复数-复数的乘法及其几何意义

1、复数复数的乘法及其几何意义教案教学目标.掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程.掌握复数乘法的几何意义.让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法.培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力.教学重点与难点重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算.难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握.教学过程设计师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间,完成以下两道题的演算.(利用投影仪出示)1. (1-2i) ( 2+i) (4+3i);i ( jrjt 12,化复数-9 sin Heos为代数形式和三角形式.(5分钟后)师；第1题检查了复

2、敷乘法运算，答案是25,第2题检查了复数的三角形式概念及复数代数形式与三角形式的互化.答案是：lcosZ + lsanll如果有的同学演算错了，应想一想怎样错的？Z oo i错的原因是什么？怎样纠正？请同学们再考虑下面一个问题；如果把复数为，马分别写成i=t (cos 0 i+isin 8 ) ,(cos 6 2+isin 0 2).为的这乘法运算怎样进行呢?想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见(教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程)学生板演：z1 - z2=r1 (cos8 1+isin 8 1) r2 (cos8 2+isin 8 2)=

3、(rlcos 0 1+ir1sin 0 1)( r2cos 0 2+ir2sin 0 2)=(Mr2cos 0 1cos0 2-r1r2sin 0 1sin 0 2) +i (r1r2sin 0 1cos0 2+r1r2cos 0 1sin 0 2)=r1r2 (cosB 1cos 0 2-sin 0 1sin 0 2) +i (sin 8 1cos8 2+cos 0 1sin 0 2=r1r2cos (01+02) +isin (01+02).师：很好，你是怎样想出来的？为什么这样想？生：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算根据

4、数学求简的原则，运用三角公式把结果化简在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法我是根据这个思想才想出来的师：观察这个问题的已知和结论，同学们能发现有什么规律吗？生：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和师：利用这个结论，请同学们计算：i爪-兀、n 一一八-J2 （cos -+ 1SHL J TOC o 1-5 h z 121266大家把计算过程写在笔记本上.（教师请一位同学在黑板上板演）IT71JT7T解:Ceos +isin ) * /3 (cos- +isin-)121266二虎匈3(5+1) +口(】十?) 126126

5、厂 JI 一元、=J6 Ceos +ian J .教师提示,由于复数定义是形如a+bi （a, bGR）的数，如果辐角是特殊角或特殊角 的终边相同角，要化成代教形式.即l/ 兀一兀、历 V2 .庭 (cos +ism) a,/6 ( + 1)4422师：同学ff已经发现，复数的三角形式的乘法运算若用r 1 (cos 9 i+isin Bp r2 C cos 9 2+isin 6 a) /由cos (日1十 日？)+ism (日十日 p 计算，简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.三角形式是由模和辐角两个量确定的，进行乘法运算时要清楚模怎样算？辐角怎样算？使用复数的三角形式进行运算的条件是

6、复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值.同学们已经了解，复数通过几何表示，把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立 起一一对应后，复数不仅取得了实际的解释，而且确实逐步展示了它的广泛应用.我们 已经研究了复数加、减法的几何意义，并感觉到了它的用途，请大家讨论一下，学习了 复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢？（同学分组讨论，请小组代表发言.如果条件允许，在学生发言同时，用多媒体辅助教学，演示模伸缩情况，辐角终边的旋转）生：复数的乘法对应的向量， 就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个 角e 2（ e 20,如果e 2v0,按顺时针方向旋转一个角|e 2,再

7、把其模变为原来的r2倍（r21,应伸长；0vr2v1,应缩短；r2=1 ,模长不变），所得的向量就表示积 z1-z2.这是复数乘法的几何意义.图形演示（如图8-7） ； 02=0?!- 82a.图B-7师：现在我们研究问题.如图名一总向里次与复数-1H对应，把62按逆时针方向 旋转121r,得到段.求与向量。2,对应的复数.请同学们想一想.生上这是形数结合问题，给的题设情境是向量旋转，根据复数乘法的几何意义，将向 里反逆时针方向旋转12L，得到至，由于模未发生变化，应当是次对反复数乘以 1 - Ccos 120 +疳加12）.图8E师：解此题复数是否一定化成三角形式？生：复数与从原点出发的向量

