#第3章多维随机变量和其分布习题答案

1、4251625第 3 章 多维随机变量及其分布习题参考答案3.1 二维离散型随机变量习题答案1. 解： 1 在有放回抽样情形下X,Y 的可能取值为 0,0 , 0,1 , 1,0 1,1 ，则 X,Y 的联合分布律为 TOC o 1-5 h z 1 11 4P X 0,Y 0 ， P X 0,Y 15 5 255 54 1 44 4P X 1,Y 0 45 15 245， P X 1,Y 1 54 455 5 255 5X,Y 的可能取值为 0,1 , 1,0 1,1 ，则 X,Y 的联合分布律为P X 0 , Y 1 1 443P X 1, Y 15414 1 1， P X 1,Y 055

2、4 5352. 解： 1 由 X,Y 的联合分布律的性质：pij 1可知i 1 j 1540.07 0.18 0.15 0.08 a 0.20 1， 得 a 0.32(2)P X Y P X 0,Y 1 P X 1,Y 1 P X 1,Y 0 0.07 0.08 0.32 0.473 X的可能取值为 0，1，则 X,Y 关于 X 的边缘分布律为p0 0.07 0.18 0.15 0.40 ， p1 0.08 0.32 0.20 0.60 即X01pi0.400.60Y的可能取值为 1，0，1，则 X,Y 关于 Y的边缘分布律为 p 1 0.07 0.08 0.15 ， p 0 0.18 0.3

3、2 0.50p1 0.15 0.20 0.35 即Y101pj0.150.500.354 X 与 Y 不独立 . 因为P X 0,Y 1 0.07 P X 0 P Y 1 0.40 0.15 0.06 ， 由定理 3.1 可知 X 与Y不独立 .3. 解：由题意知， X B 2,0.2 ， Y B 2,0.5 ，则由 X 与Y 独立可知P X ,i Y j P X i P Y ji i 2 i j j 2 jC2i 0.2 i 0.8 2 i C2j 0.5 j 0.5 2 j，i, j 0,1,2 .即 X,Y 的联合分布律为X1211piab33关于 Y 的边缘分布律为Y123111pja

4、b2918由X 和Y相互独立，得1 P X 1,Y 2 P X 1 P Y 2118P X 1,Y 3 P X 1 P Y 3 1311a9a1b18 b21 a ， b993.2 二维连续型随机变量习题答案所以1. 解： 1 由二维联合分布函数的性质得：F x, A B arctanx C,y A B C arctany 0 解三个方程得 2F , A B 2 C 2 12 由二维联合密度函数的性质得：当1A A2BCx,y 时 ,f x,y2F x,yxyA11 x2 1 y212 2 22 1 x2 1 y23 关于 X 的边缘分布函数为FX x F ,xyli m F1x, y 2 2

5、 arct axn 21 arctan x ， x2关于 Y 的边缘分布函数为1FY y F ,y lim F x,y 2 arctan yx 2 2 2 21arctan y ，22. 解： 1 由联合密度函数的规范性得：3x 2 y1 f x,y dxdy 0 0 ke 3x 2y dxdy ，即 kk e 3xdx e 2ydy 1 ，由定积分的知识得：1，即 k 63x 2yP X Y f x,y dxdy 0 dx x 6e dyx y 0 xe 3xdxe 2ydy30 e5xdx X 与 Y 相互独立 .关于 X 的边缘密度函数为5.fX x f x,y dy0,0 6e dy,

6、x 0其他3e 3x0,x 0其他关于 Y 的边缘密度函数为fY y f x,y dx 0 6e0,3x 2y dx,y 0其他2e 2y,y 00, 其他因为 f x,y fX x fY y 对一切实数成立，所以 X 与 Y 相互独立 .3. 解： 1 由联合密度函数的规范性得： 1 f x, y dxdy1200Ax21x3A 1.fX x f ,x y dy2 关于 X 的边缘密度函数为0,0 x 1 2 x2 1x , 0 x 13其他 0, 其他x3 5x23223x dx336(3) P X Y 2 f x,y dxdyx y 21 2 12 xx x dx dy 0 30(4)

7、fY yx,y dx10 x2 13x dx,0 y 2 12,0 y 2其他 0, 其他因为 f x,yfX x fY y 对一切实数成立，所以 X 与 Y 相互独立 .4. 解：由题意知 X 与Y 的密度函数分别为2e 2y,y 0 fY y0, 其他1,0 x 2fX x 2 ，0, 其他x,y fX x fY ye 2y,0 x 2,y 00, 其他2 x 1 2yx42 2y 3 e 4 dx 02e 2y 2 y dy 3 4e2， 1，0 ，1， 2，则(2)PY X f x, y dxdy 0dx0e2ydy 1201 e2xdx 422 或P Y X f x,y dxdye

8、2ydyyx3.6 两个随机变量函数的分布习题答案 1. 解 1 Z1 为离散型随机变量，其可能的取值是4 TOC o 1-5 h z P Z12P X Y2P X1,Y 1P Z11P X Y1P X1,Y 034P Z10PXY0PX1,Y1PX1,Y 16P Z11PXY1PX1,Y2PX1,Y 0P Z12PXY2PX1,Y121P Z13PXY3PX1,Y2即 Z1 的分布律Z1 X210123P Z1 k4346212020202020202 Z2为离散型随机变量，其可能的取值是2， 1，0，1，2，则 Z2的分布律是6P Z2 2 P XY 2 P X 1,Y 220 P Z2

