平面与平面垂直的判定 优秀教案

1、平面与平面垂直的判定和性质第一课时教学目标：理解二面角的有关概念，能画出二面角.会求二面角的平面角.教具准备：投影胶片、三角板.教学过程：设置情境看看口常生活中常见的例子:公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等.它们中的两个面成一定的角度.为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.那么，怎么定义两个平面所成的角呢？探索研究二面角半平面平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.二面角的画法：分直立式与平卧式两种.图1,记作二面角直立式平卧式图1二面角

2、的平面角教师提出问题：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样，一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量.这说明二面角不仅有大小.而且其大小是惟一确定的.平面与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况.为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题.从而提问：二面角的犬小应该怎么度量？让学生主动动手操作并与同学讨论交流，尝试找到度量二面角人小的方法.现给出二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图2,二面角a-l-0,Owl,BOu0,40丄/,B

3、O丄！.ZAOB是二面角a-1-p的平面角.二面角的平面角的范用是0180,当两个半平面重合时，平面角为0；当两个半平面合成一个平面时，平面角为180求解二面角问题的关键是确定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三个要素：（1）确定二面角的棱上一点；（2）经过这点分别在两个面内引射线；（3）所引的射线都垂直于棱.平面角是直角的二面角叫做直二面角.3例题分析例1如图3,平面角为锐角的二面角a-EF-卩.AeEF,4Gua,ZGAE=45若4G与0所成角为30,求二面角a-EF邛的平面角.解：作GH丄0于H,作HB丄EF于B,连结GB,则GB丄EF,ZGBH是二面角的平面角.又ZGAH是4G与

4、0所成的角，设AG=ci,TOC o 1-5 h zpyiHF)则GB=ci,GH=_ci,sillZ.GBH=. HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 2GB2ZGBH=45.例2正三角形ABC边长为10,人丘平面&,B、C与平面a的距离为4和2,B、C在平面a的同侧，求：平面ABC与平面a所成的角8.解：如图4.设F、C是B、C在平面&上的射影，延长BC交平面a于）,则平面ABCCa=AD.由已知可得C、C分别是和的中点.CD=CB=10B由ZDCA=120得ZCDA=303TOC o 1-5 h z又584=60,故ZDAB=90由三垂线逆定理

5、得ZDABr=90.42由于ZBAB=8,贝ijsin&=105n2/.Q=arcsin5演练反馈课本练习b2,3,4二面角指的是（）两个平面相交所成的角经过同一条直线的两个平面所组成的图形从一条直线出发的两个半平面组成的图形D两个相交平面所夹的不人于90的角3己知43C中，AB=2,BC=4,ZABC=45,BC在平面a内，ABC所TOC o 1-5 h z在平面与面a成30角，则ZBC在平面a内的射影面积可能是（）A.丄、E.36C2a/6DV624.已知二面角0的平面角是锐角a内一点C到0的距离为3,点C到棱3“C.43的距离为4,那么tan&的值等于（3AE55已知二面角a-/-0的平

6、面角为60,Pwa、若P到平面0的距离为馆，则P点在0上的射影片到平面a的距离为自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（）A相等B.互补C.互余D.无法确定如图5,ZAOB=90过点O引ZAOB所在平面的斜线OC,OC与OA.OB分别成45、60角，求二面角A-OCB的平面角的余弦值.如图6,在正方体ABCDABGU中，求二面角B-AG-d的平面角的正切值.图6如图7,在60的二面角a-1-p内有一点P,它到a、0面的距离分别为3和5,求P点到棱/的距离.参考答案1.略.2.C3.D4.C5.6.B2提示：在OC上任取一点M,作丄OC交04于H点，作MG

7、丄OC交OB与G点，令OM=a,则ZHMG即为所求，先在RtAOMG及OMH中算出MG、OG、MH、OH,再在RtAHOG中算出GH提示：连结dQ交于点O,连结BO,证明ABfiB就是二面角BB的平面角.提示：分别作PH、PG垂直于面a、0于点H、G,证明/丄面PHG,令/交于PHG于点、O,连结0/7、OG,证明ZHOG=6(r,ZHPG=120。,PO为所求.在PHG中用余弦定理算出HG.又P、H、0、G共圆，可由正弦定理去算PO.总结提炼求二面角的平面角，首先要选择一个合适的方案画出二面角，其次要能够根据定义作出二面角的平面角，用三垂线定理作二面角的平面角是最常用的方法，用三垂线定理必须先找到一个参考平面，二面角的两个半平面之一往往就是参考平面，而三垂线定理的特点是斜线和射影同时垂