【专项训练】初二数学-全等三角形的综合应用

1、第PAGE23页全等三角形的综合应用一、常考易错题分析【例1】（2018秋滨海县期中）如图，在ABC中，ABC90，ABBC，BDAC，垂足为D，过点D作DEDF，交AB于点E，交BC于点F（1）求证：DBEDCF；（2）连接EF，若AE4，FC3，求BF的长；四边形BFDE的面积【解答】（1）证明：D是AC中点，ABDCBD45，BDADCD，BDAC，EDB+FDB90，FDB+CDF90，EDBCDF，在BED和CFD中，EBD=CBD=CDEDB=CDF，BEDCFD（ASA）；（2）解：BEDCFD，BECF3；同理可证：AEDBFD，AEBF4；BEDCFD，四边形BFDE的面积【

2、例2】（2017秋鸡西期末）数学课上，李老师出示了如下框中的题目：小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系请你直接写出结论：AEDB（填“”，“”或“”）（2）特例启发，解答题目解：题目中，当E不是AB的中点时，如图2，线段AE与的DB的大小关系是：AEDB（填“”，“”或“”）并说明理由：（提示：过点E作EFBC，交AC于点F）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且EDEC若ABC的边长为1，AE2，请你画出图形，并直接写出CD的长【解答】解：（1）AEDB，理由如下：

3、ABC是等边三角形，点E为AB的中点，ABC60，BCE30，EDEC，DBCE30，BEDABCD30，BDBE，AEBD，故答案为：；（2）AEDB，理由如下：作EFBC交AC于F，ABC是等边三角形，AEF是等边三角形，EFBC，ECBFEC，EDEC，DBCE，FECBDE，在EDB和CEF中，EDB=CEFEBD=CFE=120ED=EC，EDBCEF，EFBD，AEBD，故答案为：；（3）如图，CDBC+BDBC+AE3，如图，CDBDBCAEBC1，综上所述，CD的长为3或1二、巩固练习一选择题（共5小题）1（2019春永寿县期末）如图，已知ABBC于B，CDBC于C，BC13，

4、AB5，且E为BC上一点，AED90，AEDE，则BE（）A13B8C6D52（2018秋香洲区期末）如图，ABCD，AEBC，DFBC，垂足分别为E，F，CEBF，下列结论错误的是（）ACBBDFAECA+D90DCFBE3（2018秋黔东南州期末）如图，RtABC中，AD是BAC的平分线，DEAB，垂足为E，若AB10cm，AC6cm，则BE的长度为（）A10cmB6cmC4cmD2cm4（2018秋沙河口区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角作法如下：如图所示，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OMON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是A

5、OB的平分线这种作法的道理是（）AHLBSSSCSASDASA5（2017秋甘南县期末）如图：点C在AB上，DAC、EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，则下列结论正确的是（）AEDBCMCNCMN为等边三角形 MNBCABCD二填空题（共5小题）6（2018秋秦淮区期末）如图，点P是AOB内一点，PEOA，PFOB，垂足分别为E、F，若PEPF，且OPF72，则AOB的度数为 7（2018秋海陵区期末）如图，直线l1l2l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，ACB90，AC交l2与点D已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，

6、则线段AB的长等于 8（2018秋如皋市校级月考）如图，在ACB中，ACB90，ACBC，C点坐标为（3，0），A点坐标为（8，4），则B点的坐标是 9（2018秋宁津县校级月考）如图，AD是ABC中BC边上的中线，若AB5，AC8，则AD的取值范围是 10（2016春海南校级期末）如图，过正方形ABCD的顶点A作直线l，过点B、D作l的垂线，垂足分别为E、F若BE8，DF6，则EF的长度等于 三解答题（共4小题）11（2019春贵阳期末）如图，在ABC中，ACB90，ACBC，AECE于E，BFCE于F（1）AEC与CFB全等吗？请说明理由；（2）请说明BF，AE，EF之间的数量关系12（2

7、019春南山区校级期中）如图，已知点C是线段BD上一点，以BC、DC为一边在BD的同一侧作等边ABC和等边ECD，连接AD，BE相交于点F，AC和BE交于点M，AD，CE交于点N，（注：等边三角形的每一个内角都等于60）（1）求证：ADBE（2）线段CM与CN相等吗？请证明你的结论（3）求BFD的度数13（2019春牡丹区期末）（1）阅读理解：如图1，在ABC中，若AB10，BC8求AC边上的中线BD的取值范围小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DEBD，连结CE，利用全等将边AB转化到CE，在BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法

