信息技术2.0微能力：中学八年级数学下（勾股定理）实际应用-中小学作业设计大赛获奖优秀作品模板-《义务教育数学课程标准（2022年版）》

1、 中学八年级数学下（勾股定理）实际应用义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品- 1 -初中数学单元作业设计一、单元信息参评作品团 队 作 品基本信息学 科年级学 期教材版本单元名称数 学八年级第二学期人教版版勾股定理单 元组织方式自然单元课时信息序 号课时名称对应教材内容1勾股定理内容第 17.1(P22-24)2勾股定理的应用第 17.1(P25-26)3勾股定理的应用第 17.1(P26-27)4勾股定理的逆定理第 17.2(P31-32)5勾股定理的逆定理的应用第 17.2(P33-34)二、单元分析( 一)

2、课标要求通过探索勾股定理及其逆定理的过程，了解它们之间的联系与区别，对一些简单 的几何问题和实际问题能用这两个定理解决。结合一些具体的例子，对逆命题、逆定 理基本概念进行了解，学会识别互逆命题，对其真假做出判断。课标中“知识技能”要求：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程；掌握必要 的运算 (含估算) 技能。在“数学探索”中，让学生经历其探索和证明的过程，培养 学生发现问题，提出问题，分析问题和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯；围绕 勾股定理的证明，培养学生学习数学的自信心，培养其民族自豪感；在“数学思考”- 2 -方面：通过用代数式 等表述数量关系的过程，体会模型思想及学科间的联系，培 养

3、发散思维能力；感受从合情推理中探索出数学结论，通过演绎推理进行证明的过程， 锻炼推理能力；能独立思考，对数学的基本思想和思维方式进行体会。(二) 教材分析知识网络初等几何中，勾股定理是最重要的定理之一，它给我们揭示了在直角三角形中， 三条边之间的数量关系，对数量关系和几何图形之间起到了桥梁重要的作用。许多平 面几何中的计算问题可以用勾股定理和其逆定理来解决，它是解直角三角形的一个重 要依据，在微积分学、解析几何学、三角学中都是重要的理论基础，对现代数学的发 展也产生了重要而深远的影响。离开勾股定理，整个数学的大厦就难以建立起来。在 本单元的教学中，除正文介绍的有关内容外，可以根据实际教学情况，

4、对学生提出不 同的教学要求，可以让学生自主探究定理的证明，也可以安排收集定理多种证法的数 学课外活动，通过这些活动，使学生对勾股定理有较好的理解，从而培养他们学好数 学的自信心。研究方法上， 让学生经历“发现特殊的等腰直角三角形的性质研究比较特殊的直 角三角形陈性质一般直角三角形”等最后用赵爽证法加以证明的探索和证明过程，渗透类 比、特殊到一般和一般到特殊等研究问题的思想方法，发展数学抽象、数学运算、数学推理 等能力。通过本单元的学习，学生不仅能解决直角三角形的计算问题，还可以把生活中的实际问 题转化为几何问题来解决。同时培养了学生的观察和猜想能力。从勾股定理到其逆定理，学- 3 -生往往会从

5、直觉出发想当然认为逆定理一定成立。而从直觉上升到逻辑严密的思考和证明， 认识到有联系但不相同，认识到新的结论需要经过严格的证明，这是思维能力提高的体现。 所以逆命题也是本章的教学难点之一。(三) 学情分析从学生的认知规律看：在一元一次方程和二元一次方程组中，学生学会了如何引入未知 数、如何求未知数。在几何图形，三角形和三角形全等这几章中，学生体会了几何语言的魅 力，掌握了几何图形中的基本关系，推理能力得到很大的提高。在二次根式中我们学习过最 简二次根式，加深了对无理数的理解。这些学习都为勾股定理的学习，打下了思想方法基础， 让学生可以用方程来解决直角三角形的边长问题，感受到“数形通性”，并用代

