高三数学-第四篇-第五节数列的综合应用课件-理-北师大版

1、第五节数列的综合应用第一页，编辑于星期五：八点 三十六分。考纲点击能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.热点提示1.以递推关系为背景，考查数列的通项公式与前n项和公式.2.等差、等比交汇，考查数列的基本计算.3.数列与函数、不等式、解析几何交汇，考查数列的综合应用.4.以考查数列知识为主，同时考查“等价转化”、“变量代换”思想.第二页，编辑于星期五：八点 三十六分。1解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求出该问题的数学解(4)复原

2、将所求结果复原到原实际问题中第三页，编辑于星期五：八点 三十六分。2数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比第四页，编辑于星期五：八点 三十六分。银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？提示：单利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，那么本利和an=a1+rn，属于等差模型.复利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，那么本利和an=a1+rn，属于等比模型.第五页，编辑于星期五：八点 三十六分。(3)递推数列模型：如

3、果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn1之间的递推关系1有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A6秒钟B7秒钟C8秒钟 D9秒钟第六页，编辑于星期五：八点 三十六分。【解析】依题意121222n1100， 100，2n101，n7，那么所求为7秒钟【答案】B2函数f(x) ，其对称中心是 ，假设an (nN*)，记数列an的前n项和为Sn，那么使Sn0的n的最小值为()A10 B11C12 D13第七页，

4、编辑于星期五：八点 三十六分。【解析】由题意可知 是其对称中心，a1a100，a2a90，即a1a2a100，即S100，而a11f(11)0，S110.【答案】B3等差数列an中，an0，nN*，有2a3a722a110，数列bn是等比数列，且b7a7，那么b6b8等于()A2 B4C8 D16第八页，编辑于星期五：八点 三十六分。【解析】a722a32a112(a3a11)4a7，a70(舍)或a74，b7a74.b6b8b7216.【答案】D4三个数a、b、c成等比数列，那么函数f(x)ax2bxc的图象与x轴公共点的个数为_【解析】a、b、c成等比数列，b2ac，且b0.又b24acb

5、24b23b20且a1)，设f(a1)、f(a2)、f(an)(nN)是首项为4，公差为2的等差数列(1)假设a为常数，求证：an成等比数列；(2)设bnanf(an)，假设bn的前n项和是Sn，当a时，求Sn；(3)令Cnanlg an问是否存在a，使得Cn中每一项恒小于它后面的项，假设存在，求出a的范围；假设不存在，说明理由第十六页，编辑于星期五：八点 三十六分。【解析】(1)证明：f(an)4(n1)22n2，即logaan2n2，可得ana2n2. a2，为定值an为等比数列(2)bnanf(an)a2n2logaa2n2(2n2)a2n2.当a 时，bn(2n2) 2n2(n1)2n

6、2.Sn223324425(n1)2n2，2Sn224325426n2n2(n1)2n3.得Sn22324252n2(n1)2n3.16 (n1)2n3第十七页，编辑于星期五：八点 三十六分。162n324n2n32n3n2n3.Snn2n3.(3)Cnanlg ana2n2lg a2n2(2n2)a2n2lg a.要使Cn1Cn对一切n2成立即nlg a1时，即n(n1)a2，对一切n2成立当0a(n1)a2n 对一切n2成立只需2 ，0a .故a的范围为0a1.第十八页，编辑于星期五：八点 三十六分。 气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，这台观测仪从启用的第一天起连续使用 ，第n天的维

7、修保养费为 元(nN*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了多少天？第十九页，编辑于星期五：八点 三十六分。【自主探究】由第n天的维修保养费为 元(nN*)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值设一共使用了n天，那么使用n天的平均耗资为当且仅当 时，取得最小值，此时n800.答：一共使用了800天第二十页，编辑于星期五：八点 三十六分。【方法点评】1.解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化然后用等差数列

8、知识求解这其中表达了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力2解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：第二十一页，编辑于星期五：八点 三十六分。第二十二页，编辑于星期五：八点 三十六分。2某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，假设不进行改革，因竞争加剧收入将逐月减少分析测算得2021年第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造220万元，且2021年后每月再投入1万元进行员工培训，那么测算得自2021年第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)

9、的关系为Tnanb，且2021年第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问从2021年1月份开始，经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入【解析】改革后经过n个月累计纯收入为(Tn220n)万元第二十三页，编辑于星期五：八点 三十六分。不改革的累计收入为70n ，由题意可得80n10220n70n3nn(n1)，即n211n2100，得n10或n0)，因此，历年所交纳的储藏金数目a1，a2，an是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储藏金

10、就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储藏金就变为a2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累计的储藏金总额第二十五页，编辑于星期五：八点 三十六分。(1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式；(2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列【思路点拨】(1)中关系式容易列出；(2)中利用Tn与Tn1，Tn1与Tn2的关系以此类推，逐步得Tn的表达式，再利用错位相减法求得Tn，即不难得出An与Bn.【自主探究】(1)由题意可得TnTn1(1r)an(n2)(2)T1a1，对n2反复使用上述关系式，得TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)an第二十六页，编辑于星期

