新人教版高中数学（必修二）（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（提高版）（家教、补习、复习用）

1、 新人教版高中数学（必修二）重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习空间几何体的结构【学习目标】1利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球的结构特征；2认识由柱、锥、台、球组成的几何组合体的结构特征；3能用上述结构特征描绘现实生活中简单物体的结构【要点梳理】【空间几何体的结构394899 棱柱的结构特征】要点一：棱柱的结构特征1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱侧面与底的公共顶点叫做棱

2、柱的顶点棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱3、棱柱的表示方法：用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、；用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.要点诠释：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一

3、条件，但它不是棱柱判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱【空间几何体的结构394899 棱锥的结构特征】要点二：棱锥的结构特征1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥这个多边形面叫做棱锥的底面有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ；

4、SSDDCCBBAAECBAS3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥要点诠释：棱锥有两个本质特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可【空间几何体的结构394899 旋转体的结构特征】要点三：圆柱的结构特征1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱要点诠释：（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是

5、一个与底面全等的圆面（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴要点四：圆锥的结构特征1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥旋转轴叫做圆锥的轴垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥要点诠释：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底

6、边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线【空间几何体的结构394899 棱台的结构特征】要点五：棱台和圆台的结构特征、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴

7、叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；要点诠释：（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方要点六：球的结构特征1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半

8、圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.要点诠释：（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径（2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有要点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等

9、于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；注：简单几何体的分类如下表：要点八：简单组合体的结构特征1、组合体的基本形式：由简单几何体拼接而成的简单组合体；由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；2、常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合. 多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体 多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成

10、的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的 旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的 要点九：几何体中的计算问题几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关(2)正四棱台

11、中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面【经典例题】类型一：简单几

12、何体的结构特征例1判断下列说法是否正确 （1）棱柱的各个侧面都是平行四边形； （2）一个n（n3）棱柱共有2n个顶点； （3）棱柱的两个底面是全等的多边形；（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形【答案】（1）（2）（3）正确，（4）不正确 【解析】 （1）由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧面内两条底边也互相平行，所以各侧面都是平行四边形（2）一个n棱柱的底面是一个n边形，因此每个底面都有n个项点，两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数，即2n个（3）因为棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等（4）如果棱柱有一

13、个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面的底边，但其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不一定是矩形 故（1）（2）（3）正确，（4）不正确【总结升华】解决这类与棱柱、棱锥、棱台有关的命题真假判定的问题，其关键在于准确把握它们的结构特征，也就是要以棱柱、棱锥、棱台概念的本质内涵为依据，以具体实物和图形为模型来进行判定举一反三：【变式1】如下图中所示几何体中是棱柱有（ ） A1 B2个 C3个 D4个【答案】C例2有下面五个命题： （1）侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥； （2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥； （3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥； （4）正四面体就是正四棱锥； （5）顶

14、点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥其中正确命题的个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 【答案】A 【解析】本题主要考查正棱锥的概念，关键看是否满足定义中的两个条件 命题（1）中的“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形，也不能保证顶点在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱锥，如下图（1）中的三棱锥S-ABC，可令SA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥；命题（2）中的“侧棱都相等”并不能保证底面是正多边形，如下图（2）中的三棱锥P-DEF，可令PD=PE=PF=1，EF=1

15、，三条侧棱都相等，但它不是正三棱锥；命题（3）中的“底面是正方形的棱锥”，其顶点在底面上的射影不一定是底面的中心，如下图（3），从正方体中截取一个四棱锥D1-ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱锥；命题（4）中的“正四面体”是正三棱锥三棱锥中共有4个面，所以三棱锥也叫四面体四个面都是全等的正三角形的正三棱锥也叫正四面体；命题（5）中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心”，说明了底面是一个正多边形，符合正棱锥的定义 举一反三：【变式1】如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例【答案】不正确【解析】如图所示的

