二维量子体系中的磁通量子化1

1、二维量子体系中的磁通量子化作者：郭俊明（陕西理工学院物理系，陕西 汉中723001）指导老师：王剑华（所在单位：陕西理工学院）摘要磁通量子化在很多方面有重要应用，借助于对霍尔效应以及朗道能级问题 的分析可以看出关键词磁通量子化霍尔效应朗道效应引言磁通量子化是由london最先预言提出的，也叫磁通量子，指的是在超导环中的磁通量 是量子化的，只能是一个常数的整数倍，本文通过对二维量子体系中霍尔效应和朗道效应磁通量子化做介绍，分析了朗道能级的 简并度以及一些其他的一些特性，从中可以说明磁通量子的重要作用。量子霍尔效应与磁通量子化霍尔效应（Hall effect）是在1879年由美国人E. H. Ha

2、ll发现的。对于霍尔效应我们知道: 如图1所示，在一块导体或半导体上沿x方向通以直流电流（电流密度为/J）,沿垂直于电流 的z方向施加磁场8 ,，则在垂直于电流和磁场的y方向上将产生一横向电场Ey,这就是霍尔 效应产生的横向电场，称为霍尔电场，对应的横向电压为霍尔电压。霍尔电场E y与兀和8z 成正比，有，E =阮 j B比例系数R H称为霍尔系数，在一种载流子的简单情况下,R H与载流子浓度成反比霍尔 效应首先是在金属中发现的，正是由于霍尔系数与载流子浓度成反比，可以将其运用到半导 体方面。在磁场Bz作用下,x方向的电场同时图一了工，y两个方向的电流，故电导率。和电阻率P都成为二阶张量，可得

3、到P 巧=P yx =丁 (2)其中oc= eB/m是磁场引起的电子回旋频率,气=ne2T/m是磁场为零时的经典电导率。可导出电导率和电阻率之间的关系xxPxxP 2xx + P 2xyPb 料xy P 2xx + P 2xy（3）Pxy bxy分别称为霍尔电阻率、霍尔电导率，并分别记为PH, bH .由式（3）注意到，如果Pxy。0,则在电阻率Pxx消失时，电导率bxx也消失。Pxx与Bz无关，是一常值；而Pxy和Ey随Bz线性增大。综上所述,霍尔效应中霍尔电场Ey , Pxx和 Pxy与磁感应强Bz的关系如图2所示以整数量子霍尔效应为例1980年，德国物理学家冯克利青等在极低温1. 5K和

4、强磁场18T作用下，在二维体系的霍 尔效应实验中，发现了一个与经典霍尔效应完全不同的现象：霍尔电阻rh随磁场的变化出 现了一系列量子化电阻平台，对应的纵向电阻七,变为0，如图3所示。图3中的栅极电压匕 正比于电子浓度，每个朗道能级的兼并度正比于磁场.这样，实验中栅极电压的变化等效于 磁场的变化。平台出现于 R = h （i = 1，2，整数）（4）H ie 2与样品的材料性质无关。这种现象称为整数量子霍尔效应（in teger quan tum Hall effect，记为IQHE）。由式 注意到，如果Pxx。0，则在电阻率Q x消失时，电导率R x也消失，且Q y =-ypxy调节磁场使纵向

5、电阻率消Qxx失，而霍尔电阻率出Qxy现平台，此时有ie 210整数量子霍尔效应20由此进而可看出其磁通量是量子化的，VG/V霍尔效应实质上应该是电子在稳恒电磁场中的运动，因而必须应用量子力学才能得到深入理解。接下来介绍与之相关的朗道效应如果将导体中的电子视为自由电子在稳恒磁场B中的运动，相应矢势取成朗道效应根据电磁学知识，我们知道，(1)=-B，A = B = 0则当分别用薛定谔方程和狄拉克方程求解电子气体的本征态时， 薛定谔本征方程是12m2 A2 A2n口y + p + p w p Bw =Ew（2）其中，p z为自旋磁矩z分量。因为上式不含有X和z坐标，故可将w写为将（3）其中W(x，

6、 y，z)= expGG x + p z式代入（2）式得E + p 一妇1z 2mm3 Ay y2o（3）（4）cpy = x。eBeBW =mc（5） . m、对应能量本征值（4）式正是一维谐振子所满足的方程，式中E+pB-pm相应的本征函数为|力w +七u B2m &(6)4 (y)=expn兀 i4ai2v2nn！(y - y.02a 2(7)其中，Hn是埃尔米特多项式；a = v方/mw。显然能级E是简并的，因为相应的波函数4y0不同而异，而y0可由Px决定。考虑到Px的可能值:*的可能值的间隔为Ay =2湖c0 eBLx或者说，在x-y平面p = l， x Lxl = 0,1,2,，

7、（9）可知能态En的简并度为土 Ar y = L LAy力c x y0（10）En能态的态密度为eB n = B方c（11）若导体沿z方向足够薄，则Pz。若磁通足够强以致电子完全极化，则可将u zB视为常数，而将能量写作+ -2 J1908-1968）于1930年所得到的其实电子的运动也可由狄拉克方程描写，这时哈密顿量写为（12）该结果就是朗道（landau，前苏联，也叫做朗道能级。.A + mc 2 P =J+ mc 2fl-IJ(七XXJ则由肖甲=Ew+ mc 2，得G2 - m2c4 L = c2CT -(A - T p+ AV c J2消去X2中 =cb.| P+ -K.=(p+-Kb

8、 p+:KV c J因为、其中， B=0 xA。故有E 2 m2c 4c 2（13）将（1）式代入得E 2 mc 4C 2P-By T + ecr-B p =ci J c应用s =力cr,日=-e s，得2 z mc z-m 2c 4c 2(aeB )2 a 2 a 2 c dP y + P + P 2mB p k X c J y z(14)与（2）比较可知，这里的狄拉克方程与薛定谔方程具有完全相似的解，他们不同的是，需要将（2）式的E 理解为 e，= Gm 2c 4）/c 2。朗道能级的简并度因能量本征函数xGy）含y0，而能量本正值e不含y0，所以每个朗道能级的简并度g等于y0可能取得数目。设二维电子气局限在lx、宽为l y气的矩形内，由箱归一化条件，x方向周边性条件由于 eiK X(X+Lx ) = e iK /, e