5.2留数在定积分计算上的应用

1、 复变函数论多媒体教学课件 第五章 留数5.2 留数在定积分计算上的应用留数定理的应用-实积分的计算: 在高等数学中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，但仅限于高等数学的方法很难或不可能计算出来.遇到这种情况,人们发现利用我们刚学过的复的留数理论有时反而可以解决这种实积分的问题.留数定理的应用-实积分的计算:（2）利用留数计算实积分，没有通用的方法,也就是不是所有的实积分难题都可用留数计算,但可计算的类型还是很多的,感兴趣的同学可自已查阅资料收集整理.限于时间,我们只举例说明以下三种较简单的类型的计算方法.利用留数计算实积分的特点：（1）通常的办法是,利用留数定理，我

2、们把计算一些实积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而解决问题；一.型如的积分，其中R(x,y)是有理分式,被积函数是t的连续函数.留数定理的应用-实积分的计算:解法：令 ，那么原积分化为 再用留数求此积分.例1 计算积分其中常数a1。 而且当t从0增加到解：令 ，那么时，z按反时针方向绕圆周C:|z|=1一周。留数定理的应用-实积分的计算:因此于是应用留数定理，只需计算在|z|1内极点处的留数，就可求出I。上面的被积函数有两个极点：显然留数定理的应用-实积分的计算:因此被积函数在|z|1，那么z=i包含在Cr的内区域内。沿 Cr取 其中 表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按幅

3、角增加的方向取的。的积分，得留数定理的应用-实积分的计算:现在估计积分我们有因此令 ，就得到从而留数定理的应用-实积分的计算:引理3.1设f(z)是闭区域上连续的复变函数，并且设那么我们有 是以O为心、r为半径的圆弧在这闭区域上的一段 如果当z在这闭区域上时，留数定理的应用-实积分的计算:证明：设M(r)是f(z)在因为当证明：设M(r)是f(z)在 上的最大值，则有因为当 时，留数定理的应用-实积分的计算:所以又因为又因为 所以，留数定理的应用-实积分的计算:的积分，其中f(z)在 上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且当z在上时，引理中的条件满足留数定理的应用-实积分的计算:三.

4、型如 ,即当z在 时，解法:如下例.例3、 计算积分解：取r0，则有函数 在 上有一阶极点z=i外，在其他每一点都解析, 取积分区域如图，而只要取r1。于是我们有留数定理的应用-实积分的计算:于是我们有其中 表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。留数定理的应用-实积分的计算:现在应用引理3.1，取那么在这引理中所设各条件显然成立。因此，令从而可见积分I收敛，并且因此，令 ，就得到留数定理的应用-实积分的计算:注(补充,不作要求)： 如果函数f(x)在上半平面可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且在实轴上有孤立奇点，我们也可以计算某些广义积分，如下面的例子。留数定理的应

5、用-实积分的计算:函数 只是在z=0有一个一阶极点。 例4(补充,不作要求) 计算积分解：取 解：取 ，使解：取 ，使 ，我们有留数定理的应用-实积分的计算:作积分路径如下图。在上半平面上作以原点为心、于是我们有在这里沿现在求当 为半径的半圆 的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的。现在求当 趋近于0时，现在求当 趋近于0时， 的极限。留数定理的应用-实积分的计算:由于，h(z)在z=0的解析，在z=0的一个邻域内，| f(z)|有上界当 其中h(z)是在z=0的解析函数。因此于是当 时于是当 充分小时留数定理的应用-实积分的计算:从而令 ，应用引理3.1，可以得到所求积分收敛，并且留数定理的

6、应用-实积分的计算: 第五章 留数5.2 留数在定积分计算上的应用本讲小结一.型如的积分，其中R(x,y)是有理分式被积函数是t的连续函数.留数定理的应用-实积分的计算:解法：令 ，那么原积分化为 再用留数求此积分.的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次，即积分绝对收敛。留数定理的应用-实积分的计算:二.型如解法:均如下例.例2、 计算积分留数定理的应用-实积分的计算:引理3.1设f(z)是闭区域上连续的复变函数，并且设那么我们有 是以O为心、r为半径的圆弧在这闭区域上的一段 如果当z在这闭区域上时，留数定理的应用-实积分的计算:的积分，其中f(z)在 上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且当z在上时，引理中的条件满足留数定理的应用-实积分的计算:三.型如 ,即当z在 时，解法:如下例.例3、 计算积分思路：取r0，则有留数定理的应用-实积分的计算:于是由引理,第二个积分趋于0.留数定理的应用-实积分的计算:注： 如果函数f(x)在上半平面可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且在实轴上有孤立奇点，我们也可以计算某些广义积分，如下面