6、数研究几何 的一般路径。从学生的学习习惯、思维规律看：八年级 (下) 学生已经具有一定的自主学生能力和独立思考能力，积累了一定的数学学习活动经验，并渴望自己参与其中。但是，学生的思 维方式和思维习惯还不够完善，数学的运算能力、推理能力、证明能力尚且不足。因此， 应加强勾股定理证明的理解、及与几何图形之间的联系的应用练习，强化运用“勾股定理 和其逆定理”来解决生活中的实际问题。架通学生思维的“桥梁”，发展学生的发散思维， 提升学生的数学运算、代数推理、逻辑推理等能力。因此， 勾股定理和其逆定理的证明， 应用是本单元的学习重点；培养学生运算能力和严密审慎的思考习惯也是重中之重。三、单元学习与作业目

7、标1.通过探索勾股定理及其逆定理的过程，了解它们之间的联系与区别，对一些简 单的几何问题和实际问题能用这两个定理解决。2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，并把之应用于几何问题，体会数学 模型思想。3.通过具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆命题，知道原命 题与逆命题之间的关系，并会判断其真假。4.探索和交流勾股定理及其逆定理的发现，证明过程，培养学生数学学习的自信 心；通过介绍国内外在勾股定理的有关研究成果，体会知识无国界，培养民族自豪感。四、单元作业设计思路作业采用分层设计。每课时都设计“基础性作业”(面向全体，体现课标，抓住两基， 学生必做题)和“发展性作业” (体现个

8、性化，探究性、实践性，学科渗透性，学生有选择- 4 -的做) 。具体设计体系如下：五、课时作业第一课时 (17.1 勾股定理)作业1 (基础性作业)1.作业内容(1) 设a和b分别为直角三角形的两条直角边长,c为斜边长。已知a=8,b=15, 求c;已知b=7,c=25，求a;已知c=13,a=5, 求b;已知c=12,a=5 求b.(2) 仿照课本P24练习2，在网格纸上设计一棵“枝繁叶茂”的“勾股树” ，贴在班级宣传栏；(3) 如图，已知CD90 ，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用 面积法证明勾股定理。- 5 -2.时间要求 (15分钟以内)3.评价设计作业评价表评价指标等级备

9、注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图作业第 (1) 题要求学生理解直角边和斜边，会用勾股定

10、理求斜边和直角边，加 深对勾股定理的理解和运用。其中，第小题已知两直角边求斜边，第小题已 知斜边和直角边，求另一直角边。作业评价时注意求出的b是二次根式；第 (2) 题 引导学生进一步理解勾股定理的由来，增加作业的趣味性；第 (3) 题要求学生会证 明勾股定理，能够加深学生对勾股定理多种证明方法的理解。- 6 -作业 2 (发展性作业)1.作业内容(1) 下列说法正确的是 ( ) 。A ABC的三边长分别为a,b,c,则 a2 + b2 = c HYPERLINK l _bookmark1 2B RtABC三边长分别为a,b,c,则 a2 + b2 = c2C RtABC三边长分别为a,b,c

11、, ABC=900 ，则a2 + b2 = c2D RtABC三边长分别为a,b,c, ACB=900 ，则a2 + b2 = c2(2) 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CEa ，HGb ，则斜边BD的长是 ( ) 。A a+b B a b C D (3) 制作一份手抄报：勾股定理的相关数学史背景及不同种证明方法 (跨课时作业) 。2.时间要求 (第 (1) (2) 题5分钟以内，第 (3) 题30分钟)3.评价设计- 7 -作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误

12、、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图作业第 (1) 题要求学生清晰地辨别勾股定理的表述；明确勾股定理成立的条件；第 (2) 题分类讨论：3和4都是直角边；4是斜边两种情况，理解直角三角形斜边是 最长边，要求学生具有分类讨论

