZMAF + ZNBF=额/，：/LMABZNBA = 180,jNFAA 十/EA占= 90又/凡4好十 /A，AF= 90：XFBA = ZAMF= AMFA r又FPA = BPF

15、i/.APF/1 JXPBF ft PF2 = PAkPB = PF100过点F作rrnr轴于点G,在R3FG中,P（； = PF-FCP =J设直线FF：片L十弧把点网-2.2）、点y代入片十K TOC o 1-5 h z 17 HYPERLINK l bookmark112 o Current Document 计算得出2=评=I1 *4厂.直线 PF ； # = t | 4 Z解方程+工+ 2 =，+ , 141得寸=一位或了 = 2 （不合题章舍去），当二一3时,二,变式一25已知抛物线白n 口r+ ftjr + e（a 0 0）顶点为L】）且过原点。.过抛物线上一点H* W向直线;1

16、作垂线,垂足为M,连FH（如图）.（1）求字母日上,匚的值；在直线x = 1上有一点RL ,求以PM为底边 的等腰三角形P F M的P点的坐标并证明此时 户FU为正三角形；0）对抛物线上任意一点P,是否总存在一点Ml .使二N恒成立?若存在请求出t值若不存在 请说明理由.解：（1 ）抛物线y=aH+bx+c（aHO）顶点为 C（1 , 1 ） Sid侬 0可得S二1 ,四=1 ,=0, 2a必/ a=-1 , b=2 , c-0 .（2 ）由（1 ）知抛物线的解析式为y=-xZ2x.故设P点的坐标为（m, -m2m ）,则M点的坐标（m ,；）.uPFM是以PM为底边的等腰三角形aPF=MF,

17、即（m-T ）之+ （-nnz+2m- ）2= （nri1）2+（- ）2 44 4/4-m2+2m- = lg2-ma+2m-=-1 r 4 2f42当.rn2+2nnV=；时.BP-4m3+8m-5=0* a=64-80=-1 6 0.此式无解 TOC o 1-5 h z 当=巾2+2巾一）=时f BP m2-2m= 434.rn-1 +g或 m= 1一I、当m=1 +半时，P点的坐标为（1+坐f 1 ） , M点的坐标为（1 +4一）口、当时，P点的坐标为（1-咚），M点的坐标为（1-洛，1）, 22424经过计算可知PF=PM ,.3MPF为正三角形，尸点坐标为：（1 +4二）或 24

18、24当 H 时,即N与F重合时PM=PNmS 4证明；过P作PH与直线x-1的垂线.垂足为Hf在RtWNH中,PN号(x-1 )(t-y ) 2=x-2x+1 +m2ty+yP是抛物线上的点，jy二乂2+2乂 ；jPNI -y“2-2ty 4产=产-:y + ”(/,1 -y+tz-2ty+yz=y2- y+移项,合并同类项得：1+21丫+於12=0 ,- y ( 2t-1 )十(齐把)=0对任意y恒成立*.,2t/=0且2卡=0 216上二 |故1时，PM = PN恒成立. 44二存在这样的点，变式二(山东潍坊，24 ,11分)如图12 .已知抛物线与坐标岫分别交于4 7 , 0).6(2.

19、0)、C 0 一 三点，过坐标原点。的直线上与抛物线交于M N 两点，分别过点U 小02 )作平行于4轴的直线卜 k(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以QV为直径的圆与直线/相切；(3 )求线段ZWV的长(用k表示),并证明M N两点到直线h的距离之和等于线段M/V的氏.答案解析(1 )设抛物线的方程为4=/+ 8,+.，将 ,理S ,。事1)分别代入,有0 =加-M + 尸I =on+*解得：所以抛物物寸-IlT应二次函数的解析式为=I/ - Q11(2 )如图所示，设。的中点为百，分别过点N 、在向直线作垂线f垂足分别为巴匕设 A/(juyiL,因为点M t在地物线上，所以初=

20、，/一 I F齿=J -1整理为 修=41仙+儿 由两点间国疆公式可得；0 V* = M 口产+仇-* = (谕+ 2户r所以门X = I外+力肥+工.又FF为悌形nKV的中位 线，则F = 0clp =节餐，所以。即=3 , 即点后到直线L的区摘等于。%长度的一半，故以 。”为直径的国与匕相切。(3 )如图所示，过点.11作,HH1AW交NP于点打,延长-”交%于点q ,过点U作“53交内于点5*因为3=必 , g = *4 ,所以(牝-血，-卜(门-由两点间走离公式可得: MN2 =网-Ji)a4-初一加产-(1 + ia)(Ta -工】产,又 点.M X为一次函数和二次函数的交点.有 心

