蔡氏电路及混沌现象研究

1、蔡氏电路及混沌现象研究一、 引 言在非线性电路中蔡氏电路是迄今为止产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之一。混沌 (chaos) 现象的研究是非线性系统理论研究中的前沿课题之一, 混沌现象普遍存在物理、化学、 生物学， 以及社会科学等等各个学科领域中, 是在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象, 是非线性动力学系统特有的一种运动形式。蔡氏电路是一个能产生混沌现象的最简单三阶自治电路1。1983年， 美籍华裔科学家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏电路(chua s circuit) 。它是历史上第一例用电子电路来证实混沌现象的电路，也是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的

2、最为有效和较为简单的电路之一。通过改变蔡氏电路的拓扑结构或电路参数，可以产生倍周期分叉、单涡卷、周期3、双涡卷吸引子、多涡卷吸引子等十分丰富的混沌现象。因此，蔡氏电路开启了混沌电子学 的大门， 人们已围绕它开展了混沌机理的探索、混沌在保密通信中的应用研究，并取得了一系列丰硕的成果。图 1(a) 是蔡氏电路的电路拓扑图，它是一个三阶电路，有两个电容、一个电感、一个线性电阻，并含有一个非线性电阻元件NR，它的伏一安特性曲线如图1 (b) 所示， 是一个分段线性函数，中间一段呈现负电阻的特征，它可以用开关电源等电子电路来实现。蔡氏电路的动力学特性由下列各式描述：考虑图 1(a) 的电路， 非线性电阻

3、的伏安特性曲线由图1(b) 给出。其中vc1，vc2和 i L分别是C1，C2两端的电压以及流过的电流，G=1 R。g(vc1) 是图 (6) 所示的分段线性化函数，该电路描述可以写成无量纲的形式( 即下面的正规化状态方程) ：其中， 1和 2是参数，K( )是非线性函数，满足如下方程：其中m0和m1是参数。给定适当的参数，该系统表现出混沌行为。方程 (2) 是非线性的微分方程组，一般需要用四阶龙格一库塔算法这样的数值方法求解。其算法思想如下：基于 Tavlor 级数展开的方法，利用f 在某些点处函数值的线性组合构造差分方程，从而避 免高阶导数的计算。用 MATLAB可以对方程求解并进行仿真，

4、各参数的取值为( 1=9，2 =-1007，mo=一17，m1=27)。得出单变量x，v，z随时间 t变化的序列图分别如图3，图4，图5 所示 :从仿真结果图可以，蔡氏电路的正规化状态方程描述了一个连续时间系统，这个系统在所给参数和初值的条件下可以产生双涡卷吸引子的混沌现象。xy，xz，yz 及xyz 的相平面图分别如图6，图7，图8，图9 所示 2 ：4-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 O.i 0.2 0.3 0.4 y8 y-z相平面4i图9 X-y-z相平面图近几十年来，国内外许多关于蔡氏电路和混沌现象的研究有许多的新进展。2.1 国外研究现状Eleonora Bilotta

5、对于 N相同的混沌震荡器进行了数值仿真，它们都是在同一个几何环内耦合了对称和耗散3 。简单的混沌信号是一个基于忆阻的蔡氏电路，其中二极管被含有三次非线性的忆阻器代替 4 。两个回路的双向耦合通过电阻得到，并且对于每一对系统是相同的。他们采用了两种初始条件：仅一个初始条件不为0 的回路，或者所有电路有均匀随机的初始条件。为了研究可能的同步机制和可能出现的现象，他们通过改变相互作用系统的耦合与数量，进行了几次计算机仿真。他们发现了同步机制和环内新出现的波。特别的是，对于高度耦合（例如阻值较低的Rc） ， 他们发现了对于两种初始条件下的混沌完全同步机制。不管还是N变大， 这种同步在混沌中演化成间歇性

