二次根式比较大小的方式最全

1、数学二次根式比较大小方式I I I I I 11 11 I I I I I 11 11 I I I I I 11 11 I I I I I 11 11 I I I I I 11 11 I I I I I 11 11 I I I I I 1111 1111二次根式是初中数学的重点内容之一，而比较二次根式的大小又是中考和数学竞赛的常见题型.解决这种问 题，除必需把握二次根式的大体性质和运算法那么，还要依照问题的具体结构特点，多角度地探讨试探，灵活选用 不同的思维方式.为帮忙同窗们把握好这种问题，本文介绍几种比较二次根式大小经常使用的方式和比较技术，供 同窗们参考。一：常规比较法：系数比较法（观看被

2、开方数化简后能成为同类二次根式）此方式适用于两个单个二次根式的比较或一个根式与一个有理数的比较。被开方数相同（不是最简的化为最 简后）的几个二次根式比较大小。把要比较大小的几个二次根式化为除系数外完全相同的根式即同类二次根式， 系数大的值就大。例如：5、/2与3比较大小。被开方数比较法（观看被开方数化简后不相同）此方式适用于两个单个二次根式的比较，系数不相同且被开方数不同的几个二次根式。一样地，把要比较大 小根式的根号外的数值（正系数或正因式）移入根号内，转化为比较被开方数的大小，被开方数大的值就大。大体思路：当aQ,b0时，假设要比较形如a与b的两数大小，可先把根号外的正因数a与b的平方后移

3、入根号内，再依 照被开放数的大小进行比较。（1）例如：比较76与67的大小.解析因为 76 f 72 x 6 296 ； 6顶=代2 x 7 = 422,而 296252，那么 如252，因此7（6 6显03 2 0,那么a b ；假设a b 0 ,那么a b；假设a b = 0 ,那么a = b。大体思路：设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差，再依照当ab0时，ab；当ab=0时，a=b；当ab0 时，ab”来比较a与b的大小。(1)例如：比较5 - 3和2 + %.：3的大小解:.(再( +容)=3 2 板3 =、 V12 05 -、* 0因此 3 / 76 2例如：比较 V2003-

4、1/V2004-1 与2003+1/2004+1 的大小.分析观看到两个式子的分母相乘可用平方差公式，结果为一整数，于是作差进行比较.“比差法”是一种经常使用的比较方式，一样说若是两个二次根式显现某些同类二次根式，就要考虑采纳 这种方式。(3)例如：比较亍i与打1的大小。解：由，。一1有意思的条件，a 1 0，得a 1，于是ta 1 0，.(.a1)G1)=2 拓2=2(.a)= 2(a) 0, a 1比平方式：两边同时平方，转化为比较幕的大小确实是先将两个根式各自平方，然后比较平方后的大小，再说明原数的大小，即，假设a 0，b 0，且a2 b2，那么 a b ；假设 a 0，b b2，那么

5、a 0,b0时，可由a2b2取得ab”来比较大小，这种方式经常使用 于比较无理数的大小。例如：(1)试比较5+13，7+11与8十”10的大小；(1)分析观看发觉，每组均为两个二次根式之和，可将其平方后再进行比较;（2）进一步观看发觉，每组中两个二次根式的被开方数之和相等，两个被开方数愈来愈接近。结合考虑每组 的大小关系，即可提出猜想.解答略。猜想：假设 0abWcd,那么a+db+c（1）例如：比较 0 侦 7 +七8 0而（否 +而）2 = 15 + 250（3 + *）2 = 15 + 2.席又 15 + 2质 15 + 56.（拓+而2 （*7 +盈）2侦5 + v 10 0； t百

6、+拓 0,而 20 + 2 ；克 20 + 2%希，因此 &3 +、7 、 +3.比值法（求商法）：通过比较两式的商与1的大小来确信原式的大小若是a、b都是正实数，假设a 1,那么a b ；假设a 1,那么a b；假设a = 1,那么a = b。bbb大体思路：设a、b为任意两个实数，先求出a与b的商，再依照“当 比值1时，a1时，ab”来比较a与b的大小。(1)例如：假设a b 0,试比较：b与ta + 2008 一招b + 2008的大小.解析 因为a b 0,因此 y a 、,：b 0,、ja + 2008 y b + 2008 0，* Jb(新3 )(va + 2008 +、b + 2

7、008)而= ，一.a 一 bv a + -b因此 *a -污 v a + 2008 、b + 2008例如：比较a+1/a+4与a+2/a+3的大小。分析观看发觉，此题仍可运用“比差法”比较大小，但作商进行比较，计算也很方便.解答略（2）例如：比较二7与亳5的大小、.：52解：巨二宜 奠12375:超级规法：倒数法:先求出各自的倒数,通过比较倒数的大小来确信原式的大小大体思路：设a、b为任意两个正实数，先别离求出a与b的倒数，再依照当1/a 1/b时，ab；当1 /a =1/b时，a=b； 当1/a1/b时，ab”来比较a与b的大小。例如：比较如2008 2001与V 2007 *2006的