16、几何体由两个底面相等的四棱锥组合而成，它有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但是该几何体不是棱锥例3判断下图所示的几何体是不是台体？为什么？ 【解析】 三个图都不是台体（1）AA1，DD1交于一点，而BB1，CC1交于另一点，此图不能还原成锥体，故不是台体：（2）中面ABCD与面A1B1C1D1不平行，故也不是台体；（3）中应O与O1不平行，故也不是台体 【总结升华】判断一个几何体是否为台体，必须紧扣台体的两个本质特征：（1）由锥体截得的；（2）截面平行于锥体的底面即棱台的两底面平行，且侧棱必须相交于同一点；圆台的两底面平行，且两底面圆心的连线与两底面垂直举一反三：【变式1】判断如下图所示的

17、几何体是不是台体？为什么？ 【答案】都不是台体【解析】因为和都不是由棱锥所截得的，故都不是台体；虽然是由棱锥所截，但截面不和底面平行，故不是台体只有用平行于锥体底面的平面去截锥体，底面与截面之间的部分才是台体是一个台体，因为它是用平行于圆锥SO底面的平面截圆锥SO而得的类型二：几何体中的基本计算 例4圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45，求这个圆台的高、母线长和底面半径【答案】14 cm，7 cm和21 cm【解析】圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长交的延长线于点S在RtSOA中，ASO45，则S

18、AO45SOAO3x cm， ，解得x7，圆台的高，母线长，底面半径分别为7 cm和21 cm【总结升华】对于这类旋转体的有关计算问题，其关键在于作出它们的轴截面（即过旋转铀的截面），再把它们转化为平面几何问题即可举一反三：【变式1】已知圆台的上、下底面积之比为1：9，圆台的高为10，求截得圆台的圆锥的高【答案】15【解析】设圆锥的高为，上、下底半径为则，解得类型三、简单几何体的组合体例5（1）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面可能的图形是（ ） A B C D （2）如右图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和 【答案】（1）C；

19、（2） 【解析】（1）当截面平行于正方体的一个侧面时得，当截面过正方体的体对角线时得，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得，但无论如何都不能截出 （2）此题的关键在于作截面球不可能与边AB、CD相切，一个球在正方体内，一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如右图所示的截面图球心O1和O2在AC上，过O1、O2分别作AD、BC的垂线交于E、F两点设小球半径为r，大球半径为R则由AB=1，得， 【总结升华】作适当的截面是解决球与其他几何体形成的组合体问题的关键举一反三：【变式1】 圆锥底面半径为1cm，高为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体

20、的棱长.【答案】【解析】过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面，如图所示.设正方体棱长为x，则.作SOEF于O，则，OE=1， ECC1EOS， ，即. ，即内接正方体棱长为【总结升华】此题也可以利用SCDSEF而求.两个几何体相接、相切的问题，关键在于发现一些截面之间的图形关系.常常是通过分析几个轴截面组合的平面图形中的一些相似，利用相似比列出方程而求.注意截面图形中各线段长度的计算.类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题例6长方体ABCD-A1B1C1D1（如图）中，AB=3，BC=4，A1A=5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C

21、来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值 【答案】【解析】 把长方体的部分面展开，如右图所示对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为、，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内到F到C1，其最短路程为 【总结升华】在几何体表面求最短路径问题，就是要“化折为直”，因此需要把几何体表面展开，本题注意要分三种情况讨论举一反三：【变式1】如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

22、【答案】【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形矩形，如图所示，连接AB，则AB即为蚂蚁爬行的最短距离 ，为底面圆的周长，且， ，即蚂蚁爬行的最短距离为例7根据下图所给的平面图形，画出立体图形 【解析】 将各平面图形折起后形成的空间图形如下图所示 【总结升华】平面图形的折叠问题实质上是多面体的表面展开问题的逆向问题（即逆向过程）这两类问题都是立体几何中的基本问题，我们必须熟练掌握折叠与展开这两个基本功，并能准确地画出折叠和展开前后的平面图形和立体图形，找到这两个图形之间的构成关系举一反三：【变式1】（2016春 吉林期末）如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样

