三维空间管道的重建与分析

1、数学的实践与认识第 !卷第 期年 月3456! -46!7三管道的重建与分析?摘要 本文在假设切片最大内含圆半径即为滚动球半径的前提下;通过在每一切片中寻找最大内含圆所有可能的圆心;并用邻近层切片信息对所有可能圆心进行筛选;比较准确地定出了 $A 层的中轴线坐标B外推了 =$A =#层C =A#层的中轴线坐标B用所求中轴线坐标重建切片并与原切片比较;相素点个数相对误差不超过 $6EF:模型B空间管道重建BG%.图象关于问题的理论分析H设三管道的表面是由球心沿着某一曲线中轴线?的球滚动包络而成的:由管道中间距相等的 =$张平行切片 G%.图象;且每一切片与中轴线有唯一交点;试计算管道的中轴线与滚

2、动球半径:注意到问题所给信息不能排除下述可能直径一定的球体可以产生比球体直径大得多的切片;如图 =所示;切片是由球心沿竖直方向上升较慢的螺旋线的球滚动而成的:在此情形下;实际无法确定中轴线坐标与球半径:针对所求问题;不妨设中轴线在水平方向的螺旋绕动变化相对竖直方向变化较慢;使得任一切片最大内含圆的半径与滚动球半径相同:最大内含圆的圆心即为切片与中轴线的交点:球体沿中轴线滚动在空间形成包络:任一中轴线坐标处的球体必占据整个球体空间:从而有下列定理:定理H 设球体半径为 K;中心在第 L层;则在其上 K层A下 K图= 比球体直径大的切片形成过程层切片中必包含该球体对应截面的小圆;在上C下M层切片中

3、包含球体截面半径为 NK#M#的小圆;见图 #:相反;管道任一层的切片是由其上K层A下K层中轴线坐标处的球体在该层的对应截面包络而成:故由定理 =知;空间一点 O为中轴线坐标必满足以O为球心的球体一定在其上C下 M层切片中包含球体截面半径为 NK# M#的小圆:基本模型的建立为便于表达;建立三维直角坐标系;以象素宽为坐标P图# 中轴线坐标上下 M层包含该球体中相应的小圆收稿日期#$#$E#J数 学 的 实 践 与 认 识NN卷-)刻度!取坐标系的轴垂直于切片!切片#$%&位于平面(#!切片)$%&位于平面()$(*切片图象中象素中心的坐标依它们在文件中出现的前后次序为+ -./! -./!*0

4、!+ -.! -./!*0!+ -./! -.!*0! 1+ -./!-.!*0!+ -.! -.!*0! 1+ -.!-.!*0!1111111111+-.! -./!*0!+-.! -.!*0!1+-.!-.!*0$从而坐标原点位于象素+#!#!#0的中心$为了确定中轴线与滚动球半径!由于每一切片与中轴线有唯一交点!理论上可通过寻找每一切片中的最大圆圆心及半径定出中轴线坐标与球半径!但由于切片以234离散型象素点形式给定!切片中最大圆半径及圆心具有较大的不定性和不唯一性!通过定理 5述及的方法可对上述可能的圆心进行筛选$下面先由连续圆周生成 234图形文件的方法问题$由于 234文件中圆的

5、边界由象素点表示!边界经放大呈锯齿状!故不能用连续型方法确定 234中圆的半径和圆心$当圆心坐标与半径为整数时!通常可选用 267879:;& 方法或 39?+中点0方法将连续圆周离 散化为象素点$针对题中圆心及半径坐标可为实数!本文将 267879:;& 方法应用于一般情形$267879:;& 方法设圆心为+AB!CB0!半径为 D!对任意整数坐标+A!C0!若EC CBEFEA ABE!则当AB0- G +CAB0- G +CCB0-CB0-+DH0-EI E+A+DH0-EI E+AAB0- G +CG 5CB0-+DH0-E+DH0-EE+AE+A且AB0- G +CCB0-5时!取+

6、A!C0为圆周象素$类似地可写出EC经试验确定$EA ABE时的表达式$这里 H(#KLM#K.!CBEJ应用 267879:;& 方法于 #$%&!可唯一确定其最大圆半径为 N#$#!圆心坐标为+#$#!5/#$#0!由此定出滚动球的半径 D(N#K#!#$%&的中轴线坐标为+#K#!5/#K#0$对5$%&)$%&以#K5的坐标精度寻找半径为N#的圆心!此为中轴线坐标的待选方案$由于象素点是整数而引起的误差!一些 234图象的中轴线坐标待选方案会比较多$应用定理 5中的方法!通过上 -)层M 下 -)层切片信息可以筛选待选点!这样得到 #$%& O#$%&比较好的结果!一般剩下 -M .个

