#第一章,第四讲(1.5、1.6)

1、第一章第四讲行列式和矩阵（ 1.5 、 1.6 ） 行列式是高等数学中一个重要的工具，不仅在理论上蕴含着丰富的数学思维，而且 有非常广泛的使用 .行列式重要性质（ 6 条）行列式的计算（ 4 种）使用（解线性方程组）行列式 1.5 )、行列式定义强调）1、行列式定义2由 n 个实数或复数 aij , i, j1, ,n 排成的“阵式”d dn|aij |a11a21a1na2n, i, j 1, ,n ，an1an2ann这个阵式代表一个 数dn ，称为行列式 .aij 称为行列式的 （i, j） 元素 ，它位于行列式的第 i 行 、第j 列；ai1 ai 2ain 称为行列式的 第 i 行；

2、aj1aj2称为行列式的 第 j 列 ；ajn2、行列式的转置转置行列式将行列式 dn的第 i行放到第 i列，i 1,2, ,n，所得的行列式称为 dn 的转置行列式 ，记为 dnTdT |aji |a11a21an1a12a22an2a1na2nann, j,i 1, ,n数 dn 是由归纳法定义的：1： d1 a11a11 ；n 2 ：d2a11a12a11a22 a12a22 ；a21a22n 3 ：d3a11a12a13a22a23a21a23a21a22a23a11a32a33a12a31a33a13a31a32a33a21a31a23a32一般地，其中dn|aij |Aij ( 1

3、)i j Aij ( 1)i ja12a1na22a2na11A11 a12 A12an2anna11a1,j1a1,j 1a1,nai 1,1ai 1,j 1ai 1,j 1ai 1,nai 1,1ai 1,j 1ai 1,j 1ai 1,nan,1an,j1an,j 1an,na1nA1n ，a11a21i, j 1, ,nAij 、 Aij 分别称为行列式 d 的余子式和代数余子式 ，而行列式 d ai j 也常记为 A ai j ij ij i j n n i j n n强调 ：（ 1）行列式是一个数；（ 2）行列式的定义方式：大小是用归纳法定义的；（ 3）几个名词：“行列式”、“转置

4、行列式”、“行”、“列”、“行列式的元” ，特别要理解“代数余子式”、“余子式”的定义和意义 .、行列式的重要性质1、行列式和它的转置行列式的值相等a11a12a1na11a21an1dna21a22a2na12a22an2TdnT ；an1an2anna1na2nann2、对调行列式中任意两行（或两列）的位置，行列式的值改变符号23、将行列式的某一行乘以常数，则行列式的值也乘以a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainaj1aj2ajnaj1aj2ajnai1ai2ainan1an2annan1an2anna11a12a1na11a12a1nai1ai2ainai1ai2aina

5、j1aj2ajnaj1aj2ajnan1an2annan1an2ann4、只有第 i 行（列）不同，其余各行（列）都相同的两个行列式相加，其和由“和行列式”表示，和行列式”的第 i 行等于两个行列式的第i 行（列）的对应元素相加，其余各行（列）不变a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainbi1bi2binaj1aj2ajnaj1aj2ajnan1an2annan1an2anna11a12a1nai1 bi1ai2 bi2ain binaj1aj2ajnan1an2ann强调 ：同阶的两个分列式相加，不等于对应的元素相加0；特别地，若行列式的两行（列）5、若行列式的两行（列）的元素

6、对应成比例，则行列式的值等于 相等，则行列式为 0；a11a12a1nai1ai2ainai1ai2ainan1an2ann6、把行列式的某一行（列）的元素乘以常数不变，再加到另一行（列）的对应元素上，则行列式的值a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainai1ai2ainai1aj2ai2ajnainaj1aj2ajnan1an2annan1an2annaj1、行列式的值的计算行列式的值也可表示为1、按第一行展开）dn |aij | ai1Ai1 ai2Ai2ain Ain,i 1,2, ,n ；2、行列式的值也可表示为（按第 j 列展开）dn|aij |a1jA1ja2j A2

7、janj Anj,j 1,2, ,n3、行列式有如下展开式（按第 i 行展开）ai1Aj1 ai2Aj2ain Ajndn,0,i, j 1,2, ,n行列式可分块求值（分块求值）aij其中 aij 是m阶行列式、 bkl 是n阶行列式（ d是 m n阶行列式）强调： 行列式的计算可以充分利用行列式的性质，能简单则简单，高阶的行列式一般 不要硬算；请仔细阅读教材中的例子，并掌握行列式的计算技巧 . 四、行列式的使用 Cramer 法则求线性方程组的解：a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2an1x1an2x2ann xnbn用Aa11a21a12a22a1na2n

8、表示方程组的系数行列式，则有如下 Cramer 法则（定理 1.5.4）：an1an2ann设 A 0 ，则方程组的解是其中xjBjAj 1,2, ,n ，b1a12a1na11b1a1nB1b2a22a2n、B2a21b2a2nbnan2annan1bnanna11a12a21a22b1b2an1an2bn矩阵1.6)矩阵，是线性代数中最重要的内容，也是联系高等数学和近代数学的纽带矩阵运算逆数乘 乘法 转置伴随 初等变换强调）矩阵加法、矩阵的定义1、矩阵定义由 m n 个实数或复数 aij , i 1, ,m, j 1, ,n 排成的“阵式”a12Aai j m na21a22a1na2n这