23、的是（ ）A（1）（2） B（2）（3） C（3）（4） D（1）（4）【答案】B【解析】（1）图还原后，对面，对面，对面；（2）图还原后，对面，对面，对面；（3）图还原后，对面，对面，对面；（4）图还原后，对面，对面，对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是（2）（3），故选：B【巩固练习】1下列说法中正确的是（ ） A棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B棱柱的面中，至少有两个面互相平行 C棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高 D棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2下列说法正确的是()A直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个

24、旋转体C圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D通过圆台侧面上一点，有无数条母线3下面的图形可以构成正方体的是（ ）4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体过P、Q、R的截面是（ ） A三角形 B四边形 C五边形 D六边形5（2016春 湖南月考）一个长方体底面为正方形且边长为4，高为h，若这个长方体能装下8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则h的最小值为（ ）A8 B C D66在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是_7圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm，则它的轴截面的面积是_8已知地

25、球半径为，北纬纬线的长度为 。9三棱柱的底面为正三角形，侧面是全等的矩形，内有一个内切球，已知球的半径为R，则这个三棱柱的底面边长为_10（2016 上海嘉定区模拟）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积11正四棱锥(棱锥底面是正方形，侧面都是全等等腰三角形)有一个内接正方体，它的顶点分别在正四棱锥的底面内和侧棱上.若棱锥的底面边长为a，高为h，求内接正方体的棱长.12如图所示为长方体ABCDABCD，当用矩形BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是

26、，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱【答案与解析】1【答案】B 【解析】棱柱中也存在互相平行的侧面，故A错；棱柱上、下底面的距离叫棱柱的高，若侧棱与底面垂直，则侧棱长即为高；若侧棱与底面不垂直，则侧棱长就不是棱柱的高，故C错；长方体是棱柱，其底面为平行四边形，故D错综上选B2【答案】C【解析】圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确故选C3【答案】C 【解析】 由平面图形折叠成正方形可知，选C4【答案】D 【解析】 如答图3，取C1D1的中点H，连接HR

27、，则，再取B1B与D1D的中点M、N，则多边形HNQPMR是正六边形5【答案】B【解析】小球半径为1，下面放4个小球，中间放大球，上面再放4个小球，这相h才能最小，下面4个小球的4个圆心跟中间大球的圆心形成一个四棱锥，这四棱锥的四棱锥底面是个边长为2的正方形，对角线的一半是，斜边是3，这个四棱锥的高，h的最小值故选：B6【答案】7【答案】63 【解析】画出轴截面，如下图，过A作AMBC于M，则BM=52=3（cm），（cm），。 8【答案】 【解析】设北纬60度纬线圈上任一点为A，地心为，A引线垂直于地轴交于，则直角三角形中为60度，故 ,而为地球半径长度，所以AB=R/2，故该纬度纬线周长为

28、。9【答案】 【解析】由题意可知，球内接于正三棱柱的截面图是一个半径为的圆内接于正三角形，故可求得正三角形的边长为，即这个三棱柱的底面边长为。10【答案】（1）（0 x2）；（2）【解析】（1）设圆柱的半径为r，则，r=2x，0X22rx=2(2x)x=（0 x2）（2），当x=1时，S圆柱侧取最大值2，此时，r=1，所以11【解析】作截面，利用相似三角形知识，设正方体的棱长为x，则，解得.12【答案】详见解析【解析】截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义它是三棱柱BEBCFC，其中BEB和CFC是底面EF，BC，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱它是四棱柱ABEADCFD其中

29、四边形ABEA和四边形DCFD是底面AD，EF，BC，AD为侧棱空间几何体的三视图和直观图【学习目标】1.了解平行投影与中心投影，了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点，了解空间图形的不同表现形式；2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的简易组合体）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图【要点梳理】【空间几何体的三视图与直观图 395059中心投影与平行投影】要点一：中心投影与平行投影1投影、投影线和投影面由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影其中的光线叫做投影线，留下物

