平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第6讲 生产函数与规模报酬)

1、囱跨考敎肓KUAKAOEDUCATIONBorntowin经济学考研交流群tf(x,y),贝V为规模报酬递增；若f(tx,ty)tf(x,y)，则为规模报酬递减。（2）1）不是齐次函数。因为f（tx,ty）=13x3一12xy+13y3丰tf（x,y）。是齐次函数，且规模报酬不变，因为f(tx,ty)=2tx+ty+3t(xy上=tf(x,y)。是齐次函数，且规模报酬递减，因为：=13C4一5yw3=13f（x,y,w）20.505020.524381130320.254380(1)以横轴表示粮食数量，纵轴表示以布的数量所代表的粮食的价格，做出的粮食的供给曲线如图6-1所示(由加粗的线段和点构

2、成)。盧/跨考教肓KUAKAOEDUCATIONBorntowin经济学考研交流群点击加入盧/跨考教肓KUAKAOEDUCATIONBorntowin经济学考研交流群点击加入985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解10.5243038粮食/担图6-1粮食的供给曲线（2）以横轴表示布的数量，纵轴表示以粮食的数量所代表的布的价格，做出的布的供给曲线如图6-2所示（由加粗的线段和点构成）。4对下面的生产函数f（K,L）=卩+卩（KLA2+卩K+卩L0123其中，01

3、）倍时，产出也会同比例增长，即产出也会增加为原来的t倍。对本题的生产函数而言，规模报酬不变就意味着下式成立：f（tK,tL）=tf（K,L）即：0+0-1（KL）；+0tK+0tL=10+0-1（KL）1+0tK+0tLTOC o 1-5 h z01230123解得0=10，由于t1,所以0=0。即0=0，且0、0、0为0到1之间任意数0000123时，生产函数是规模报酬不变的。（2）规模报酬不变时，边际生产函数为f（K,L）显0KL1+0和L213f（K,L）=0K-2L2+0。K212由f(K,L)=-BK2L-20，所以MP递减；TOC o 1-5 h zLL41L由f(K,L)=-BK

4、-2l20时，AP(x)0，即平均产量随着投入的增加而上升；当MP(x)-AP(x)0时，AP(x)0)没有必然的联系，见图6-3。以两种要素生产两种产品为例，在埃奇沃斯盒子中，当生产的要素组合位于契约线上时，生产是有效率的，即不存在帕累托改进；而在契约线之外的任何点生产都不是帕累托有效的。生产可能性边界(同书中生产转换曲线)指在技术水平一定时，用一定总量的劳动投入与资本投入可以生产出的两种产品x和y的产出组合。通常情况下，生产可能性边界为外凸的，即为凹形，如图6-4所示。但是凸向原点的生盧/跨考教肓KUAKAOEDUCATIONBorntowin经济学考研交流群点击加入国跨考敎肓KUAKAO

5、EDUCATIONBorntowin经济学考研交流群点击加入985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解产可能性曲线也是存在的，例如生产函数为x=k0.710.7,y=k0.610.8；假设资本(k)和劳动l)的总量分别为20和10，生产可能性边界如图6-5所示。图6-4凹的生产可能性集图6-5凸的生产可能性集在生产是有效率时，当要素密集度不同时，递增的规模报酬相对应的生产可能性曲线是凸的；当要素密集度相似时，规模报酬递增会导致生产可能性曲线为凸的。6假定一家企业

6、的生产函数：y=L1/3，产出品价格p=3，工资率w=4，固定资产成本为2。问：最优要素投入量L*。最优供给量y*。(3)计算这家企业的利润量。(4)这家企业应不应关闭？解：(1)由已知可得MP=1Lt，对于追求利润最大化的企业，最优要素投入量应当满L3足该要素的边际产品价值等于要素价格，即：p-MP=w，则有：L1_23X匕3=43解得最优要素投入量厶=1。8最优供给量y*=L2=20厂商利润兀=P-y*-2一wL=3X-2一4乂丄=一1028该企业不应关闭。因为关闭后，企业的损失等于固定资产成本2；但是如果坚持经营，那么损失只有1，即企业继续经营的收益不仅可以弥补可变成本，还可以弥补部分固