13、的数学思维；第 (3) 题是跨课时作业，给学生充分 的时间，手抄报完成后组织学生进行交流、 自述活动，培养学生综合能力。- 8 -第二课时 (17.1 勾股定理)作业1 (基础性作业)1.作业内容(1) 九章算术 “勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去 适一丈.问户高、广各几何. ”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角 线长1丈，那么门的高和宽各是多少 (1丈10尺，1尺10寸) ？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是 ( ) 。A2x+12 (x+0.68) 2 B2x+ (x+0.68) 212Cx2+1002 (x+68) 2 Dx2+ (x+68)

14、21002(2) 如图，一根竹竿立在墙角，其中ACB为直角，已知竹竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得竿竹下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，竹竿顶端A下滑_米。(3) 印度数学家什迦逻(11411225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清 可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离 原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？ ”请用学过的数学知识回答这个问题。2.时间要求 (15分钟以内)3.评价设计- 9 -作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正

15、确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图作业第 (1) 题是考查学生勾股定理与方程的应用；第 (2) 题是考查学生两次运 用勾股定理进行计算；第 (3) 题同样是勾股 定理与方程的应用，同

16、时让学生感受中 国古代的数学文化。- 10 -作业 2 (发展性作业)1.作业内容(1) 如图为某楼梯，测得楼梯的高3米，长为5米，计划在楼梯表面铺地毯，地 毯的长度至少为( )A4米 B7米 C8米 D9米(2) 将一根25 cm的筷子，置于底面直径为17 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如 图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是_。(3) 如图，在RtABC中， C90 ，AB10 cm，AC6 cm，动点P在射线BC 上运动，从点B出发沿方向C以2 cm/s的速度移动，设运动时间为ts。(1)求BC边的长；(2)当ABP为直角三角形时，求t的值。2.时间要求 (第

17、(1) (2) 题5分钟以内，第 (3) 题15分钟)3.评价设计- 11 -作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其

18、余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图作业第 (1) 题构建模型，主要考查学生将实际问题转化为数学问题的能力；如 何抽象成“符号化” 。第 (2) 题比较灵活，主要考查学生利用已有的生活经验判断 有无直角三角形，筷子何时最长，最短？明确如何在实际问题中运用勾股定理来解决； 第 (3) 题的第 (1) 问，考察勾股定理的直接应用，代入计算即可解决，第 (2) 问 要分类讨论：当APB为直角时；当BAP为直角时，培养学生的综合能力。- 12 -第三课时 (17.1 勾股定理)作业1 (基础性作业)1.作业内容(1) 如图，点A表示的实数是 ( )A. B. C. 一 D. 一 (2) 如

19、图，每个小正方形的边长为2，则在网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有( )A0条 B1条 C2条 D3条(3) 已知等边三角形ABC的边长是6cm，求高AD的长和SABC2.时间要求(10分钟)3.评价设计- 13 -作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错

20、误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图作业 (1) 设计主要考察学生在数轴上利用勾股定理，可以作出的 (n是整数) 的线段，进而在数轴上画出表示 (n是整数) 的点。作业 (2) 考察的 是在网格中如何求出线段长。作业 (3) 就是勾股定理在等边三角形的应用，让 学生熟练掌握。- 14 -作业2 (发展性作业)1.作业内容(1)如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为 。(2) 如图1，两个小正方形 (边长

21、都为1) 沿对角线分别剪开，所得的4个直角 三角形拼成一个面积为2的大正方形 由此得到了一种能在数轴上画出无理数对 应点的方法1) 图2中A、B两点表示的数分别为_，_；2) 请你参照上面的方法：把图3中5 1 的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形请在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，则正方形的边长a =_。 (注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙)在的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N 表示数a以及 a 一 3 。 (图中标出必要线段的长) 。- 15 -2.时间要求(20分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正

22、确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析及设计意图作业 (1) (2) 设计目的是发散学生的思维，让学生透过现象看本质。第 (1) 题把勾