6、的相位同步。脉冲同步的振幅随着Rc的增大而增大，经过一个临界的 Rc*值，电路转化为非混沌的同步机制，同时带有伪正弦的震荡。在混沌体制（RcRc*引起的系统从混沌到非混沌体制所增加的不稳定性。对于RcRc*的情况，取决于初始条件，两种宏观的波能够在环内出现。在环内仅有一个回路有非零初始条件的情况下，宏观的伪周期稳态波能够出现，它以低振幅震荡回路出现的结果出现，并且这些回路是波的结点。相反地，对于RcRc*均匀随机初始条件，他们发现了行进波顺时针或逆时针沿环旋转的现象。可能出现的波长取决于环的尺度：在波长 f =N 的基础上， 通过增加N的值， 他们也发现了波长( = f/2, = f/3, =

7、 f/4 ) 可能逐渐减小的波。行进波的周期T在所有仿真的例子中是相同的，因此不同的波长意味着不同的波速v= /T。最后，对于非常低的耦合情况，他们发现混沌和非混沌震荡回路的共存性，这也给了环内稳态和行进波同时出现的曙光。这些结果证实了由于耦合混沌震荡引起的自治动力的丰富性7 。H. Moqadasi;M. B. Ghaznavi-Ghoushchi. 推荐了一个TRNG，它基于混沌双涡卷吸引子，利用蔡氏电路建立模型，其中该电路含有一个 S/H， 一个ADC模块和一个用于置乱和增加产生位流随机性的LFSR模块，其中6 位的长度是选择LFSR的最佳长度8 。另外推荐了一个新的蔡氏电路，它带有一个

8、包含12 个晶体管的单片NDR，由于集成电路的实现，它的NDR比离散化的安装形式更好，同时也优于电感器的实现，因为它们有大的框图，例如运算放大器，同时消耗更多的电能，占用更多区域。另一方面，这种NDR拥有现有的资源，例如它们对环境参数(如气温)的敏感性可以被用作混沌生成的控制参数。在他们推荐的TRNG中，他们利用这种推荐的蔡氏电路作为混沌生成的核心。产生的随机位流由国家标准技术机构的FIPS 140-1 进行测试，并且成功通过。他们可以利用这种带或不带LFSR的 TRNG，同样地他们推荐最小的ADC分辨率，这样产生的位流是真随机的，试验证实利用LFSR让他们拥有更小的ADC，测试也通过得更好1

9、0 。E. R. Viana 等人利用了一个基于LABVIEW的周期性检测程序计算了一系列直流电压源为源项的蔡氏电路，目标为建立一个周期性参数空间 13。 利用这种程序，他们能够使时间序列的周期性测量过程自动化， 建立一个周期性的参数空间。得到的参数空间允许他们能够观察自组织的周期性窗口。有周期性的参数空间，与利用框图得到的相比，这样的周期性窗口能够提前显示信息，。利用这样的方法，他们也可以观察自相似的周期性结构，累积边界的新序列，和周期性增加的分岔。有这种方法，使它们的行为介于混沌和周期之间的描述将会被完善。 他们希望周期性检测能够对于实验混沌的研究人员有所帮助，能够成为数据分析的一种新工具

10、15 。Buscarino, Arturo1 推导了两种反射形式的蔡氏电路动力，推荐了相应的空间代表状态18。总体来说，给定一个非线性电路，等价的反射形式是不确定存在的；他们已经说明了蔡氏电路在x 或 z 变量被利用时能够表达为反射形式，而不是变量y 被利用。 实施两个代表量中一个的电子线路已经在他们的实验室利用现成的离散元件实现。蔡氏动力的反射形式的实现紧接着最近的研究方向，它描绘与2011年， Sprott ：在一个简单的混沌实现中，蔡氏混沌电路的丰富特性可以包含其中。值得一提的是，基于蔡氏二极管的应用形式实现的电路， ，允许了更简单的实现形式，其中必须使用立方的非线性19。2.2 国内研

11、究现状湖南大学的徐浩介绍了混沌系统分析方法和混沌电路设计基础，分析了各种混沌系统和电路的国内外研究现状，总结了混沌电路的发展过程。 在文献阅读和理论分析的基础上，他在混沌电路的动力学行为的复杂性和混沌振荡的频率两个方面分别提出了一种可扩展的具有 多 方 向 多 涡 卷 吸 引 子 的 高 阶 蔡 氏 电 路 和 一 种 基 于MOS管 的Colpitts 振荡电路的设计和同步方法。他提出了一种具有多方向多涡卷混沌吸引子的高阶蔡氏电路。在典型蔡氏电路独特的RCL网络结构的基础上，耦合一个RC结构和一个非线性电源，便可以得到高阶的蔡氏电路。重复采用这种方法，就可以得到能产生更多方向的多涡卷混沌吸引