7、定成本，所以企业不应当关闭。7证明：若某家企业的生产函数为ALa(0a0P2dqa,-A-dPa1兀=PALawLJ利润最大化的一阶条件为：=aALa-1-Pw=0dL解得L=a-1，所以企业的供给函数为q=AL=A-a1，供给函数关于产品价格求导，就有：所以供给量q随产品价格P上升而上升。(2)供给函数关于工资率求导，就有：(wa1111Iw、aAP丿aAPa一1P、aAP丿a10dqa,-A-dwa一1所以q随着工资率w上升而下降。8-已知一家企业的生产函数为F(K，L)=4K；L，产品价格为1，工资率为4，利率为2。固定资本成本为K。求：(1)L:K的最优比率(2)L与K的最优量。解：(

8、1)由生产函数F(K,L)=4K2L，可得:11111MP=x4XK2L=2K2LK211313MP=X4xK2L4=K2L4L4对于追求利润最大化的企业，企业决定最优要素比例的必要条件为：=二，即:MPw1221=24L11MP2K2LrK-MP1一3LK2L4解得K:L=1:1，即K=L。(2)把MP、P和w的表达式代入MPP=w中,LL把K=L代入式K2L-:=1中，就有：L-4=J，解得L=K*=44=256。某总公司有甲、乙、丙三个分公司，每个分公司都生产X和Y两种产品。下面是三个分公司用其全部资源可生产的X与Y的最大产量：表6-2分公司用其全部资源可生产的X与Y的最大产量口7口口丿

9、7-XY100200120ISO150150请画出该总公司的生产可能性曲线（以X为横轴，Y为纵轴）。答：对该公司而言，所有可能的产量组合为如表6-3所示。表6-3总公司所有可能的产量组合XYXYXYXYXXYYXXYY丙XXXXYYYY产吊:组合（X,Y）370,0270,200250,180150,380220,150120,350100,3300,530在两种商品的产量组合图上，画出所有的点，可知A、B、C、D四点是最有效率的生产组合（因为它们的右上方没有任何的点）。这样如果再假设生产集是凸的，那么A、B、C、D四点的连线就是生产可能性边界（严格的讲，A、B、C、D四点的连线和横轴与纵轴围

10、成的区域只是生产可能性集的内界，但由于本题没有给出其他信息，所以无法准确的作出生产可能性边界），如图6-6所示。在落日湾用手挖海蚶只需要劳动投入。每小时可获得的海蚶总量（q），由q=IOOiL给出。其中，L是每小时的劳动投入。（1）用图表示出q与L之间的关系。（2）落日湾中劳动的平均生产力为多少？用图表示出这一关系，并表明随着劳动投入的增加apl下降。L（3）证明落日湾的劳动边际产出为：MPl=50八亍。L国跨考敎肓KUAKAOEDUCATIONBorntowin经济学考研交流群点击加入国跨考敎肓KUAKAOEDUCATIONBorntowin经济学考研交流群点击加入因跨考敎肓罗匚二JKUAK

11、AOEDUCATIONBorntowin经济学考研交流群点击加入985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解用图表示出这一关系并证明对于所有的L值，MPAP。请解释它。LL解：（1）q与L之间的关系如图6-7所示。AP关于L分别求一阶和二阶导数得:L3AP=50L20，所以AP随图6-8平均产出和边际产出函数（3）根据生产函数q=1007L，可得MP=2LdL41由AP=，可知

12、MPAP，如图6-8所示。MPAP的原因在于：因为lLJllLLL边际产出递减，这就意味着额外增加一单位的投入，所多生产的产品比前面任何一个多增加的劳动力所多生产的都少，所以它自然也少于所有劳动力产出量的平均值，即MPAP。LL11某公司使用两种类型的除草机割草。小型除草机具有24英寸刀片，并适用于具有较多树木与障碍物的草坪。大型的除草机恰为小型除草机的两倍大，并适用于操作不太困难的空旷场地。两种生产函数的情况如表6-4所示：表6-4大型除草机和小型除草机的生产函数每小时产出(平方英尺)资木投入劳动投入大型除草机小型除草机8000500021(1)对应于第一种生产函数，图示出q=4000平方英