21、=% T r即/-一/=%根据韦达定理可 1得；八十/* = 4上,才口=一4 +则下ji)a 11pli + r-j)3 - (Ik)3 4- f4) , 16(1 + i3),-1LV士 = 1611 +内广，所以1LV的长度为虱1 + k 因为工J十三g十工炉七门r =g秒十区,所以山、两点到%的距离之和为A/5 -H A Q = tfi + E2 + -1 = 1 (r J + 了)+ 2=：口佻，+酉)+2 =1口 + /) = .V ,故Wr X两点至1J 4直线内的距离之和等于线段的长.第五题末尾”浮云遮望眼,洞崩察微”潮冒向例题(浙江宁波，26 , 12分)如图r二次函数方心的

22、图象交弁釉于月 -1 (0)，说2,。)，交y轴于7(0, -2),过A.U画直线一求二次函数的解析式:(2)点,在川轴正半轴上，且以二所求0P的长；点加在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线4U相切,切点为H若M在了酷右侧，且CHM - AOC点U与点滴对应).求点M的坐标；若M的半径为:行 ,求点朋的坐标.答案解析解：(1)设该二次函数的解析式为：y =呦+ DS 2),将丁 二 口前=-2 代入得一2 = 6(0+1)(0- 2) J蛤导“ = 1.二抛物线的解析式为 a )(，- R , (2)设。尸=巴贝!J PCr = PA = jt + 1, 在国POC中,由勾股定理, 得/ +

23、 2。= g +1)=# 解得=|.一即OP=1ME1公.呼如图L当H在点C下方时.+ ZOCA = =- 4 箝=疯-dCOA = ZDEA-900JZOJC = EAD,/.AylED AAOC或以一30）.过点D作刀浦/AC,交地物线于M,如图（备用图）则直线DM的解析式为:“二一 + 2或V = 一晚 一 6,当2lt G = / 上2时即+E+ 4 = 0,方程无实数根当+ 2 = z2 J 2时即+ - 4=0，解得一1 一，17-1 +，172 口= -3一，厂.点M的坐标为(土/，3 +局)或(.3-团).受式一 25 .如图,抛物线y二T炉十工+3与*轴相交于点A、B ,与y

24、轴相交于点C , 顶点为点D ,对称轴I与直线BC相交于点E ,与“轴相交于点F ,(1 )求直线BC的解析式；(2 )没点P为该抛物线上的f 动点，以点P为医心，r为半径作。P当点P运动到点D时.若。P与直线B匚相交，求的取值范围；若二：4，是否存在点P使0P马直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标； 若不存在,请说明理由.提示：抛物域y“x%bxF ( aHO )的顶点坐标($ ,笞卢)川的轴X=：.2i 2解:抛物线犷=- /十丁 + 3中.令 =见得0 =-卜。+仁+ 3, T：解得工=-2产=6;令工=。得y = 3；二4(2)，的任明，9 3);设直线BC的解析式为1/二红+则有：

25、J 6卜 + h = (JI b=a 解得2-3I .直线BC的解析式为二一。工十3; ，一(刁由抛物线的解析式知:=-7 U - 2尸+ L4即D4);当k = 2时fy = - ；h + 3 = -1 + 3 = 2 f即以2.2);:EF= DE= 2,13F= 4；过D作DG10于G则，有(；AEF；:J)E: GE = BF:r=2:1JD DG = 2GE;出以;E中.设(了； = ：了,则门G = 2r.由勾股定理得:GX? + DG2 = DE2,即:4/4产=4,得丁= ；故D、P重合时,若0尸与直线BC相切，则r DGt存在符合条件的P点.且P点坐标为:Rd。外(4.3),

26、凡(3 4 /T7t -3P-(3同号务过点F作BH1BC于M;DE =EF= 2,则 r心 DGE = Rt 小 FZE；分别过D、F作直线m、n平行于直线BQ则直线 m与直线BC、直线n与直线BC之间的距离都等于 r；所以P点必为直建m. n与抛物线的交点； 设直线m的解析式为:刃=恒+匕由于直线m与直 线BC平行,则a=-i;J,，一 彳乂2+ 力=4 / . 5,即直线m的筹折式为p = - ：+ 5 ；同理可求得直线n的解析式为:v = - ： 1 + 1;联立直线与抛物线的解析式1$ =一; /443得：41，=-尹 + 5解得X; J :；：二回（2 .孙川4.3）;同理联立直线

27、n与抛物线的解析式可求得；以3 千局.上冲户心_干，与马；故存在符合条件的P点,且坐标为:PM 0也（4,3），取$ + 旧,尸心- V17,.变式二22.（广东省I 20rg分）如图.抛物线,T4与轴交于4 R两点,与y轴交于点U,连接日匚AC 求力和or的长；0点F从点A出发,沿*轴向点E运动（点F与点4月不重合），过点F作亘线/平彳开BC,交工匚于点。设工的长为 忆白ADE的面枳为5,求S关于用的函数 关系式，井写出自变量m的取值范圉； 在的条件下，连接C口求八。面积的最大值；此时,求出以点为圆心，与相切的圆的面枳（结果保留力 25(1 )今一二得即1十3)(上一切=。. 解得不*则点的