30、体影子的屏幕叫做投影面2中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影 3中心投影的性质 （1）中心投影的投影线交于一点； （2）点光源距离物体越近，投影形成的影子越大 4平行投影 我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影 5平行投影的性质 （1）平行投影的投影线互相平行 （2）在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大小完全相同 6中心投影与平行投影的区别与联系 （1）平行投影包括斜二测画

31、法和三视图中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体 （2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法要点二：空间几何体的三视图【空间几何体的三视图与直观图 395059 三视图】1三视图的概念 把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小通常，我们总是选择三种投影 （1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图； （2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几

32、何体的侧视图； （3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图 2三视图的画法规则 画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位 正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则： （1）正、俯视图都反映物体的长度“长对正”； （2）正、侧视图都反映物体的高度“高平齐”； （3）俯、侧视图都反映物体的宽度“宽相等”【空间几何体的三视图与直观

33、图 395059 斜二测画法及典型例题1】要点三：斜二测画法 在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法 斜二测画法的步骤： （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy=45（或135），它们确定的平面表示水平面 （2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和

34、原坐标轴的位置关系相同 （3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图要点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段要点四：立体图形的直观图 （1）用斜二测画法画空间几何体的步骤 在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使xOz=90，且yOz=90； 画直观图时，把它们画成对应的轴x，y，z，使xOy=45（或135），xOz=90

35、，xOy所确定的平面表示水平平面； 已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴，y轴或z轴的线段； 在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半； 擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图 （2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质 平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；平行于x，z轴的长度不变 （3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z轴，平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示直立平面平行于z轴（或在

36、：轴上）的线段，其平行性和长度都不变 （4）三视图与直观图的联系与区别 三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别： 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸等都是三视图 直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状 要点五：已知三视图画直观图 三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换 由三视图画直观图，一般可分为两步： 第一步：想象空间几何体的形状

37、 三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，包括正视图、侧视图和俯视图 正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形状，如柱体、锥体或台体等俯视图反映出物体的长和宽对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体 第二步：利用斜二测画法画出直观图 当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应物体的直观图注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分画完直观图后还应注意检验 【典型例题】类型一、平行投影与中心投影例1下列命题中正确的是（ ）A矩形的平行投影

38、一定是矩形B梯形的平行投影一定是梯形C两条相交直线的投影可能平行D一条线段的平行投影如果仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中心【答案】D【解析】平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A、B不正确两条直线的交点无论是平行投影还是中心投影仍是同一个点，这个点在两条直线的投影上，因而两条直线的投影不可能平行，故C错 两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确【总结升华】空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性

39、强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，所以在绘画时，经常使用这种方法例2如下图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的射影可能是下图中的_ 【答案】（1）（2）（3）【解析】要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的由此可得在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是上图（1）；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是上图（2）；在面ABB1A1和面DCC1D1上的

40、投影是上图（3）故填（1）（2）（3） 【总结升华】画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影举一反三：【变式1】如下图所示，E、F分别为正方体面ADDA、面BCCB的中心，则四边形BFDE在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的_ 【答案】 类型二、空间几何体的三视图例3螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如下图，画出它的三视图 【解析】该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体正投影后是一个正六边形和一个圆（中心重合）

41、 它的三视图如下图 【总结升华】（1）对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图 （2）在绘制三视图时，应注意：若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出（3）画简单组合体的三视图应注意两个问题：首先，确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图就可能不同；其次，简单组合体是由哪几个简单几何体构成的，并注意它们的构成方式，特别是它们的交线位置 例4如下图（1）所示的是一个奖杯的三视图，画出它的立体图形 【解析】从奖杯的三视图可以看出，奖杯的底座是一个正棱台它的上底面是边长为60 mm的