23、股定理放在学生常见的长方体中，让学生学会融会贯通。第 (2)题既考查 无理数的表示方法，又要模仿题目中给出的解题方法类比求解;学生要深入对所 给解题的内容的精准理解，去发散求当由多个正方形组成的长方形要拼成大正方 形时，求其边长。- 16 -第四课时 (17.2勾股定理的逆定理)作业1 (基础性作业)1.作业内容(1) 以下列每组数分别为三条线段,能构成直角三角形的是( )。A.4,5,6 B.5,12,15C.5, 2 ， 3 D. 2 ，2 3 ， (2) 下列说法错误的是( )。 A.任何命题都有逆命题 B.任何定理都有逆定理C.真命题的逆命题一定是假命题D.任何命题都是由条件和结论构成

24、的(3) 下列四组数中,是勾股数的一组是( )。A.4,5,6 B. 4,5 C.7,24,25 D.10,60,612.时间要求 (6分种)3.评价设计- 17 -作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价

25、等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析及设计意图作业第 (1) 题要求学生会用三边长来判断三角形是否为直角三角形？作业 第 (2) 题要求学生正确理解互逆命题和互逆命题概念，并且会判断原命题和互 逆命题的正确与否。作业第 (3) 题主要考察对勾股数新概念的理解。- 18 -作业2 (发展性作业)1.作业内容(1) 如图，将ABC放在正方形网格图中 (图中每个小正方形的边长均为1) ，点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么ABC中BC边上的高是 ( ) 。A B C D (2) 由下列条件不能判定ABC为直

26、角三角形的是( )。A. A: B: C=3:4:5 B. A- B=CC.a=1,b=2,c= 5. D. (b+c) (b-c) =a2(3) 已知 62 + 82 = 102 ，82 + 152 = 172 ，102 + 242 = 262 请写出勾股数(大于4的偶数)的规律_。课下请思考大于1且为奇数的勾股数的规律。(4) 阅读：小明在学习勾股定理后，尝试着利用计算的方法进行论证，解决 了如下问题：如图ABC中， C90 ，M是CB的中点，MDAB于D ，请说明三条线段AD 、BD 、AC总能构成一个直角三角形。2.时间要求 (15分钟)3.评价设计- 19 -作业评价表评价指标等级备

27、注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析和设计意图作业第 (1) 题综合运用了勾股定理逆定理和求高的等积

28、法，当然学生也可 以用共边的双直角三角三角形来求，让学生自己去探讨何时用等积法求高。作业 第 (2) 题学生要全面了解直角三角形的性质，理解从角和边都可以判定三角形 是否为直角三角形。作业第 (3) 题明着是勾股数，暗含的是规律题，考察是学 生观察、总结、归纳能力。作业第 (4) 题考察勾股定理逆定理的应用，放在勾 股定理之后，主要关注学生发散思维的培养。- 20 -第五课时 (17.2 勾股定理的逆定理) 作业 1 (基础性作业)1.作业内容(1)A，B，C三地的两两距离如图所示，B地在A地的正西方向，问：B地在C 地的什么方向？(2)如图，是某房地基的平面图，按标准应为长方形，有人测量了一

29、下，发 现ABDC12m，ADBC8m，AC15m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是 否合格？(3)如图,甲、乙两船从港口A同时出发,甲船以30n mile/h的速度向北偏东 35方向航行,乙船以40 n mile/h 的速度向另-方向航行,1 h后,甲船到达C岛， 乙船达到B岛,若C,B两岛相距50nmile，则乙船的航行方向( ) 。A.东偏南35 B.东偏南55C.南偏东35 D.南偏东55(4) 如图,某开发区计划在一块四边形的空地ABCD上种植草坪,已知A 为直 角，AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,种植每平方米草皮的预算费用为240元,若草坪 的保养费用占种植草

30、皮总预算的3% ,求草坪保养费用。2.时间要求 (10 分钟)3.评价设计- 21 -作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为