12、子的高阶蔡氏电路。用硬件实现了六阶蔡氏电路，生成的混沌吸引子与预期相符合，证实了这种方法的可行性。最后用五阶蔡氏电路对图片进行加密仿真，说明多方向的混沌信号能在加密速度和加密效果上有更大的优势。他还提出了一种基于MOS管的Colpitts混沌振荡电路。由于MOS管比三极管有更好的集成性和更低的功耗，所以用MOS管代替三极管设计Colpitts 混沌电路是一个很好的选择。由于MOS管的非线性部分更加复杂，文中给出了详细分析方法。电路仿真结果表明，在低电压的供电下，混沌振荡电路的工作频率能够到达特高频频段。最后，用电路实现了Colpitts 混沌电路的误差反馈同步，用数值仿真实现了蔡氏多涡卷电路和

13、Colpitts 混沌电路的混沌对偶同步21汤琳围绕混沌通信这一主题, 以非线性系统理论和现代通信理论为基础 , 将混沌优良的特性应用于通信系统中, 重点研究混沌通信中混沌同步及安全hash 算法等关键问题。由于混沌通信系统为非线性系统 , 因此 , 采用非线性系统理论进行分析。他的主要工作内容和创新点如下 :1 、混沌同步是混沌通信的基础和前提, 是通信成败的关键，分析了混沌同步方法中的耦合同步法，为后面的混沌加密系统研究提供混沌理论及相关技术基础。同时， 讨论了蔡氏电路的电路模型和混沌特性，以及改进后的蔡氏电路的电路模型和混沌特性。2、他还介绍了现代加密系统的基本理论，分析了hash 函数

14、的起源与现状。3、此外， 他分析了混沌加密的基本方法，由于改进后的蔡氏电路拥有复杂丰富的混沌特性, 生成的混沌信号同传统保密通信方法相比在抗破译性能方面得到较大的提高，因此， 他设计了一种运用混沌掩盖加密方法在改进的蔡氏电路基础上建立混沌保密通信系统，基于hash 变换的思想 , 引入安全hash 函数 , 作为接收端检验密文是否在传输过程中被非法篡改的方法，使信息能完整接收，保障了信息的保密性和完整性。 为了验证该方法的正确性, 进行了计算机仿真, 分别对在传输信道中的信息有无篡改这两种方式进行仿真，仿真结果和理论分析是一致的 22 。张宏鹏论述了混沌的发展和国内外混沌电路的研究现状，详细介

15、绍了混沌的一些重要应用。论述了混沌系统的基本理论及其特性和识别混沌的信号的方法，并且提出了一种研究混沌初值敏感性方法。利用功率谱法研究了一元多项非线性变换对信号频率的影响，同时根据硬件电路的复杂程度，选取p(x)=k 2x2+k3x3 为非线性变换式。利用Lyapunov 指 数 研 究 了 该 非 线 性 变 换 式 系 数 的 最 佳 范 围 ， 针 对p(x)=k 2x2+k3x3进行了硬件电路设计，并基于蔡氏混沌信号对该电路进行了大量的数值仿和物理实验，从多角度对变换前后的混沌信号进行了对比实验研究，实验结果验证了非线性变换电路的有效性。该电路可以适用于对任何混沌信号的变换，通过对非线

16、性变换电路系数的改变，可得到不同的混沌波形，可以产生多种性能更好的混沌信号。最后对混沌通信原理进行了介绍，并对原蔡氏混沌信号和经过非线性变换后的混沌信号进行了加密实验和比较研究。结果证实了变换后的混沌信号更适合对信号进行加密隐藏。对混沌进行非线性变换不仅可以产生大量的混沌信号，而且可以改善混沌特性，为保密通信提供更多的混沌信号源23 。吴迪则研究了忆阻器建模和蔡氏混沌电路的关系。忆阻器的出现和蔡氏电路的研究有望改善整个电子电路的理论和应用。忆器是一种具有记忆功能的新型非线性无源电路元件，蔡氏电路是混沌电路中一种典型的电路，虽然其结构简单，但有复杂的混沌特征。在忆阻器杂质与非杂质分界面非线性漂移