42、正方形，下底面是边长为100 mm的正方形，高为20 mm底座的上面是一个底面对角线长为40 mm，高72 mm的正四棱柱，它的底面对角线分别与棱台的底面的两边平行，底面的中心在棱台上、下底面中心的连线上，奖杯的最上部是在正四棱柱上底面的中心放了一个直径为28 mm的球根据以上分析，画出奖杯的立体图形，如右图所示【总结升华】由三视图还原成实物图是由实物图画三视图的逆向思维，其关键仍然是抓住“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，想象视图中每部分对应的实物部分的形状，特别要注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置根据三视图想象空间几何体，是培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的正视图、

43、侧视图、俯视图的几何特点，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体通常是根据俯视图判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体举一反三：【变式1】 右图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题，其中真命题的个数是（ ） 存在三棱柱其正（主）视图、俯视图如右图 存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图 存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图 A3 B2 C1 D0 【答案】A【变式2】一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()【答案】A类型三、空间几何体的直观图例5在水平放置的平面内有一个边长

44、为1的正方形ABCD，如图，其中的对角线AC在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积【答案】【解析】四边形ABCD的真实图形如图所示，AC在水平位置，ABCD为正方形，DACACB45，在原四边形ABCD中，DAAC，ACBC，DA2DA2，ACAC，S四边形ABCDACAD【总结升华】斜二测画法的作图技巧：1在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；2在原图中平行于轴和轴的线段在直观图中仍然平行于轴

45、和轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；3画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面垂直的轴，平行于轴的线段长度保持不变举一反三：【变式1】（2016 河南南阳三模）如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA=6，OC=2，则原图形的面积为_【思路点拨】根据所给的数据做出直观图形的面积，根据直观图的面积：原图的面积，得到原图形的面积【答案】【解析】矩形OABC是一个平面图形的直观图，其中OA=6，OC=2，直观图的面积是62=12直观图的面积：原图的面积原图形的面积是故答案为：【总结升华】求直观图的面积的关键是依据斜二测

46、画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出相应的高线即可反过来，由一个平面图形的直观图来确定原平面图形的面积，也是依据这个规则来确定的例6一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图 【解析】 这个几何体（部件）是一个简单的组合体，可以先画出下面的圆柱，再画出上面的圆锥 画法：（1）如下图（1）所示，画x轴、，y轴、z轴，使xOy=45，xOz=90 （2）画圆柱的两底面按x、y轴画出

47、底面O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO，使OO=3 cm，过O作Ox的平行线Ox，Oy的平行线Oy，利用Ox与Oy画出底面O，使其直径为3 cm （3）画圆锥的顶点在z轴上画出点P，使PO等于圆锥的高3 cm （4）成图连接AA、BB、PA、PB，擦去辅助线，得到此几何体（部件）的直观图，如下图（2）所示 【总结升华】解此类题，首先要根据题目中的条件、尺寸想象出实物模型，然后建立坐标系，按直观图的画法，作出其对应的直观图【巩固练习】1在下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的命题的个数是（ ）相等的角在直观图中对应的角仍相等；相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；平行的线段在直观图中

48、对应的线段仍然平行；线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A1个 B2个 C3个 D4个2给出以下命题，其中正确命题的个数是（ ）如果一个几何体的正视图、侧视图、俯视图是完全相同的，则这个几何体是球；如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；如果一个几何体的正视图、侧视图、俯视图都是矩形，则这个几何是长方体；如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台A1 B2 C3 D43一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于()A BC D4水平放置ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A

49、BC，则ABC是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D任意三角形5如下图所示为一个平面图形的直观图，则此平面图可能是下列选项中的（ ） 6将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为（ ） 7如下图（1）、（2）所示的三视图代表的立体图形分别是_ 8（2016春 山东淄博期中）一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为_9如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为_10如图所示，梯形ABCD中，ABCD，AB4 cm，CD2 cm