9、个阵式为 m n 阶矩阵 ，若 m nam1，则称为am2 n 阶方阵 .amn m naij 称为方阵的 （i, j） 元素，它位于行列式的 第i 行、第 j 列；aj1ai1ai2ain称为矩阵的 第 i 行 ； j强调 ：（1）（2）3）4）aj2称为矩阵的 第 j 列 ；则矩阵可表示为AaijAaij矩阵不是mnmnai1ai2ain 1 n , i 1, ,m、m1a1j12只是一个阵势”1n,a2jamj m 1, j 1, ,n.个数，行数、列数分别相等的矩阵之间，可以定义 相联系起来学习；运算”，这要和“向量空间”n 阶方阵 A并称 Aai jAai j nai jnnn可以和

10、一个 n 阶行列式nA为 Aai jai jnnn的行列式；几个名词： “矩阵”、“转置矩阵” 、“矩阵的行” 方阵” .2、几个特殊的矩阵和方阵（1） 零矩阵、零方阵2） 对角方阵ai jn n 对应：、“矩阵的列”、“矩阵的元” 、nn3)单位方阵4)上三角方阵5)下三角方阵a11a216)非异方阵、奇异方阵方阵 Aaij n n的行列式不等于 0，a22an2即|A|nna2nann n nann n n0，则称方阵 Ann为非异方阵 ；否则，称为 奇异方阵 .矩阵的运算记M m n Aaij m n:aij R ,i 1, m, j1, ,n为 m n 阶矩阵的全体所成的集合1、 矩阵

11、加法aij,BbijMmnABaij2、 矩阵数乘AaijM m n, R Aaij ；意义)于是， M m n 在加法和数乘之下，成为一个 线性空间 ，因为矩阵加法和数乘运算满足如下规则任意两个元 A,B M m n ，加法运算“ A B ”，数乘运算“A”， R，使得 对加法“”运算，满足：a）运算封闭性，亦即， A,B M m n蕴含 A B M m n；b）交换律，亦即， A,B M m n 蕴含 A B B A；c）结合律，亦即 , A,B,C M m n蕴含（A B） C A （B C）；d）存在单位元，亦即 , 存在加法的单位元 O ，使得对每个 A M m n ，都有 A O

12、A；e）存在逆元，亦即 , 对每个 A Mmn，存在元 A M mn, 使得 A （ A） O； 对数乘“ ”运算满足：a）运算封闭性，亦即，对于 A M m n和数R，蕴含 A M m n；b）结合律，亦即 , 对于 A M m n和数 , R , 蕴含 （ A） （ ）A ； c）分配律，亦即 A,B M mn,和数 , R , 蕴含A B A B； ( )A A A x ；故M m n为“线性空间”强调 ：和线性空间相比较 数学的抽象 .3、矩阵的转置T将矩阵 A的第i行放到第 j列，i 1,2, , m ，所得的矩阵称为 A的转置矩阵 ，记为AT ，a21a22a2m若 A 是 m n

13、 阶矩阵，亦即，A M m n ，则 AT 是 n m 阶矩阵， AT M n m矩阵转置的运算规则任意两个元 A,B M m nTT（a）A M mnATA；（b）A,B M mn A B T AT BT； （ c） A M m n,RAAT ；强调 ：矩阵的转置视为“运算” .4、矩阵的乘法矩阵 A M m k , B M k nA和 B的乘积 AB定义为矩阵AB C M m n ，其中C cij m n ，Ccij m nair brj.r 1 m n亦即， cij ai1b1j ai2b2jaikbkj , i 1, ,m, j 1, ,n.矩阵乘法的运算规则A M m k, B M

14、k s, C M s m ，（a） A M m k, B M k s, C M s m AB C A BC ；（b） A,B M m k, C M k nA B C AC BC ；C M m k , A,B M k nC A B CA CB ；（c） A M m k, B M k n, R AB A B A B ；T T T（ d） A M m k, B M k n ABB A ；（e） Im M m m, In M n n, A M m n ImA AIn A.强调：（ 1）矩阵 A M m k, B M k s的乘法关于行、列的限制；（ 2）矩阵的乘法不满足交换律；（ 3）两个方阵一定可以

15、相乘，但一般也不满足交换律.三、 方阵的运算1、 方阵的逆对于方阵 A M n n ，若存在方阵 B M n n ，使得AB BA I ，其中 I M n n是单位方阵，则称 B为 A的逆阵，记为 B A 1 ，并称方阵 A可逆. 逆阵存在的充要条件A 1存在 A 的行列式 | A| 0 .逆阵的运算规则对于方阵 A M n n 、B M n n ，且 A、 B可逆，（ a） A 1 A ；（b） AB 1 B 1A 1 ；111（c）AA 1,R,0 ；T 1 1 T（ d） ATA 1 ；2、 方阵的伴随对于方阵 A M n n ，称方阵A21An1A22An2A2nAnn为 A 的伴随方