31、B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图第(1)(2)(3)题，引导学生分析问题，如何把实际问题转化为数学知识，怎 样运用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形。探究解决实际问题，要抓住 其本质，理解其意图；从而激发学生学习兴趣，养成“已知三边求角，利用勾股 定理的逆定理”的意识。第(4)题，将几何信息标注到图上，构建几何模型; 将已知条件转化到几何 模型上,学生仔细观察，联想前后所学知识，综合运用勾股定理及其逆定理。培 养学生的语言表达能力、逻辑思维能力。- 22 -作业 2 (发展性作业)1.作业内容(1)在ABC中，AD为BC边的高，AB13，BC14，AC15，求CD

32、的长。(2)如下图所示，我国领海线为南北向MN，领海线以东为公海，某日上午9：50，我国反发现，有一走私艇C从正东方以13海里/时的速度偷偷向我领海开来， 走私A艇立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意。反走私艇A和走私 艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里， 若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？(3)如上图，已知等边ABC内一点P，PA3，PB4，PC5，求APB的度 数。2.时间要求 (15 分钟)3.评价设计- 23 -作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题

33、。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图第(1)题，主要是勾股定理的逆定理的应用，再进行转化，最后求解，这种 方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图

34、 形中。第(2)题，培养学生实际问题符号化，模型化。用数学几何知识解决实际问 题。第(3)题，本题稍有难度，主要考察等边三角形的判定与性质以及勾股定理 的逆定理综合运用，还外加旋转。如何构造APE，怎样判定其为直角 三角形。培养学生的数学感。六、单元质量检测作业( 一) 单元质量检测作业内容一、选择题 (单项选择)1.在直角坐标系中，点 P ( 一 2，3) 到原点的距离是( )A. B. C. D.22.若RtABC中， 三C = 90o 且c = 25 ， a = 24 ，则b = ( )A.11 B.8 C.7 D.53.一轮船从港口A向东北方向以12海里/时的速度出发航行，另一轮船从港

35、口A出 发以16海里/时的速度同时向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距( )海里。A.10 B.30 C.35 D.404.线段长度如下列各组数，其中不能构成直角三角形的是 ( )A.1, ,2 B.1, ,3 C.5,12,13 D.3,4,55.若等边ABC的边长为2，那么ABC的面积为( )A. B.2 C.3 D.4二、填空题6.如图，在数轴上点A表示的实数是 。7.如图，已知在ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm， 则AC长为。8.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，C点恰好落在斜边AB上为E点，

36、则CD的长为 。- 24 - 25 -9.如图，四边形 ABCD 是正方形，过 A，B，C 三点作平行线 l1， l2， l3。若 l1 与 l2的距离为 5，l2 与 l3 的距离为 7，则正方形 ABCD 的面积为 。 10.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为 。 三.解答题11.请在下图的正方形网格 (每个小正方形的边长为1) 内作出格点三角形ABC ( 即顶点是网格线的交点的三角形)，使得ABC的三边长分别为AB=2 ，BC= ， AC= 12.如上图，将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,求 (1) CF的长 (2) BF的长

37、 (二) 单元质量检测作业属性表序号类型对应单元作业目标对应学习水平难度来源完成时间了解理解应用1选择题1易改编30 分钟2选择题1易原创3选择题1易选编4选择题2易选编5选择题1中改编6填空题1中原创7填空题1、2中原创8填空题1中原创9填空题1中改编10填空题1较难原创11解答题2较难选编12解答题1、2较难改编知识备份（根据实际情况删减）概念被认为是儿童智力的基本组成部分，对基本概念的获得与儿童整体智力发展密切相关（Bruce, Bracken,1998），在数学领域亦是如此，儿童对数学概念的理解是进行数学问题解决和交流的前提和基础，例如，儿童理解定量的相关概念，如“多”、“少”、“很多

38、”、“较少”可以让而儿童掌握量的比较并进行描述(Barner, Chow & Yang, 2009)；掌握空间概念能够让儿童对数轴上的数字关系以及空间物理对象之间的关系进行感知并交流和讨论(Ramani, Zippert, Schweitzer, etal.,2014)，同时，早期儿童的数学学习是操作性的，但是这种操作是建立在对基本数学概念理解基础之上的，当儿童不能准确理解数学概念时，也无法掌握更进一步的数学内容(Barner, Chow & Yang, 2009)，因此，数学概念的理解是儿童进行数学交流的前提和保障。一、3-6 岁儿童数学概念理解能力的现状水平（一）3-6 岁儿童数学概念理解