50、，DAB30，AD3 cm，试画出它的直观图11（2016秋 青海西宁月考）根据给出的空间几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图（写出画法，并保留作图痕迹）12如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积. 【答案与解析】1【答案】B 【解析】由斜二测画法的定义知，正确2【答案】A 【解析】 正方体的正视图、侧视图、俯视图都是正方形，故不对；正视图和俯视图都是矩形的几何体还有可能是圆柱，故不对；正视图和俯视图都是等腰梯形的几何体还有可能是底面是正方形、侧棱相等的四棱台，故不对；显然正确3【答案】D【解析】如图1所示，等腰

51、梯形ABCD为水平放置的原平面图形的直观图，作DEAB交BC于E，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形ABCD的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB2，BC，AD1，所以SABCD 图1 图2故选：D4【答案】C 【解析】 将ABC还原，由斜二测画法知，ABC为钝角三角形5【答案】C 【解析】 很明显平面图形是梯形，在直观图中，右边的线段与y轴平行，因此平面图形的上底与右边的腰应垂直6【答案】D 【解析】 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图

52、，只有选项D符合7【答案】正六棱锥、两个圆台的组合体 【解析】由三视图的特征想象原几何体的特征8【答案】【解析】三角形的直观图是一个边长为1正三角形，又故答案为：9【答案】【解析】画出直观图，则B到x轴的距离为10【答案】详见解析【解析】（1）如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy如图b所示，画出对应的x轴，y轴，使xOy45（2）在图a中，过D点作DEx轴，垂足为E在x轴上取ABAB4 cm，cm；过点E作EDy轴，使，再过点D作DCx轴，且使DCDC2 cm（3）连接AD、BC，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形AB

53、CD就是所求作的直观图11【解析】画法如下： （1）画轴如下图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy=45，xOz=90（2）画圆台的两底面画出底面O假设交x轴于A、B两点，在z轴上截取O，使OO等于三视图中相应高度，过O作Ox的平行线Ox，Oy的平行线Oy利用Oy与Oy画出底面O，设O交x轴于A、B两点（3）成图连接AA、BB，去掉辅助线，将被遮接的部分要改为虚线，即得到给出三视图所表示的直观图12【解析】逆向运用斜二测画法规则：“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y轴的为垂直.如图，建立直角坐标系在轴上取；在轴上取；在过点的轴的平行线上取.连接各点，即得到了原图形.由作法可知，为

54、平行四边形，,平行四边形OABC的周长为，面积为.空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积.【要点梳理】【空间几何体的表面积和体积 395219 空间几何体的表面积】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和计

55、算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：项目名称底面侧面棱柱平面多边形平行四边形面积=底高棱锥平面多边形三角形面积=底高棱台平面多边形梯形面积=（上底+下底）高要点诠释：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积1圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2r，宽等

56、于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2r （2）圆柱的表面积：2圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=r，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是（2）圆锥的表面积：S圆锥表=r2+r 3圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环如果圆台的上、下底面半径分别为r、r，母线长为，那么这个扇形的面积为(r+r)，即圆台的侧面积为S圆台侧=(r+r)（2）圆台的表面积：要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入

57、手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系4圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示 【空间几何体的表面积和体积395219 空间几何体的体积】要点三、柱体、锥体、台体的体积1柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=r2h综上，柱体的体积公式为V=Sh2锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用r2表示S，则综上，锥体的体积公式为3台

58、体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S、S，高是h，那么它的体积是圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r、r，高是h，那么它的体积是综上，台体的体积公式为4柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示 【空间几何体的表面积和体积395219 球的体积与表面积】要点四、球的表面积和体积1球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积（2）球的表面积设球的半径为R，则球的表面积公式 S球=4R2即球面面积等于它的大圆面积的四倍2球的体积设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数球的体积公式为要点五、侧面积与体积的计算1多面体的侧面积与体积的

59、计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式（2）有关棱柱直截面的补充知识在棱柱中，与各侧棱均垂

60、直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S棱柱侧=C直截（其中C直截、分别为棱柱的直截面周长与侧棱长），V棱柱=S直截（其中S直截、分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）2旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1如右图，有两个相同的直三棱柱，高