山东大学概率论与数理统计课件10贝努里概型和二项分布

1、例1 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.贝努里概型和二项分布一、我们来求X的概率分布.X的概率函数是：男女X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为 p.X=0X =1X =2X =3X =4X可取值0,1,2,3,4.例2 将一枚均匀骰子抛掷3次，令X 表示3次中出现“4”点的次数X的概率函数是：不难求得， 掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：A或 ， 或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”. 新生儿：“是男孩”，“是女孩” 抽验产品：“是正品”，“是次品” 这样的

2、n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型. 再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重复”是指这次试验中各次试验条件相同 )， 每次试验成功的概率都是p，失败的概率都是q=1-p. 用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则（2）不难验证：（1）称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作 XB(n,p)当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1称X服从两点分布例3 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.

3、依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X B (3, 0.05)，注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解.古典概型与贝努里概型不同，有何区别？请思考： 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 ， 且P(A)=p ， ； （3）各次试验相互独立.可以简单地说，例4 某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时

4、以后最多只有一个坏了的概率.解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 . X B (3, 0.8)，把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.8 P(X 1) =P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104 对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.二项分布的图形特点：XB(n,p)当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p达到最大值；( x 表示不超过 x 的最大整数)n=10,p=0.7kPk 对于固定n及p

5、，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.二项分布的图形特点：XB(n,p)当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大值.课下请自行证明上述结论.n=13,p=0.5Pkk0二、二项分布的泊松近似 当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦. 我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面我们将介绍二项分布的正态近似.必须寻求近似方法.证明见教材. 定理的条件意味着当 n很大时，pn 必定很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大，p 很小时有以下近似式：泊松定理设 是一个正整数， ，则有其中 n 100, np

6、 9 时近似效果就较好.实际计算中，其中 例5 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员 . 设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理 . 问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?我们先对题目进行分析： 300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01. 一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01? 设X为300台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01 . 可看作n=300的贝努里概型.XB(n,p)，n=300, p=0.01可见， 300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01 . 一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，XB(n,p)，n=300, p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(XN) N) N) n大,p小,np=3,用 =np=3的泊松近似下面给出正式求解过程：即至少需配备8个维修人员.查书末的泊松分布表得N+1 9,即N 8我们求满足的最小的N.我们介绍了二项分布.二