9、1 P XY 1 P X 1,Y 1 P X 1,Y 1203P Z2 0 P XY 0 P X 1,Y 0 P X 1,Y 02 20P Z2 1 P XY 1 P X 1,Y 1 P X 1,Y 1 6P Z2 2 P XY 2 P X 1,Y 2 1即 Z2 的分布律Z2XY21012P Z2k6436120202020203 Z3为离散型随机变量，其可能的取值是1， 0，1，2，则P Z3P Z31 P max X , Y1 P X 1,Y 1 420 0 P max X ,Y 0 P X 1,Y 0 320P Z31 P X 1,Y 1 P X 1, Y 1 P X 1,Y 0 P

10、X 1,Y 1620P Z32 P max X ,Y 2 P X 1,Y 2 P X 1,Y 2 7即 Z3 的分布律Z31012P Z3 k4367202020204 Z4为离散型随机变量，其可能的取值是1，0，1，则 Z4的分布律是P Z4 1 P min X ,Y 1 P X 1,Y 1 P X 1,Y 0P X 1,Y 1 P X 1,Y 2 P X 1,Y 1 17P Z4 0 P min X ,Y 0 P X 1,Y 0 0P Z4 1 P min X,Y 1 P X 1,Y 1 P X 1,Y 2 3 即 Z4 的分布律Z411P Z4 k17320202. 1 C2 解：令 Z

11、 X Y，则 Z 的可能取值为 2，0，2，则 Z 的分布律是1 P Z 2 P X Y 2 P X 1,Y 1 P X 1 P Y 14P Z 0 P X Y 0 P X 1,Y 1 P X 1,Y 1PX1 P Y 1 P X 1 P Y 1 11 P Z 2 P X Y 2 P X 1,Y 1 P X 1 P Y 14 即 Z 的分布律Z X Y202P Z k1114243. 解：由题意知 X1与 X2 的密度函数和分布函数分别为0 x 1 其他x00 x 1 x10,FX xx,1,则 Y的分布函数为FY yPYy P max X1,X2 y P X1 y,X2yPX1y P X2

12、y FX1y FX 2 y FX2 y则 Y 的密度函数为dFY y 2y, 0 y 1 fY y dy 2f X y FX y 0, 其他则 Z 的分布函数为FZ z P Z z P min X1,X2z 1 P min X1,X2z1 P X1 z,X2 z 1 P X1 z P X2 z21 1 FX1 z 1 FX2 z 1 1 FX z则 Z 的密度函数为dFZ zfZ z dz2 1z ,0z 12fXz 1 FXz 02,1z ,0z 1其他4. 解：由 X 和Y 相互独立可知fZ z fX x fY z x dx 0 3e 3xfY z x dx 3e3(z t) fY t d

13、t1 当 z 0 时， fZ z 0;z 3z 3t2 当 z 0 时， fZ z 3e 3z 3t 2e 2tdt 6e 3zetdt 6e 3z (ez 1).6e fZ z 6 e0,第 3 章 多维随机变量及其分布复习题答案综上所述， Z 的密度函数为2ze 3z , z 0其他111128242 P X Y 3 1 P X Y 31 P X 1,Y 2 P X 2,Y 1 P X 3,Y 02. 解：由二维联合概率分布律及其性质可知：0.4 a b 0.1 1，即 a b 0.5P X 0 0.4 a ， P Y 1 a 0.1P X Y 1 P X 0,Y 1 P X 1,Y 0

14、a b 0.5 则由随机事件 X 0与 X Y 1 相互独立可得：P X 0 X Y 1 P Y 1 a 0.1P X 0 P X Y 1 0.4 a a b 0.5 0.4 a ,即 a 0. 1 0. 5( 0.a4 可得： a 0.2 ，再有 式得： b 0.3.3. 解：由题意可知 X,Y 的可能取值为 0,0 ， 0,1 ， 1,0 ， 1,1 ， 则 X,Y 的联合分布律为P X 0,Y 0 P A B P A B 1 P A B1 P A P B P AB 1 1 1 1121124 6 12P X 0,Y 1 P AB P B P AB 16P X 1,Y 0 P AB P A

15、 P AB1P X 1,Y 1 P AB 120， X1,X2 的可能取值为 0,0 ， 0,1 ， 1,0 ， 1,1 ，则 X1,X2 的联合分布律为1 y 1P X10,X20P Y 1,Y 2PY 1e ydy1 e 1P X10,X21P Y 1,Y 2P 0P X1 1,X 2 0 P Y 1,Y 2 P 1 Y 2 e ydy e 1 e 26所以f x,y 6, x,y Gf x,y0, x,y G2 关于 X 的边缘密度函数为0 x1x2 2 6dy 6x 6x P X 21,Y 12 1302 dy y21dx 2 02(1 y)dy 16, fX x f x,y dyx20, 其他关于 Y 的边缘密度函数为其他6dx 6 y y , 0 y 1 fY y f x, y dx y0,3 不