28、坐标为，(-工点 口的坐标为以G。).故4m = OA + OB = 3 + 6 = 9, 令工=得,p = Q + (9 =-9,则点的坐标为 C-3 t 故。Cf(2 )由(1)可知，斗-8,虬邺。曲叫, 因为直线f ZAED-ABC t ZCAB - CAlft所以0 一，又因为E =% 所以辽山二(产三呼又因为5电口 3由 XI 乂口 TOC o 1-5 h z |IQ ISa才打匚=-ffOC= - k 9 tl = . 所以 占一 HYPERLINK l bookmark214 o Current Document 打* 81JI?2/.-一记 X 方=,(U m 5 .)=,所以

29、 口灯口门户11 二I5a门：=白7 方凸丹以上，/h 亏 V- J +因为ne巾 ”.所以当”】=。时f，口上一最大f.其值为HK A ii AK -：二:r如招所 示,作。与改相切于“，并连接”,则 在虫FAMb中,由勾股定理可得fU( yoN + CM屯+ 毋 一/l：L 因为EMB = i.JOC = J00 f ZMBE - ZOBC r 所以J?/-93 v13&0RC i AATSE，贝山尊二篇,即丽=P,Jl .Il JJ t9一追得E U二：,/l*,由圆面积公式可得西的面 积二 5 =讨 * EW =雷 * (;x/13)2 =二 to第6题 分类讨论程序化”分盟抗扰”探本

30、质已知帼物线4尸+ 人+M （0#0 ）经过（3.地，两点，且与“轴交于点一（1 ）求抛物线 二口，十辰十3 （ 口）的函数关 系式及点。的坐标白（2 ）如图（1）.连接白3，在题（1 ）中的抛物 线上是否存在点，使*日是以人才为直角边的 直角三角形1若存在r求出点唯坐标；若不存 在，请说明理由q（3 ）如图（2 L连接”，E为线段”上任意 一点（不与乩C重合）经过人 璋口三点的圆 交直线臼于点，,当的面积取得最小值 时，求点的坐标.【答案】（1）题3,0例4。代入广力4tx+3中0=Qa?b + 3I 二#力-3|JP 1 1=- 鲫得J 2b - ?工解析式为F 二 ： K一 ；犬4 3令

31、 x = U 时,y = 3坐标为他勒（2）若/PAB=901分别过P、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F.易得APE- BAF,且BAF为等腰直角三角形.”APE为等腰直角三角舷 设，=/则/点的坐标为（4- 3 ）代入解析式3*a= ii, -3 解得aO ,或灰3 （与A重合舍去）03）若尸仍90如下图f直线与方轴交与点Df分皿过尺 例乍轴的垂线，垂足分 别为E E由图可得aPED.必班0为等腰直角三龟形,设外二占，则DAw, 二区所以40=2 .则点坐标为（5占，3,代入解析式1a - -0 -a) - -(S-tj) -3 瓣得，61 ,或66 (与8重合)是所以2点坐标（-16）公所

32、述户（0,3）或P （1,6）(3 )如图3所示，根据(2 )可得,直线水僻析式为二炉-上+3,且4? L AB ,又因为U在圆 上.所以EF是直径，又因为点。在圆上，所以10 - OF r 故5/岁=；ECU ()f- o 因为当。E J_ AC *时f最小当。F 1工打时，口了最小，故此时 S,AfJ 汇 J最小.故可得直线。上解析式为“二，联立7二+ 3，解得：二.即$皿最小 时.点毗坐标为J品 变式一(山东枣庄，25 J 0分)如图.在平面直角坐标系中中，把抛物线厂向左 平移1个单位，再向下平移4个单位,得到抛物城广94 3.所得抛物线与上轴交于甘两点(点在点日的左边),与母臼交于点r

33、 ,顶点为小(1 )写出汰的值；(2 )判断八的形状,并说艇由；(3 )在线段肃上是否存在点” f使儿VWAJ朝？若存在，求出点V的坐标； 若不存在I说明理由.(1)抛物线尸的顶点为叽 移动后的顶点 为| 一1, 一)值故小=-1 ,工=-4O2 )为直角三角形。如图所示，作抛物线对称轴- -】交触于点E ,作DFL/由于点心 由(1 )可知抛物线的解析式为川=口 + 1产-， 令0 = 0,则次 + l)a 4 = 0 t 解得m=-3 r = 1B 则点工 碓I坐标分别为题-乳叽囚(L0).令r则& = + 1-T =仍+ 1-7 = 70故点广的坐 标为CS7L又因为顶点坐标为5-1为。所以 3 在斤