13、尺的等产量线。如果这些要素没有浪费地结合起来，则需使用多少K与L？对应于第二种函数回答(1)中的问题。如果4000平方英尺中的一半由第一种生产函数完成，一半由第二种生产函数完成，则K与L应如何无浪费地配合？如果3/4的草坪由第一种生产函数完成，而1/4的草坪由第二种生产函数完成，则K与L应如何配合？在你考虑(3)中问题的基础上，画出q=4000的联合生产函数的等产量线。解：对于每一种除草机，由于它们需要的资本投入和劳动投入的比例是固定的，所以生产函数是固定比例型的生产函数，即：(K)F=5000min=(K,L)222F=8000min=i(1)等产量线如图6-9(a)所示。图6-9(a)使用

14、大型除草机的等产量线I2=mm由此可知最优投入为K1=1，L=2。(2)等产量线如图6-9(b)所示。丿把F=4000代入大型除草机的生产函数，得:1图6-9(b)使用小型除草机的等产量线把F=4000代入小型除草机的生产函数，得:2由此可知最优投入为K2=5(3)将F=2000,F=2000分别代入大型除草机和小型除草机的生产函数，得到:解得：Ki=I25从而得到:_12_9122510L=L+L=1+2=13124520如果3/4的草坪由第一种生产函数完成，而1/4的草坪由第二种生产函数完成，类似于所采用的方法，可得K=20，L=40假设大型除草机完成4000平方英尺草坪中的S份，其余的由

15、小型除草机完成，则:4000口S=8000min=4000口(1-S)=5000min=(K,L)解得：K=S，L=S=L=5S)o22进一步得到:K=K1+K2=S+抑-S)=于L=L+L=S+4(1-5)=上笑i225口10即：S=5K-4,S=-.(8-10L)。3所以：5K4=x(810L)，即K=L,Ke,1333L5如图6-9(c)所示。图6-9(c)同时使用大型除草机和小型除草机的等产量线12.假定,q=LaKP，0a1，000,MP0;a2q.6L0,d2q,；QK20,MP=-aq=PLKP-10;LaLKaK凹=a(a-1)La-2KP0,电=P(P-1)LaKP-2AP，

16、则MP必为负数。这意味着LLK生产应在何处进行呢？一个企业能够在AP递增的点进行生产吗？L区J8I考教肓KUAKAOEDUCATIONBorntowin经济学考研交流群点击加入区J8I考教肓KUAKAOEDUCATIONBorntowin经济学考研交流群AP，所以MP=LA七_MMl）0，即MP为负数。LLKKK（2）这意味着企业应该在MPAP，从而MP为负数，此时增加资本投入量反而会导致产量下降。LLK14再次运用欧拉定理证明，对于只有两种投入（K与L）的一个规模报酬不变的生产函数，f必定为正。解释这一结论。KL证明：（1）对于规模报酬不变的生产函数f（K,L）而言，下式恒成立：f（K丄Lf

17、KK+fLL从式中解得:上式两边关于L求导得:f=（fiLf）=fKLKLLLLKLL如果边际产出递减的假设成立，那么f0。LLKL（2）f0说明，在规模报酬不变和边际产出递减的假设条件下，任何一种要素的边KL际产出都会随着另一种要素投入的增加而增加。15生产函数形式如下q二K1/2力/2=KL（1）劳动与资本的平均生产力是多少？（AP将取决于K，而AP则取决于L。）LK（2）图示当K=100时的AP曲线。L（3）证明MP二1AP，MP二1AP。运用这一信息，加一个MP函数到（2）图中。L2LK2KL这一曲线有何特别的地方？（4）画出q二10时的等产量线。（5）运用（3）中的结果，在点K=L=

18、10,K=25,L=4及K=4,L=25处，q二10的等产量线上的MRTS是多少？这一函数呈现边际技术替代率递减吗？解：（1）由生产函数q=K1/2Ll/2=、：KL，可得：劳动的平均生产力为AP=L资本的平均生产力为AP=K国跨考敎肓KUAKAOEDUCATIONBorntowin经济学考研交流群点击加入国跨考敎肓KUAKAOEDUCATIONBorntowin经济学考研交流群点击加入985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解(2)当K=100时，AP=，如图6-10所示。LVL图6-10劳动的平均产量和边际产量TOC o 1-5 h z(3)MP=虫=-：=-AP，MP=西=丄-=-AP。MP曲线如图6-10所示,ldL2、L2lQ2iK2-其中MP曲线的纵坐标是相应AP曲线的纵坐标的一半。LL当q=10时，等产量线的函数式为叮KL=10，对应的等产量线如图6-11所示。(5)当K=L=10时，MRTS=1;MPLK25当K=25，L=4时，M