17、的基础上，通过对分界面漂移速度施加窗函数用Simulink 和 Pspice 分别建立非线性杂质漂移忆阻器模型，Simulink 的忆阻器模型是从数学的角度实现的，理论上是精确的，而 Pspice 的忆阻器模型是从电路的角度实现的，是要放到电路中实现的，用Pspice 建立出来的模型会存在电流采样电阻，该电阻的存在与否及其阻值大小都会对忆阻器的非线性带来影响。这也是理论与实际存在差别。通过两个软件仿真出来的波形就可以看出忆阻器模型是否符合要求。蔡氏电路是典型的混沌电路，它结构简单并且能呈现出丰富的动力学行为。他用Multisim 软件搭建蔡氏电路并对其进行仿真研究，以此为基础设计了一个改进的蔡

18、氏电路。得到和蔡氏电路一致的相图，并且能看到蔡氏电路中看不到的混沌波形，从而证实了该电路的混沌特性。由于很多混沌电路都是用Multisim 搭建的，所以认为具有准确性和可信度。随后用已经模拟出来的忆阻器模型替代蔡氏电路中的非线性电路部分，用Pspice 软件建模仿真，观察其混沌现象并和用Multisim 搭建蔡氏电路的相图进行对比，再改变其参数， 观察波形变化。所得到的忆阻器模型测量与惠普实验室生产真正的忆阻器测量相似，且电流采样电阻在其中也起到了关键作用，将模型放到蔡氏电路中得到的混沌波形与标准的混沌波形类似。证实忆阻器模型的可用性。他采用多种软件来仿真，发挥了各自软件的优势，其结果相互比较

19、，使仿真结果更准确24 。刘恒利用Pspiec 仿真软件对实际电感蔡氏电路进行仿真, 给出可调参量在不同取值范围时, 蔡氏电路所展示的动力学行为 同时 , 对蔡氏电路中非线性电阻的伏安特性进行了分析，然后, 他引入一个模拟电感电路, 分析了该模拟电感电路的等效原理, 并将该模拟电感代替蔡氏电路中实际的电感, 通过电路实验验证了该方案可行, 进一步证实了该模拟电感在振荡电路中性能更加优越。在蔡氏电路的基础上他对多涡卷混沌吸引子的产生也进行了研究, 理论推导了其产生规律同时对其平衡点也进行了分析, 通过数值仿真能产生10 个涡卷的混沌吸引子，同样用一个模拟电感代替多涡卷混沌电路中实际的电感,在电路

20、实验中最多产生了8 个涡卷的混沌吸引子。他还对蔡氏电路的一个变形电路( 用三次方模块代替分段线性函数) 进行了研究, 他根据变形蔡氏系统, 设计了一个电子电路, 并通过 Pspiee 仿真验证了该设计电路可行。在此基础上, 通过正比于系统变量的周期脉冲扰动法对其混沌进行控制, 根据脉冲强度 O 和 O 分别设计了两个不同的控制器 , 都得到了较好的控制结果。最后 , 利用限幅控制法对蔡氏电路中的混沌进行控制，通过PsPiee 仿真验证了该方案的可行性, 在此基础上, 通过电路实验对基于模拟电感的双涡卷、5 涡卷和 6 涡卷混沌吸引子, 利用限幅控制法对其混沌进行控制, 可控制到各种周期轨道25

21、 。参考文献鲍林云,周尚波,虞继敏,赵丽 .蔡氏电路的混沌仿真研究J.山东工业技术,2015,01:254-256.冯久超，陈宏滨.蔡氏电路的仿真研究J.华北航天工业学院学报 .2005(s1).Eleonora Bilotta (1);Francesco Chiaravalloti (1);Pietro Pantano (1).Synchronization and Waves in a Ring of Diffusively Coupled Memristor-Based Chua s CircuitsJ.Acta Applicandae Mathematicae.2014(No.1).B

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