2022年二阶常系数线性微分方程

1、1求以下方程通解： y 2 y 3y 0 ； 【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程, 由其特点方程 2230 得两相异实根 13 , 和 即得方程 y 2 y 3y 0 的通解为 y C e 1x C e 2 x Ce x C 2e 3 x ； y 7 y 12 y 0 ； 【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程, 由其特点方程 2712 0 得两相异实根 3 和 4 , 即得方程 y 7 y 12 y 0 的通解为 y C e 1x C e 2 x C e 3x C e 4 x ； y 6 y 9 y 0 ； 【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程, 由其特点方程 2690 得二重实根 3 ,

2、x y C1 3x C2 xe ； 即得方程 y 6 y 9 y 0 的通解为 C1 C2 xe y y y 0 ； 【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程, 由其特点方程 21 0 得一对共轭复根 13i, 22即得方程 y y y 0 的通解为 x C sin 3x ； y x e C1 cos x C2 sin x e 1x C cos 32222求方程 y 2 y 3y 0 中意初始条件 y x 0 1 , y x 01 的特解； 【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程, 由其特点方程 22 3 0 得一对共轭复根 1 2i , 即得方程 y 2 y 3y 0 的通解为 y e C1 co

3、s 2x C2 sin 2x , x 第 1 页,共 3 页x x 求导得 y e C1 cos 2x C2 sin 2x e C1 2 sin 2x C2 2 cos 2 x 将初始条件 x 0 ,y 1 ,y 1,代入 y e C1 cos 2 x C2 sin 2x ,得 C1 x 1 , 再初始条件 x 0 , y 1 , y 1 及 C1 1 代入 y 的表达式,得 1 1 0 0 C2 2 ,即为 C2 2 , 于是,方程 y 2 y 3y 0 中意初始条件 y x 0 1 , y x 0 1 的特解为 y e x cos 2 x 2 sin 2 x ； 3求方程 y 2 y 3

4、y 3 x 1 的一个特解； 【解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 由于 f x 3x 1 ,考虑到这是常系数微分方程,且多项式函数的导数仍为多项式 函数,因此,方程应有一个多项式函数的特解,其次数应不高于 1 次, 因此可设方程 y 2 y 3 y 3x 1 有一个特解为 y *ax b , 将 y * ax b 代入方程 y 2 y 3y 3 x 1 ,得 0 2a 3ax b 3 x 1 , 1即为 3ax 2a 3b 3x 1 ,由多项式相等条件得 a 1, b, 31即得方程 y 2 y 3 y 3 x 1 的一个特解为 y * x 3； x 4求方程 y 2 y y 12xe

5、的通解； 【解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 由于 f x 12xex ,考虑到这是常系数微分方程,而多项式函数与指数函数之积的 导数仍为同类型函数, 因此可设方程 y 2 y y 12xex 有一个特解为 y* q xex ,其中 q q x 为多项 式函数, 将 y* q xex 代入方程 y 2 y y 12xex ,得 x ； q 2q qexx 2 q qex qe12xex , 整理得 q 12x ,积分得 q 2 x3c x c , 即得方程 y 2 y y 12 xe x有一个特解为 y* 2 x3c x c e 25求方程 y 4 y 4 y cos 2 x 的通解；

6、第 2 页,共 3 页【解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 先求原方程 y 4 y 4 y cos 2 x 的一个特解 由于 f x cos 2 x ,考虑到这是常系数微分方程,而正,余弦函数的导数仍为同 类型函数, 因此可设方程 y 4 y 4 y cos 2x 有一个特解为 * y a cos 2x bsin 2x ,其中 a , b 为待定系数, 将 y * a cos 2x b sin 2x 代入方程 y 4 y 4 y cos 2x ,得 4 a cos 2x 4b sin 2 x 4 2a sin 2 x 2bcos 2 x 4 a cos 2 x bsin 2 x cos 2 x 1整理得 8b cos2 x 8a sin 2x cos2x ,从而可有 b , a 0 , 8即得方程 y 4 y 4 y cos2 x 的一个特解为 y * 1sin 2 x ； 8再求齐次方程 y 4 y 4 y 0 的通解 原方程对应的齐次方程 y 4 y 4 y 0 的特点方程 24 4 0 有二重根 2 ,知齐次方程的通解应为