39、能力的整体 表现为了解 3-6 岁儿童在基本概念理解上的整体表现，对 433 名儿童在各个题项上的答题正确率进行统计，结果如表 5-2-1 所示：表 表 5-2-1 3-6 岁儿童在基本概念理解上的表现测试项目 分量表题项总数 平均答对题数 1 项目通过率 2颜色 11 10 90.9%数字/计数 19 16 84.2%量/大小 13 10 76.9%比较 10 7 70%形状 20 15 75%基本概念理解 73 60 82.2%由表 5-2-1 可知，3-6 岁儿童在基本概念上理解上的整体表现较好，整体通过率为 82.2%。在各分量表上而言，儿童在颜色理解上的表现最优，通过率为90.9%，

40、其次为数字和量通过率为 84.2%，76.9%，儿童在形状和比较上的表现稍微较弱，通过率仅为 75%和 70%。具体来说，儿童在颜色这一概念上的理解能力非常好，其中对黑色、白色、绿色、蓝色、黄色、粉色 6 中颜色的识别率最高，其正确率在 95%以上，其次为红色、紫色和橙色，正确率在 90%左右，再次为灰色，正确率为 82.4%，儿童在褐色理解的表现上不佳，正确率进位 79.7%。儿童在数字/计数上理解总正确率 84.2%，其中对 “数字 1,2,3,4”的理解识别理解率最高，正确率均在 95%左右；其次对 5-9 数字的理解正确率要高于数字10 以上的，但是“数字 9”和“数字 6”的正确率稍

41、微偏低，在 85%左右；儿童对两位数的理解正确率要低于“个位数”，并且数字的增大，儿童的正确率降低，“数字 95”、“数字 41”、“数字 27”的理解正确率会显著低于其他数字，在70%左右。在图形计数方面，随着量的增多，儿童的正确率下降，儿童对“一头熊”、“三朵花”的正确率要高于“六只鸭子”和“九只蜜蜂”，其中“九只蜜蜂”的正确率最低，为 75.1%。儿童在量/大小上的理解情况略低于数字/计数上的表现，总正确率为 76.9%，说明儿童已经能够掌握量、大小等概念。具体来说，儿童对最大、最小、最细、最长概念的理解情况要优于对最深、最浅、最密的理解。儿童在比较概念上的理解程度较差，在此项目上的通过

42、率为 70%，具体来看，儿童对“配成一对”、“完全匹配”、“某物体最像”、“读的不是书”等概念的理解还存在一定的困难，尚不能从否定方面或者事物特征的某一方面做出选择和分辨差异。儿童对形状理解的正确率为 75%，略优于对比较的理解。具体来说，除了对“菱形”、“斜线”、“曲线”、“角”这四个概念的图形辨认率比较低之外，儿童对二维图形的理解辨认能力要优于三维图形，其中二维图形中，“圆形”、“正方形”、“五角星”、“心形”、“三角形”、“长方形”的正确率最高，其次为“排成一队”、“排成一行”、“对号”、“椭圆形”。在三维图形中，儿童对“柱子”、“三棱锥”、“圆柱体”的理解水平要高于“立方体”、“圆锥体

43、”。总体来说，Breaken 基本概念难度的设计是由易至难、循序渐进的，儿童回答正确题目的越少，所获得概念的难度就越低。因此，从上述结果表明，3-6 岁小班儿童在比较上的整体理解能力偏差，正确通过率仅为 50%，具体来说，儿童在“不一样”、“不同”、“不一样多”几个概念的理解能力略高，正确率在 60%以上，其次是“相似”、“一样大”、“一样”、“一对”，正确率均在50%左右，儿童在“完全匹配”、“读的不是书”、“两条船最像”等几个概念的理解上存在较大的困难，其正确率仅为 30%左右。小班儿童对形状理解的正确率为 65%，具体来说，小班儿童能够理解绝大多数的二维平面图形，例如在 “圆形、正方形、

