公共基础课件赠高等数学第8讲

1、曲线的渐近线、弧微分、曲率（四）最大值最小值问题设 f ( x ）在闭区间 a , b 上连续、除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零，求 f （x）在 a ，b上的最大值与最小值的一般方法：设 f ( x ）在（ a , b ）内的驻点及不可导点为x1，,xn，则比较的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值。（五）例题( A )f (xo）是 f ( x ）的极大值( B ）f（xo）是 f （x）的极小值( C ) ( xo , f （x0）是曲线y= f ( x ）的拐点( D ) f（x0）不是f ( x）的极值，（x0, f (xo) )也不是曲线 y f（ x ）的拐点

2、【 解 】x x 0 是 f ( x ）的驻点，又 f ( x 0）, 故 f（x0）是f( x ）的极小值，应选（ B ）。3x2【 例 l-2-38 】求函数 y = 2 x+3- 12x + 14 在 -3 , 4 上的最大值与最小值。f ( x )=2x3 + 3x2 12x +14 , f (x ) = 6x 2+6x 12 = 6 (x + 2)( x -1)。令 f (x) =【解】0, 得x1= -2, x 2= 1.算出f ( -3 ) = 23,f ( - 2 ) = 34 , f ( 1 ) = 7 , f (4) = 142, 故最大值为 f (4 ) = 142 ,最

3、小值为 f (1) = 7 。【例 1 -2 - 40】若 f （x）在（ a , b ）内满足 f ( x ) 0 ，则曲线 y = f（x）在（ a , b ）内是( A ）单调上升且是凹的( B ）单调下降且是凹的( C ）单调上升且是凹的( D ）单调下降且是凸的【 解 】 由 f （x ）0 及函数单调性的判定法， 知曲线是单调下降的。又由 f （x） 0 及曲线凹凸性的判定法，知曲线是凹的，故选（ B ）。六、偏导数全微分（一）偏导数与全微分1 偏导数概念类似地，可以定义三元函数 f ( x , y , z）的偏导数fx（x，y , z）、fy（x , y，z）、fz（x , yz

4、）等.按定义，偏导数的求法仍属一元函数微分法。上面这一求导法则，简称为 2 2 法则或标准法则。从这标准法则的公式结构，它的特征如下： 每一项的与一元复合函数的求导法则相类似，即“因变量对间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数”。由此可见，掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量为直观地显示变量之间的复合结构，可用结构图（或称树形图） 1-2 -1 来表示出因变量 z 经过中间变量u 、 v 再通向自变量 x 、 y 的各条途径。按照上述标准法则的三个特征，可以将多元复合函数的求导法则推广。3 隐函数求导法则设方程 F ( x , y , z ) =

5、 0 确定一个隐函数 z = f ( x ，y)，函数 F ( x , y , z ）具有连续偏导数且Fz 0 ，则有全微分概念若函数 z = f ( x ，y)的全增量函数可微分的充分条件是函数具有连续偏导数。（二）多元函数连续、可（偏）导、可微分的关系对于一元函数来说，函数可导必定连续，而可导与可微分两者是等价的。但对于多元函数来说，可（偏）导（即存在偏导数）与连续没有必然的联系，可（偏）导与可微分也并不等价。多元函数可微分必定可（偏导，但反之不真。当偏导数存在且连续时，函数必定可微分。上述多元函数连续、可（偏）导与可微分的关系，可用图 1-2-3 表示如下：（三）偏导数的应用1 空间曲线的切线与法平面空间曲线 ：3 方向导数与梯度设有方向l，它的方向余弦为cos， cos ，函数 f ( x，y)在点 P0（x0，y0）沿方向 l 的方向导数为当函数f ( x，y)在点 P0（x0，y0）可微分时，方向导数可按以下公式计算：则有(1)当