8、建立了一一对应关系，无论是代数形式还是三角形式都表示同一个复数和向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式，应根据需要来选择.师：说得好，请同学们写一下解题过程.（找一名同学到黑板板演）解：所求的复数就是-1+i乘以一个复数z0的积，这个复数z0的模是1,辐角的主值是120 ,所求的复数是：（-1+i） 1 （cos 120 +isin 120 ）Z 1 a/3.x1-73 1 + g. 22 22师：为了巩固刚讨论过的复数三角形式的乘法运算公式及复数乘法的几何意义，请同 学们继续完成以下练习.(使用投彩仪，映出练习题)z 兀K1 z nTT TOC o 1-5 h z L 计算：4 (c

9、os+ isin) (sin +icos) + 2 ，乙1乙乙dD(5九5兀、(.cos-+ isin-).2.已知要数q所对应的同堂至。，通过作图，画出下到复数z所对应的向量员.(1) z = z0 (sin 30 +icos 30 ) ； (2)z = -x0 (+.乙 乙(教师在教室里巡视，请三位演算错误的同学板演.)1.解：4 (cos兀.兀、11, 兀71 +isin J L Qsin + icos J J12122312+ 2 (cos/1、 /兀 兀、兀 兀、(4X -) cos (+ ) +isin (+ ) 乙k乙 D1+ 2 (cos-2 (cos5兀.5兀Hisin 44

10、5冗5兀5兀=2cos + 2isin12125兀,5兀Q2cos+ 2cos12125兀、/5兀.5万、) + 2 QuosHisin )5冗 .5兀+ 2cos + 2isin44)+i(2sin12图 8.10图8.9代：这二位同学计算和画图对不对？如果有错误，错在哪里？怎样改正？1JTJF TOC o 1-5 h z 生甲：第1题计算错了，错在* (sm-r+icos-)不是复数三角形 乙JJ1kn式的标准式，应化为:(cos+isin ). 266师：一人教训大家吸取，千万用复数三角形式的标准式进行复数三角形式的乘法运 氟哪位同学改正一下:生乙： 14 (cos +isin ) 己

11、(sin +icos) 121223125兀.5兀、+ 2 Qcos+ isin.K .兀、】1, 兀, 兀、1- L4 (cos-+isin ) J L - Qsin-r-+ icos ) J12122665兀.5兀、+ 2 Qcos-+ isin-).=(4X 9cos /+ ?) + 适n 吟+ g) + 25冗5冗、cos- + ian), 冗 一 H、 z 5兀 一 5兀、= 2 cos + isin ) + 2 Ceos - + ism-)=(a/2 + V2i) + (-近-Ji) =0“ffi：板演第1题的两位同学都注意到，不能直接使用三角形式进行加、联计算，需 化成代数形式才

12、得以进行.接下来看第2题的第(1)小题.生丙】第C1)题画错了，应当把向量员按逆时针方向旋转可。，可板演图只转 30。.师：为什么？生丙：乘数sin30 +icos 30不是复数三角形式的标准式，应化为 cos 60 + isin 60这样才能应用复数乘法的几何意义来解题.师：同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的，而辐角的大小又是由复数的三角形式的标准式来确定.现在看第2题的第（2）小题，将反q逆时计旋转12口。正确吗？为什么？生丁：正确.把复数-1 +坐1化为三角形式85120口 1皿120口， 其模是1,说明模没有变化，只是把向量61口统原点o接逆时针旋转121r.师：向量反画的正确吗？

13、若不正确，应当怎么画？生战：不正确，旋转12H后，取其反方向的向量，模不变，得到反.也可以先取 三口的反方向的向量，再逆时针旋转12。0.师：回答得很好，现在我们研究一道几何图形习题的解法，请看题目：已知复平面内一个正方形的两个相邻顶点对应的复数分别为1+比35,求与另外两 个顶点对应的复数.为了利于表达，设正方形ABCD,其中点A对应复数是1 +九点B对应复数是3- 51,求点C% D对应的复数.如图8-1L同学们开始讨论解法.生这道题可以转化为解析几何题，点A坐标为（1，2）,点B坐标是3,- 5）.本题应当有两解.设边右侧的顶点是C和D,左侧的顶点是CT和D.线段 AB的长度是可求的.而