16、阵，其中 Aij 是元 aij 的代数余子式伴随方阵的性质（a） AA* A*A |A| In，其中 In M nn 为单位方阵；b）A1A*|A|强调 ：“逆阵”和“伴随”都作为方阵的运算四、 矩阵的初等变换矩阵的三种初等变换对于 A M m n，记 A的第i行为 Li, i 1, ,m、第 j列为 Ci, j 1, ,n1、 三种初等变换的标示图表示法i) 将 A aija11a12a1naij m n iai1ai2ain；am1am2amnmnii ) 将 Aaij 的第j 行乘以数0 后加到第i 行上 ，称为 倍加 ，用下述记号a11a12a1naij m nLj Liai1aj1a

17、i2 aj 2ainajn；am1am2amnmn的第 i 行乘以数0，称为倍乘 ，用下述记号：的第 i 行和第 j 行对调 ， 称为 对换 ，iii ) 将 A aij用下述记号：10a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainLi Lkaj1aj2ajnaj1aj2ajnai1ai2ainam1am2amn m nam1am2amn以上三种初等变换对矩阵的列可以同样进行 .2、三种初等变换的矩阵乘法表示法(i) 定义倍乘阵 Ei Mmm(或 Ei M nn)1Ei( ): 将单位阵 I M m m的第 (i,i)元素换为 0，其余元不变1 A aij 的第 i 行乘以数0： Ei

18、 ( ) 左乘 AAaijmnEi( )A,Ei()M mm、 Aaij 的第 i 列乘以数 0： Ei( ) 右乘 AAaijmnAEi( ),Ei()M nn、(ii ) 定义倍加阵 Eij( ) M mm(或Eij( ) M nn)Eij ( )(i, j)将单位阵 I M m m 的第1mm(i, j) 元素， k i ，换为0，其余元不变 A aij 的第 j 行乘以数0，加到第 i 行上： Eij ( ) 左乘 A11Aaij m nEij ( )A,Eij ( ) M m mEij( ) 右乘 Aaij 的第 i 列乘以数0 ，加到第 j 列上：Aaij m nAEij ( ),

19、Eij ( ) M n niii） 定义对换阵 Eij M m m （或 Eij M n n ）Eki将单位阵 I Mm m 的第 i 行和第 j 行对换，1mm其余元素不变将 A aij的第 i 行和第 j 行对调： Eij左乘 AA aij m nEij A,Eij M m m将 A aij的第 i 列和第 j 列对调： Eij右乘 Aaij m n AE ,Eij M n n .强调 ：（ 1）矩阵的“初等变换”是作为矩阵的运算而引入的；（ 2）初等变换在求矩阵的“秩”时起关键作用.五、 矩阵的秩（1） 矩阵的“秩”的引入步骤：向量的线性相关和无关向量组的极大无关组向量组的秩矩阵的秩2）

20、 矩阵的秩的使用求线性方程组的解齐次非齐次有解的充要条件基础解系121、 向量的线性相关和无关 对于 m 个 n 维向量iai1 ai2ain ， i 1, ,m所成的向量组 i :i 1, ,m ，若存在不全为 0 的常数 k1, ,km，使得k1 1km m 0 ，则称 1, , m 线性相关；否则称其为线性无关 .(1) 向量组 S i :i 1, ,m 线性相关的性质(i ) 包含零向量的向量组 S是线性相关的；( ii ) 包含两个相等向量的向量组 S是线性相关的；( iii ) 设 F S 是向量组 S 中的一部分向量构成的子向量组，则F 线性相关S 线性相关；S线性无关F 线性无

21、关 .( iv ) 向量组 S线性相关S中必有一个向量是其余 m 1 个向量的线性组合，亦即，例如1 k2 2km m ，k2, ,km不全为 0.(v) m n 时，向量组 S必线性相关 .(2) 向量组 S i :i 1, ,m 的极大无关组设 F S 是向量组 S 中一部分向量构成的向量无关组，若把S-中任意不在 F 中的向量加到 F 中去，便使得 F成为线性相关组，则称 F为 S的极大无关组 .(3) 极大无关组的性质(i) 向量组 S中的任一向量都可用其极大无关组中的向量线性表示，且表示式是惟一；(ii) 两个不同的极大无关组中元素的个数是相等的 .2、 向量组 S 的秩向量组 S的极大无关组 F 中元素的个数，称为 S的秩，记为“ rank S ”，或简记为“ r( S) ”.3、 矩阵 A M m n 的秩1) 定义 矩阵 A aij的任意 k 阶子方阵所构成的 k 阶行列式，称为 A的k 阶子式.记 Aaij m na12a1na22a2nam2amna21am1，若 A有一个 k 阶子式不为 0，而所有 k 1阶子式全为 0，或者不存在，则称矩阵A 的秩为 k ，记为 r (A) k .13A 的行秩；A 的行向量组 iai1 ai2ain , i 1, ,m 的秩，称为a1ja2jjamj,