44、三角形、长方形、五角星、心形”上的正确率为 90%左右，但对“椭圆形”“菱形”的识别率不高。同时，在二维图形中，儿童对“斜线”、“曲线”、“角”等几个概念的理解还存在很大的困难，特别是“曲线”和“斜线”，儿童的正确率仅为 20%左右。相对于平面图形来说，儿童对三维立体图形的理解能力稍微偏弱，但 50%上的儿童能够识别并正确识别“三棱锥”、“圆柱体”、“柱子”、“立方体”等几何形体，而对于“圆锥体”的理解存在困难。最后，小班儿童能够对一些形状用语做出理解和判断，例如对“排成一队”、“排成一行”、“对号”等正确率也较高。在颜色中，除了“褐色”和“灰色”的正确率在 80%以上，其余颜色正确率均在 9

45、0%以上，95%左右，因此，中班儿童已经能够数量理解并辨识各种颜色。在计数上，除了在“数字 95”的正确率为 69.3%之外，其他数字的识别以及对图片数字的计数的正确率都在 80%以上。在量的理解上，中班儿童已经能够正确理解大小、粗细等概念，但在“水最浅”、“船最宽”、“网最密”上的正确率较低。在比较概念上，中班儿童理解能力稍微较弱，总正确率为 60%，具体来看，中班儿童能够基本理解“不一样、不同、不一样多”等三个比较概念，其正确率在 80%左右，但对于“相似、一样大”稍微较弱，通过的正确率在 70%左右，而在“一样、读的不是书、配成一对、两条船最像”不佳，其正确率在 60%左右。对于“完全匹

46、配”这一概念的理解和掌握则存在困难，其正确率不足 50%。在形状上，除了“菱形”的正确率为 51.2%之外，中班儿童已经能够完全理解和掌握各种平面几何图形的名称和概念，其项目通过的正确率均为 90%以上，但在二维空间概念上，对“斜线”、“曲线”、“角”这三个二维概念的理解和掌握上存在很大的困难，尤其“曲线”的正确率仅为 20%，“斜线”与“角”的正确率也不足 50%。在三维立体图形的概念中，儿童准确的理解“柱子”、“三棱锥”，其正确率为 80%以上，对“立方体”、“圆柱体”的理解偏差一点，在 60%左右，还不能较好的理解“圆锥体”的概念，其正确率不足 50%。数学概念是人脑对现实对象的数量关系

47、和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。3-6 岁的学前儿童，通过日常生活经验，他们对数字、模式、形状、数量、大小等逐渐形成了一套相对复杂的数学概念，而这些数学概念正是日后正式数学学习的基础。因此，对数学概念的理解与掌握则成为数学学习的首要任务，也是进行数学交流的前提和保障。儿童在不同概念维度上的表现并不一致，首先，从儿童整体概念的理解水平上看，颜色的理解能力显著高于其他概念，这是由于颜色概念是人类发展较早的概念之一，已有研究表明，4 个 月 的 婴 儿 已 经 能 够 分 辨 红 黄 蓝 绿 四 种 颜 色 (Bornstein, Kessen &Weiskopf,1976

48、)，因此在颜色概念的理解和表达上会显著高于其他内容；其次是数字/计数概念，赵振国（2008）通过对 3-6 岁儿童数感能力发展研究得出，在数感的六个组成部分中，数符号的辨认和比较是表现最优的(赵振国,2008)，这与本研究的结果相一致；再次是量和形状概念，早期儿童的数学内容是与关于数、量、形分不开的，而量与形的相关概念也是最早起源于日常生活(黄瑾,2016)，因此，儿童也较为能够掌握相应的概念。在五种基本概念中，儿童对比较的理解能力相对较弱，一方面是因为，比较的概念是与量的相对性联系在一起的，而量的相对性对学前儿童来说是较为抽象的概念(黄瑾,2016)，所以儿童还不能准确的判断和了解，另一方面