14、|AD|=|AB|, |BD|-7?|AB|4设D （鳌，y）.由上面两个等量关系，得出关于处y的二元二 次方程组，解这个方程俎可得两组解，点D坐标求出，对应的复数亦可以写出.师：点C怎么求呢？图 8-11生N：先求出BD的中点，这个中点也是AC的中点，再通过中点坐标公式求得点C 的坐标.师：很好.还有什么解法?生P:用复数运算的几何意义解，先求向量意所对应的复数，由 向量靛绕点a按逆时针方向旋转90 角得到届，由于近=55-51,就求出D点对应的复数.师：点C怎么求呢？生Q：由于|AC|=J?|AD|, ZDAC = 45 .用B对应的复数乘以 V2 cos ( -45 ) +isin(.4

15、5。)得到记对应的复数了，再求公 对应的复数.师：生Q想到的解法更简单，求点C还有其他方法吗？生R：先求或所对应的复数，由向量 或绕点B按顺时针方向旋 转9D得到双，再求发对应的复数.生H ：由于OC=OB + BC=O? +就，可以直接求出C点对应的复数.师：生H的方法最简单.请同学们在笔记本上用其中一种解法完成此题的演算.(教师找一名同学到黑板板演)解：向量就对应的复数 (3-5i) - (l+2i) =2-7i.向量 对应的复数：(2-7i) (cos 900 +isin 90 ) = (2-7i) - i=7+2i.向量 0D对应的复数：(l+2i) + (7+2i) =8+4i.因为

16、OC=OB + bC=05 +汪，则灵对应的复数：(3-51) + ( 7+21) =10-3：.如图，设点D对应复数为a+bi (a, bER),8 + a1=2 fa = 6,则有小解得.又设点C时应复数为c+di (c, dER),3则有-510 + c-3 + d因此另外两点对应的复数为11口至和8+41；或.4.71和1注意.如果板演有错误，应请同学们发现和纠正.经常发生的错误有(1) AB= (3-51) - (1+20 .这里不能用等号，应写作向量AB对应的复数;是；(3-51) - (l+2i)；(2)把向量0对应的复数7+加 错认为是点D对应的复薮；(要讲清只有当向量的起点在

17、原点处，向量所对应的复数才是向量终点所对应的复 数) 只得出10-第和 料41 一组解.(建议学生自己动手画图，容易发现两组解)师,通过此题，我们可以体会到代数问题和几何问题互相转化的思想在分析同题与解 决问题中的重要作用.为了更好地领悟这一思想，请看；如图812,已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数计算升23的同学们开始讨论解决：生庚：复数运算的几何意义是在复平面内实施的，因此要建立直角坐标系.师：你分析得正确，如图 813,建立坐标系.取正方形的边长为单位长1.生辛：/ B1Ox=/1, / B2Ox=/2, / B3Ox=/3,这样，/ 1 + /2+/3=/B1Ox+/ B2Ox

18、+ /B3Ox.而/ B1Ox, /B2Ox, Z B3Ox可以分另看作 B1 , B2, B3三个点对应复数的 辐角主值，下面应考虑 B1, B2, B3对应复数是什么？2,则三点对应复数分按着老师规定的单位长，B1, B2, B3三点对应的复数分别为 1 + i, 2+i, 3+i.师：好，你先谈到这里，如果单位长度有新的规定，例如边长为别为2+2i, 4+2i, 6+2i,并未影响复数的辐角主值的大小，不过计算要繁一些.同学 们继续讨论.生壬：2+i, 3+i的辐角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，误差较大.根 据复数乘法的几何意义，积的辐角等于两个乘数辐角之和，可以先作乘法，看乘积是什 么？假若其辐角主值也不是特殊角，但只取一次近似值.师：你分析得很好，请你计算一下：JT生癸二(2 + 0(3+1) =5 + 51,它的辐角主值是彳，而71JTZB1Ok =，因此Nl + /2+N3 = .44(cos 03+i.sm B(cos 9 j+isin 9 (2+1) - (3+生寅，我想谈另外一种计算方法.因为门(cos a) 会(ccs 6 3+isin 6