2022年二面角求解方法

1、二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一,可以做为挑选题,也可作为填空题,经常作为解答 题形式显现,重点把握好二面角,它一般显现在解答题中；下面就对求二面角的方法总 结如下：1、定义法：在棱上任取一点,过这点在两个面内分别引棱的垂线,这两条射线所成 的角就是二面角的平面角；2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线,再由垂 足向棱作垂线得到棱上的点；斜足与面上一点连线,和斜足与垂足连线所夹的角即为二 面角的平面角；3、作棱的垂面法 :自空间一点作与棱垂直的平面,二面角的平面角；截二面角的两条射线所成的角就是4、投影法：利用s投影面=s 被投影面 cos这个公式对于斜面

2、三角形,任意多边形都成立,是求二面角的好方法；特别对无棱问题5 异面直线距离法：EF 2=m 2+n 2+d 22mncosPBC 和ABC 都是边长为 2 的正三角形,PA= 6 , P 例 1：如 p是ABC 所在平面外一点,而求二面角 P-BC-A的大小；分析：由于这两个三角形是全等的三角形,故采纳定义法A B E C 解：取 BC的中点 E,连接 AE、PE AC=AB,PB=PC AEBC,PE BC PEA 为二面角 P-BC-A的平面角在 PAE 中 AE=PE= 3 ,PA= 6PEA =90 0 二面角 P-BC-A的平面角为 90 0；例 2：已知ABC 是正三角形,PA平

3、面 ABC且 PA=AB=a,求二面角 A-PC-B的大小；思维 二面角的大小是由二面角的平面角来度量的,此题可利用三垂线定理（逆）来作平面角,仍可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角；解 1：（三垂线定理法）P 取 AC的中点 E,连接 BE,过 E 做 EF PC,连接 BF PA平面 ABC,PA 平面 PAC A E F C 平面 PAC 平面 ABC, 平面 PAC 平面 ABC=AC B 图 1 BE 平面 PAC 由三垂线定理知BF PC BFE 为二面角 A-PC-B的平面角设 PA=1,E为 AC的中点, BE=3 ,EF= 224tanBFE =BE6

4、EFBFE =arctan6解 2：（三垂线定理法）取 BC的中点 E,连接 AE,PE过 A 做 AF PE, FM PC,连接 FM P AB=AC,PB=PC AE BC,PE BC F M E C BC 平面 PAE,BC 平面 PBC A 图 2 B 平面 PAE 平面 PBC, 平面 PAE 平面 PBC=PE 由三垂线定理知AMPC FMA 为二面角 A-PC-B的平面角设 PA=1,AM=2 ,AF= 2AP.AE21P PE7sinFMA =AF42AM7FMA =argsin427解 3：（投影法）过 B作 BE AC于 E,连结 PE PA平面 ABC,PA 平面 PAC

5、 A E C 平面 PAC 平面 ABC, 平面 PAC 平面 ABC=AC B 图 3 BE 平面 PAC PEC 是PBC 在平面 PAC上的射影设 PA=1,就 PB=PC=2 ,AB=1 SPEC1,SPBC7argcos7, P D E C 44由射影面积公式得,COSSPEC7,S77PBC解 4：（异面直线距离法）过 A 作 AD PC,BE PC交 PC分别于 D、E A 设 PA=1,就 AD=2 ,PB=PC= 2 2S BE=1PBC=14 ,CE= 42 ,DE= 42PC4argcos7图 4 B 2由异面直线两点间距离公式得AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2

6、ADBECOS,COS=7,77点评 此题给出了求平面角的几种方法,应很好把握；例 3：二面角EF的大小为 120 ,A 是它内部的一点, AB,AC,B、C为垂足；（1）求证：平面 ABC ,平面 ABC（2）当 AB=4cm,AC=6cm时求 BC的长及 A 到 EF的距离；分析：此题采纳作棱的垂面法找二面角的平面角解：（1）设过 ABC的平面交平面于 BD,交平面于 CD A CAB,AB 平面 ABC B 平面 ABC,同理平面 ABC（2）ABD AB EF 同理 AC EF EF 平面 ABDC BD EF, CD EF BDC =120BAC60246COS6027cm BC42

7、1cm BC=4262有正弦定理得点A 到 EF的距离为： d=sin603二面角的求法一、复习引入：1、什么是二面角及其平面角？范畴是什么？从一条直线动身的两个半平面所成的图形叫做二面角,记作：二面角 l ；以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角；范畴：0 ,2、二面角显现的状态形式有哪些？直立式 横卧式2、二面角的类型及基本方法（1）四种常规几何作求法定义法 垂面法；三垂线法；射影面积法 co s=S射影多边形 /S 多边形（2）向量法：设 m 和 n 分别为平面,的法向量,二面角l的大小为,向量m 、 n 的夹角为,如图：n

8、lnlnn结论： 设 m 和 n 分别为平面,的法向量,二面角l的大小为,向量m 、 n 的夹角为,就有或结论： 一般地,如设n,m分别是平面,的法向量,就平面与平面所成的二面角的运算公式是：arccosnm当二面角为锐角、直角时）或arccosnm当二面角为钝角时）,其nmnm中锐角、钝角依据图形确定；二、例题讲解：以锥体为载体,对求角的问题进行争论例 1、如图 ,在底面是始终角梯形的四棱锥 1S-ABCD中, AD BC,ABC=90 ,SA平面 AC,SA=AB=BC=1,AD=2 .求面 SCD与面 SAB所成的角的大小；解法 1：可用射影面积法来求,这里只要求出S SCD与 S SA

9、B即可,故所求的二面角 应满意 co s= S .=11112=6；A B D C 233图 1 22点评：（1）如利用射影面积法求二面角的大小,作为解答题,高考中是要扣分的,由于它不是定理（2）由同学争论解决,老师依据同学的解答情形进行引导、明确同学的解答；解法 2：（三垂线定理法）解：延长 CD、BA交于点 E,连结 SE,SE即平面 CSD与平面 BSA的交线 . 又DA平面 SAB,过 A 点作 SE的垂线交于 F.如图. AD1 BC且 AD BC 2A D C ADE BCEEAABSA又SAAE SAE为等腰直角三角形, F为中点,AF1SE2SA2又 DA平面 SAE,AFSE

10、222由三垂线定理得 DFSEDFA为二面角的平面角 , tanDFADA2即所求二面角的正切值 . FA2评注： 常规法求解步骤： 一 作：作出或找出相应空间角； 二证：通过简洁的判定或推理得到相应角；三求：通过运算求出相应的角；点评：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直,来找到二面角的平面角的方法；这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线；此方法是属于较常用的；总之,在运用三垂线找平面角时,找垂线留意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理,按三垂线的条件,一垂线垂直二面角的一个面,仍有垂直于棱的一条垂线；且两垂线相交,交点在二面角的面内；解法 3：（向量法）解：如图,建立空间直角坐标系,就 A0,0,0 ,B0,1,0 ,C-1 ,1,0 ,D0,1 ,0 ,S0,20,1 ,易知平面 SAB的法向量为 m =0,1 ,0 ；设平面 SDC的法向量为 n =x ,y,z ,而 D C =-1 ,1 ,2 210 , D S =0,2, 1 , n 面 SDC, n D C , n D S ,n1 D C . 1x y 0n D C 0得 2 S n D S 0 12 y z 0B C 令 x 1 得：y 2, z 1；即 n =1,2,1 面 SAB与面 SCD所成角的二面角为锐角 ,A D m n 1co s n mm n= 12 6 =3 6 =arcc