49、，比较概念的传递性，是通过较为抽象的专业词汇实现的，例如“哪两块拼图是完全匹配的、哪两只鞋子能够配成一对、哪两只动物是相似的”，而儿童的词汇水平也是影响理解的重要因素之一(闫梦格,李虹,李宜逊等,2020)，因此，虽然有相应的图片帮助儿童去呈现相应的概念，但是由于对专业性词汇的理解不够，也就表现出在比较概念上的相对较弱。总之，3-6 岁儿童在不同概念体系之间的理解能力并不均衡，在颜色概念理解上的表现最优，其次为数字/计数、量/大小、形状，比较概念的理解水平最低。形状中仅能理解二维平面图形，例如“圆形、三角形、正方形”等，对三维立体图形的理解中存在较大困难；在比较中，仅能理解“不一样、不同”等单

50、维层次概念的比较，对数学化、逻辑化程度较高的概念，如“完全匹配、读的不是书”还不能理解。中班儿童在数字/计数上的表现较小班儿童有了显著提升，例如，在数字概念上，除了较大数字理解的正确率较低之外（例如“95”、“53”、“41”），已经能够完全理解数字和符号；但是在比较和量/大小概念上的表现依然不佳。而到了大班，对数量概念的理解正确率为 100%，其他各维度的概念的理解正确率也都在 90%左右。从儿童在概念具体内容上的整体表现，以及不同年龄班在各个具体概念内容上的表现来看，概念的“数学专业化”、“概念的逻辑化”程度是影响儿童概念理解的主要因素，例如，数学专业化的表现为数量上的增加“数字95,47

51、”，概念逻辑性表现为“哪两个盒子是不一样的？”等，这一结果也从数学概念的角度解释了，专业的数学词汇、数学概念成为儿童数学学习的困难和挑战的原因之一（Azlina, Siti & Roziati.,2004）。除了“概念的抽象程度”影响之外，概念的表现形式与儿童对概念的熟悉程度，也是影响儿童理解能力的重要因素之一，例如，在数量概念上，无论哪个年龄班，儿童对“一头熊、三朵花”的理解正确率高达 95%以上，但即使到了大班，也有儿童在“六只鸭子、九只蜜蜂”的点数上面出现错误，这一结果也说明了物品的数量与排列方式也是儿童数字概念的影响因素之一(郭龙丹,黄瑾,2016)。此外，儿童对概念的熟悉程度也是影响

52、其理解正确率的主要原因，例如，在量的概念理解上，无论是哪个年龄段儿童都能够准确理解 “最大、最小、最长、最短、最宽、最细”等几个概念，但是对“深浅、疏密”理解正确率较低，这可能是由于儿童的具体形象性的思维方式有关，一方面，儿童大小、长短、宽细是儿童能够直觉感知到的物体属性(黄瑾,2016)，而深浅相对于具体的物品来说，更具抽象性，因此儿童对其的理解能力就相对较弱；另一方面，儿童早期数学认知的学习经验最早是来源于日常生活的(周欣,赵振国,陈淑华,2009)，儿童对物品的熟悉程度也是儿童概念理解的重要因素之一，而深浅、疏密并不是熟悉物品的主要属性，因此对其概念的理解能力也偏弱。关于不同年龄班儿童在概念理解上的整体表现的结果显示，小班儿童对基本概念的理解情况偏低，整体通过率未达 70%，其中在比较概念的通过率仅为 50%；到了中班，儿童对基本概念的理解能力显著提升，整体通过率达到了80%，这种提升尤其体现在数字/计数方面和形状方面，除了对比较概念理解能力相对较低之外，其他概念的正确率均在 70%上；到了大班，儿童的整体通过率高达 93.1%，说明大班儿童已经能够完全理解各个维度上的基本概念。从整个学前阶段数学概念发展水平来看，小班儿童整体略低，中