8、大小解析 2008 - 2007 =扣2008 + 气；2007 ；_2= = v 2007 + * 2006 即一:一:2008 - * 20072007 - 2006因此 v2008 -、2007 * 2003 + *2002, * 2004 - 2003 、2003 -、2002分母有理化法:各自先分母有理化,再进行比较（1）例如： 比较 3 1 -与 万气 的大小.解析各自先分母有理化,3 + W 17 + 3=2 寸7 -、/：523 +目 （2）例如：比较.丽1 两奉与.面4 芯f的大小解：-=、15 +.: W4 , 1995 - 1994-= 、1994 1993.11 , 七

9、丽-丽4 （1W -、193对根式瑚。-b与c -、d，假设a b = c d，可用此法。分子有理化法:将各自先分子有理化，再比较大小先将分式里分子中的根号化去后，再把结果进行比较，即能够判定原先的根式的大小。7 -、： 6 . x 6 %：5 时（1）例如：比较一 J与的大小 TOC o 1-5 h z 3七32拦解：=_1,解 3扑3*（万+据）.6 - t5 _12巨 一2克（而+3）*而 3 打 2, m + -J6 J6 +3v7 -优 据-*51,试比较如a 一、。-1与飞a + 1 一 。的大小.一 :7 (va a 1)G a + %a 1)解析 a 、：a 1 =a +、：

10、a 11v a + %： a 1： a +1 a =(%，a +1 x a )(a +1 + 4a)x a +1 + a因为 ka + a 1 , .a + x a 1 x a +1 + 气 a即 卬+17.1,1. 49 + 而 而 +、.1：19 .18 v v18 -(4)例如：比较话-3与仍一JH的大小。足一厄二解：因为而应十妲)如十应22因此如十如如十TH因此邱-扼十如-面10.比中介值法(传递法)：通过两式对第三量的比较，来确信原式的大小这种方式确实是利用不等式的传递性：若是a b, b c。(1)例如：比较v 2006 1与1949 +1的大小.解析 2006 -1 v 2025

11、 -1 = 45 -1 = 44 ；1849 +1 = 43 +1 = 44 因此略2006 -1 瑚149 +1例如：已知 0 xl,比较1+x”2+1+(1 x)”2 与 22 1 的大小分析由条件 0 x1,可知1+x21,1+(1 x)”2l，于是1+x2+1+(1 x)”22，而 22 1 0, m 2003 2004, m - 2004 0, 2n点m- 2004 2n +1 m 2004.例如：比较拓7 - 2与再+ 2的大小解：6 37 4又.1 * 2. * + 2 、；b + C，且气.m Jn，那么 A B ； 假设、a + xb tb + x C，且 tm yn，那么

12、A B。例1， 比较13 - /42 + 2与11-2打0 + .日的大小 解：. 13 - 2.知 +、2 = ( 7 -拓)11 - 2 气旬 +、3 = (7 -、.6)而由方式六可知(.7 -插)(6 -否)(.7-.柘)+ 2 (6-弟)即 13 - /42 + 巨 11 - 2 （旬 + 里运用放缩变换局部放缩比较1111(1)例如：比较1+ ?= + ?= + = +与75的大小。7 2 J5 4 - + + - + + = - = V3 V? /5 V5 5 V5 V5 x/5 J5.1 + 土 + 土 +上+ 土思 J2 3 J4 J5(2)例如：M依+ 2与姊一2的大小。解

13、：因为，而3，7757履因此痴 + 2 5 /57 - 2比较整数部份例如：比较213与3 + 27的大小。解：. 213 = V52 ,而72 52 82. 7 52 8故2应 的整数部份为7。一样可得3 + 2/7的整数部份为8,213 3 + 27设参比较法例如：比较 A = J54321x54324 与8 = J54323 x 54322 的大小。解：设54321 =尤，则 A = x(x + 3) = vx2 + 3x,B = (x + 2)(* + 1)= Jx2 + 3x + 2%2 + 3x + 3x + 2.A B.先平方再开方比较例如：比较（3 + .污+声-：朽与仃1的大小。解： 板 3 + 打 5 + 1： 3 -、；5=%：（拓 +、：5 + 后;5 ）2 =面，而 10 v11,.,.弋 3 + *5 + 匕；3 、：5 qll.反证法比较例8.比较v： 3 - 1与3 - 3 ：5,则t3 +甘5 4,两边平方得：8 + 2多 16,* 15 4。这与气套 v16 = 4矛盾.舌1 AD, 3 + v10