7、待选点!这些待选点相互靠近!再通过求平均的方法定出中轴线坐标!或结合下面的方法进一步筛选$但对 O5$%&)$%&!由于不能完全使用上 -)层切片的信息!经上述方法筛选后不少待选点!需用下面的方法确定其中轴线坐标$为 了定出 )$%&的 中轴线坐 标!考虑 )$%&下方第 -)层切片 O#$%&!经计算 O#$%&左下角尖端不可能 是半径为 5#KOOQ-R-的圆的包络!只能是半径为 OK/RQSN#-)-的圆的包络!见图 N$SN#-因半径为 O$/R的圆对应球体的球心一定在图N O#$%&左下角尖端特性$期3三管道的重建与分析:$!层的上#$层%$&()*或下#$层%+,&()*中-而+,

8、&()不存在这样的球体-故只能存在于 $&()中&故通过定出半径为 !&./的圆心坐标%0-1*-该小圆刚好包络 !&()的左下角-而圆心坐标必为 $&()的中轴线坐标&归纳此特性下列定理&定理 2 任一切片尖端中半径为 !&./的圆的包络-其圆心坐标%0-1*必为该切片上 #$层或下 #$层中切片的中轴线坐标&仿照上述方法可定出所有切片的轴心坐标&总结以上方法-从而有确定中轴线坐标的步骤如下3,*在切片中寻找最大内含圆的圆心-此为中轴线坐标的待选方案4#*由于中轴线坐标处的球体一定在其上5下 6层切片中包含球体截面半径为 97#小圆-利用上5下 #$层切片信息筛选中轴线坐标4:*应用切片尖端

9、特性进一步筛选中轴线坐标&表 ,给出了部分切片的中轴线坐标&6#的表;部分切片的中轴线坐标中轴线坐标的外推由给定的 ,张切片-除能定出 &() $&()上的中轴线坐标外-还能根椐切片信?息确定 AB,C,#/-AB#$处的中轴线坐标或估计其范围&为了确定 AB,处中,C轴线坐标-由定理 ,知在 AB!,C$各切片中必包含以上述中轴线坐标为球心的球体在相应高度的截面小圆-据此可定出 AB,处中轴线坐标%.D#-,/$D*&而欲求 AB,#/处中轴线坐标-由定理 #知-$&()左下角中半径为 !D./的包络圆圆心%,+#D:- ,#$D#*-必为 AB,#/处的中轴线坐标-合并使用定理 ,5定理

10、#上述方法还可用于计算A为非整数的中轴线坐标&到中轴线坐标的外推-结果见表 #&01$!#&,.$%5;4处球体在 67处对应截面的小)515;圆外5还含有任意两个整数层之间一切 6值处球体在 67处对应截面的小圆(为了重建67处的管道切片5首先加密上%5这里考虑到坐标点为 &%的精度要求(再对加密点经微小摄动5利用定理 %的方法过滤得精度较高的中轴线坐标(然后由这些中轴线坐标5在67处生成相应半径的小圆5迭加而成67 处切片(将所得切片与原切片进行象素差异比较见表 0(相素点个数的相对误差(部分结果表?重建切片与原切片相素点个数及相对误差&%1-,.&1,+,相素点个数%0%),-&-).相

11、对误差&(-0&(0,1&(%/&()1&()%&(00经计算知5所有重建切片与原切片比较5相素点个数的相对误差A&.(最后5需要的是5半径相同5圆心不同的圆可能具有相同的BCD图象5因此5中轴线坐标 E9%&参考文献F%:数量级的误差完全可以接受(G%H IJKLMNOPLQK5DLRMSKPBLTPQC 著5等译(计算机图形学GCH(电子工业5%,+5-(G)H UJVPQWILXSNY著5等译(计算机图形学的算法基础GCH(科学5%,+/5%(#$%&(%&(&)&(%&(&0&()%&(&-&(0%.,(,111).%2 %,%-/2 %/)%+2 %.+2 %)/)&2 )-%-02

12、 %/)+)02 )/%-&2 %+&),).2 ),%0+2 %+)#$%&.%()%+-(.%./()%+)(,%)(0%+%()%0+(%/,(0111%)-%).(&%-.(+%).%),(-%-)(%)%0-(&%0/(,%)/%0+(0%00(0%)+%-)(0%),()#$%&()%+,(&%&%&(-%+,(.%&)()%+,(/%&0%(-%+,(/%&-%/(&%+,(.%&.)(/%+,()%&)+(%+(%&/0-(%+/(,%&+-&(%+(,%&,-.(,%+.(/M期R三管道的重建与分析cM!#$%?;AB9AC8DEAFGH69IA9=JKLLMNHO;A9P!

13、Q&-.#+-R SAF;F;8EETUVFA9F;FF;8UWAUTU XADXY8X9FA98Z98X;EYAX8;EF;8EU8 DZATEEF;8 UCA9= EV;8D8H 8 DA9= DDZ U8F;Z F A9Z YYVEEAY8 X89F8DE UWAUTU XADXY8E98C8DGEYAX89ZTE8A9DUFA9ZIX89FEYAX8EFAYFDF8F;8VEEAY8 X89F8DEBEA9=F;AEU8F;ZH8FA9F;8XDZA9F8EF;8C8EE8YX89F8DXTDC896L_ 6MMEYAX8;AX; D8XUVDFAC8YGVD8XAE8H9Z 8WFDVYF8F;8XDZA9F8EF;8C8EE8Y X89F8D