11、五：八点 三十六分。a1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an在式两端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)an (1r)n1ra1(1r)nan.即Tn .如果记An (1r)n，Bn n，那么TnAnBn.其中An是以 (1r)为首项，以1r(r0)为公比的等比数列；Bn是以 为首项，以 为公差的等差 第二十七页，编辑于星期五：八点 三十六分。【方法点评】1.函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出假设干项，逐步探索数列通项或

12、前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用 .2与等比数列联系较大的是“增长率、“递减率的 概念，在经济上多涉及利润、本钱、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题这都与等比数列有关第二十八页，编辑于星期五：八点 三十六分。3某市2021年共有1万辆燃油型公交车，有关部门方案于2021年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2021年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ？(lg 6572.82，lg

13、20.30，lg 30.48)【解析】(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an，其中a1128，q1.5，那么在2021年应该投入的电力型公交车为a7a1q61281.561 458(辆)第二十九页，编辑于星期五：八点 三十六分。所以到2021年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 .第三十页，编辑于星期五：八点 三十六分。1(2021年湖北高考)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比方：第三十一页，编辑于星期五：八点 三十六分。他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方

14、形数以下数中既是三角形数又是正方形数的是()A289B1 024C1 225 D1 378【解析】观察三角形数：1,3,6,10，记该数列为an，那么：a11，a2a12，a3a23，第三十二页，编辑于星期五：八点 三十六分。anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n ，观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为bn，那么bnn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225，应选C.2(2021年湖南高考)将正ABC分割成n2(n2，nN*)个全等的小正三角形(图1，图2分别给出了n2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，

15、使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列第三十三页，编辑于星期五：八点 三十六分。假设顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，那么有f(2)2，f(3)_，f(n)_第三十四页，编辑于星期五：八点 三十六分。【解析】设三个顶点A，B，C处放的数分别为a，b，c，那么边AB中间两个顶点上的两个数分别为a (ba)，a (ba)；边AC中间两个顶点上的两个数分别为a (ca)，a (ca)，与边BC平行的直线共有2条，每条直线上的顶点上的数的个数分别为2,3，顶点上的数之和分别为a (ba)a (ca)a ，BC边

16、上的四个顶点上的数之和为 2b2c，第三十五页，编辑于星期五：八点 三十六分。故f(3)aa 12b2c2(abc)1 .对于分割成n2的情形，那么除A，B，C三个顶点外，AB，BC，AC三边上各有n1个顶点，AB边上的第k个(从上到下)顶点上的数为a (ba)，AC边上的第k个(从上到下)顶点上的数为a (ca)，平行于BC的直线共有n1条，从上到下依次有2,3，n个顶点，平行于BC的第k条直线上的k1个顶点上的数成等差数列，其和为第三十六页，编辑于星期五：八点 三十六分。第三十七页，编辑于星期五：八点 三十六分。【答案】 (n1)(n2)3(2021年天津高考)等差数列an的公差为d(d0

17、)，等比数列bn的公比为q(q1)设Sna1b1a2b2anbn，Tna1b1a2b2(1)n1anbn，nN*.(1)假设a1b11，d2，q3，求S3的值；(2)假设b11，证明(1q)S2n(1q)T2n ，nN*；第三十八页，编辑于星期五：八点 三十六分。(3)假设正整数n满足2nq，设k1，k2，kn和l1，l2，ln是1,2，n的两个不同的排列，c1ak1b1ak2b2aknbn，c2al1b1al2b2alnbn，证明c1c2.【解析】(1)由题设，可得an2n1，bn3n1，nN*.所以，S3a1b1a2b2a3b311335955.(2)由题设，可得bnqn1，那么S2na1

18、a2qa3q2a4q3a2nq2n1，T2na1a2qa3q2a4q3a2nq2n1.式减去式，得S2nT2n2(a2qa4q3a2nq2n1)式加上式，得S2nT2n2(a1a3q2a2n1q2n2)第三十九页，编辑于星期五：八点 三十六分。式两边同乘q，得q(S2nT2n)2(a1qa3q3a2n1q2n1)所以，(1q)S2n(1q)T2n(S2nT2n)q(S2nT2n)2d(qq3q2n1) ，nN*.(3)c1c2(ak1al1)b1(ak2al2)b2(aknaln)bn(k1l1)db1(k2l2)db1q(knln)db1qn1.因为d0，b10，所以 (k1l1)(k2l2)q(knln)qn1.第四十页，编辑于星期五：八点 三十六分。假设knln，取in.假设knln，取i满足kili，且kjlj，i1jn.由及题设知，1in，且 (k1l1)(k2l2)q(ki1li1)qi2(kili)qi1.当kili时，同理可得 1，因此c1c2.综上，c1c2. 1等价转化和分类讨论的思想方法在本节中也有重要表达，复杂的数列问题总是要转化为