8、是 ；中线BD的取值范围是 （2）问题解决：如图2，在ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DMDN求证：AM+CNMN14（2019春漳州期末）如图，四边形ABCD中，ADBC，点P在AB边上，CP平分BCD，DP平分ADC（1）按三角形内角的大小分类，试判断CPD的形状，并说明理由；（2）若AB10，B90，求点P到CD的距离参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1【解答】解：在ABE和ECD中B=C=90A=DECAE=DE ABEECD（AAS）CEAB5BEBCCE1358故选：B2【解答】解：CEBF，CEEFBFEF，CFBE，AEBC，DFBC，CFDA

9、EB90，在RtCFD和RtBEA中，CD=ABCF=BE，RtCFDRtBEA（HL），CB，DA，CDAB，故A，B，D正确，C+D90，A+C90，故C错误，故选：C3【解答】解：AD是BAC的平分线，CDDE，在RtACD和RtAED中，CD=DEAD=AD，RtACDRtAED（HL），AEAC6cm，AB10cm，EB4cm故选：C4【解答】解：由图可知，CMCN，又OMON，OC为公共边，COMCON，AOCBOC，即OC即是AOB的平分线故选：B5【解答】解：DAC、EBC均是等边三角形，CACD，ACD60，CECB，BCE60，DCE60，ACEBCD120，在ACE和DC

10、B中CA=CDACE=DCBCE=CB，ACEDCB，AEDB，所以正确；CAECDB，在ACM和DCN中MAC=NDCCA=CDACM=DCN，ACMDCN，CMCN，所以正确；CMCN，MCN60，CMN为等边三角形，CMN60，CMNMCA，MNBC，所以正确故选：D二填空题（共5小题）6【解答】解：点P是AOB内一点，PEOA，PFOB，垂足分别为E、F，若PEPF，OP是AOB的角平分线AOPBOP在RtOPE中，AOP180OEPOPE180907218，BOP18AOBAOP+BOP18+1836故答案为：367【解答】解：如图，作BFl3于F，AEl3于E交直线BD于GACBC

11、FBAEC90，BCF+ACE90，BCF+CBF90，ACECBF，在ACE和CBF中，BFC=CEACBF=ACEBC=AC，ACECBF（AAS），CEBF，CFAE，l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，CEBF=3，CFAE=4，BG=EF=7，AG=1，.8【解答】解：过A和B分别作ADOC于D，BEOC于E，ACB90，ACD+CAD90ACD+BCE90，CADBCE，在ADC和CEB中，ADC=CEB=90CAD=BCEAC=BC，ADCCEB（AAS），DCBE，ADCE，点C的坐标为（3，0），点A的坐标为（8，4），OC3，ADCE4，OD8，CDODOC5，OE

12、CEOC431，BE5，则B点的坐标是（1，5）故答案为（1，5）；9【解答】解：如图，延长AD到E，使DEAD，AD是BC边上的中线，BDCD，在ABD和ECD中，BD=CDADB=EDCDE=AD，ABDECD（SAS），CEAB，AB5，AC8，85AE8+5，即32AD13，1.5AD6.5，故答案为：1.5AD6.510【解答】解：如图，四边形ABCD是正方形，BAE+DAF90，ABE+BAE90，ABEDAF在ABE与ADF中，AEB=AFDABE=DAFAB=AD，ABEDAF（AAS），AEDF，BEAF，EF=AF-AE=BE-DF=8-6=2.故答案为：2三解答题（共4小

13、题）11【解答】解：（1）全等，理由如下：在ABC中，ACB90，ACE+BCF90，又BFCE于F，CBF+BCF90ACECBF在ACE与CBF中，E=BFCACE=FBCAC=BC，ACECBF （AAS）；（2）BFEF+AE，理由如下：由（1）知：AECCFB，AECF，ECBF，又ECEF+CF，ECEF+AEECBFEF+AE，BFEF+AE12【解答】（1）证明：ABC是等边三角形，BCAC，BACABCACB60，同理：CECD，ECD60，ACBECD60，ACB+ACEECD+ACE，即BCEACD，在ACD和BCE中，AC=BCACD=BCECD=CE，ACDBCE（S

14、AS），ADBE；（2）解；CMCN，理由如下：ACDBCE，CBECAD，ACBECD60，ACE60ACBACE，在BCM和ACN中，CBM=CANBC=ACBCM=ACN，BCMACN（ASA），CMCN；（3）解：ACDBCE，CBECAD，BFDBAF+ABEBAC+CAD+ABEBAC+CBE+ABEBAC+ABC60+6012013【解答】（1）解：BD是AC边上的中线，ADCD，在ABD和CED中，AD=CDADB=CDEBD=ED，ABDCED（SAS），CEAB10，在CBE中，由三角形的三边关系得：CEBCBECE+BC，108AE10+8，即2BE18，1BD9；故答案为：SAS；1BD9；（2）证明：延长ND至点F，使FDND，连接AF、MF，如图2所示：同（1）得：AFDCND（SAS），AFCN，DMDN，FDND，MFM