2022年万有引力定律及应用

1、- 第 4 讲万有引力定律及应用. 一、开普勒三定律的容、公式定律 容 图示或公式开普勒第肯定律 全部行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太轨道定律 阳处在椭圆的一个焦点上开普勒其次定律 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在面积定律 相等的时间扫过的面积相等a 3开普勒第三定律 全部行星的轨道的半长轴的三次方跟它T 2 k,k 是一个与行星无关周期定律 的公转周期的二次方的比值都相等的常量自测 1 2022 全国卷14关于行星运动的规律,以下说法符合史实的是 A.开普勒在牛顿定律的根底上,导出了行星运动的规律B.开普勒在天文观测数据的根底上,总结出了行星运动的规律C.开普勒总结出了行星运动的规律,找

2、出了行星依据这些规律运动的缘由D.开普勒总结出了行星运动的规律,发觉了万有引力定律答案 B 解析 开普勒在天文观测数据的根底上总结出了行星运动的规律,但没有找出行星运动依据这些规律运动的缘由,而牛顿发觉了万有引力定律 . 二、万有引力定律1.容自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m1和 m2的乘积成正比,与它们之间距离r 的二次方成反比. 2.表达式FGm1m2 r 2,G 为引力常量, G6.67 1011N m2/kg2. 3.适用条件- -.可修编 - . - . 1公式适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时,物体可视

3、 为质点 . 2质量分布匀称的球体可视为质点,r 是两球心间的距离. 4.天体运动问题分析 1将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力供应 . 2根本公式：GMm r 2mav 2m r vGM rr 3mr 2GMr3mr22 T2TGMmv自测 2 我国发射的“ 天宫一号和“ 神舟八号在对接前,“ 天宫一号的运行轨道高度为 350 km,“ 神舟八号的运行轨道高度为 343 km.它们的运行轨道均视为圆周,那么 A.“ 天宫一号比“ 神舟八号速度大 B.“ 天宫一号比“ 神舟八号周期长 C.“ 天宫一号比“ 神舟八号角速度大 D.“ 天宫一号比“ 神舟八号加速度大 答案

4、B 解析 航天器在环绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力供应向心力,依据万有引力定律Mm v 2 2 GM 4 2r 3 和匀速圆周运动学问得 G r 2m rmr 2mr T 2ma,解得 vr,TGM,GM GM r 3,ar 2,而“ 天宫一号的轨道半径比“ 神舟八号的轨道半径大,可知选项 B 正确. 三、宇宙速度 1.第一宇宙速度1第一宇宙速度又叫环绕速度,其数值为7.9 km/s. . . 2第一宇宙速度是人造卫星在地面邻近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度3第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度,也是人造卫星的最大环绕速度-.可修编 - . - - . 4第一宇宙速度的运算方法.

5、由 GMm v 2R 2m R得 vGM R；v 2由 mgm R得 vgR. 2.其次宇宙速度使物体摆脱地球引力束缚的最小发射速度,其数值为 11.2 km/s. 3.第三宇宙速度使物体摆脱太阳引力束缚的最小发射速度,其数值为16.7 km/s. 0.82 倍,金星外表的自测 3教材 P48 第 3 题金星的半径是地球的0.95 倍,质量为地球的自由落体加速度是多大？金星的“ 第一宇宙速度是多大？答案8.9 m/s27.3 km/s mgGMm R 2解析依据星体外表忽视自转影响,重力等于万有引力知故g金M金R地 R金 2g地M地28.9 m/s2金星外表的自由落体加速度g 金g 地 0.8

6、2 1 0.95 2 m/s由万有引力充当向心力知GMm R 2mv 2R得 vGMR所以v金 v地M金 M地R地 R金0.821 0.950.93 v 金0.93 7.9 km/s 7.3 km/s. 命题点一 开普勒三定律的懂得和应用1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理 . 2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动. k 值不同 .但该定-.可修编 - . 3.开普勒第三定律a 3T 2k 中,k 值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体律只能用在同一中心天体的两星体之间. - - 19如图 1,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,. 例 1多项挑选 2022 全国卷P

7、为近日点, Q为远日点, M、N 为轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0,假设只考虑海王星和太阳之间的相互作用,那么海王星在从 P 经过 M、Q 到 N 的运动过程中 图 1 A.从 P 到 M 所用的时间等于T0 4B.从 Q 到 N 阶段,机械能逐步变大C.从 P 到 Q 阶段,速率逐步变小D.从 M 到 N 阶段,万有引力对它先做负功后做正功答案 CD 1解析 由行星运动的对称性可知,从 P 经 M 到 Q 点的时间为 2T0,依据开普勒其次定律可知,1从 P 到 M 运动的速率大于从 M 到 Q 运动的速率,可知从 P 到 M 所用的时间小于 4T0,选项A 错误；海王星在运动过程中只

8、受太阳的引力作用,故机械能守恒,选项 B 错误；依据开普勒其次定律可知,从 P 到 Q 阶段, 速率逐步变小, 选项 C 正确； 海王星受到的万有引力指向太阳,从 M 到 N 阶段,万有引力对它先做负功后做正功,选项 D 正确 . 变式 1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,依据开普勒行星运动定律可知 A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D.一样时间,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积答案 C 解析 由开普勒第肯定律 轨道定律 可知,太阳位于木星运行轨道的一个焦点上,A 错误

9、.火星和木星绕太阳运行的轨道不同,运行速度的大小不行能始终相等,B 错误 .依据开普勒第三定律 周期定律 知全部行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数, C 正确 .对于某一个行星来说,其与太阳连线在一样的时间扫过的面积相等,不同行星在一样时间扫过的面积不相等,D 错误 . -.可修编 - . - - . 变式 2 多项挑选 如图 2 所示,近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆 .设卫星、月球绕地球运行周期分别为 T 卫、T 月,地球自转周期为 T 地,那么 图 2 A.T 卫T 月 C.T 卫 r同 r卫,由开普勒第三定律 T 2k,可知, T 月T 同 T 卫,

10、又同步卫星的周期 T 同T地,故有 T月 T地T卫,选项 A、C 正确 . 变式 3 如图 3 所示,一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动,A、B 是卫星运动的远地点和近地点.以下说法中正确的选项是 图 3 A.卫星在 A 点的角速度大于 B 点的角速度B.卫星在 A 点的加速度小于 B 点的加速度C.卫星由 A 运动到 B 过程中动能减小,势能增加D.卫星由 A 运动到 B 过程中引力做正功,机械能增大答案 B 解析 由开普勒其次定律知,卫星与地球的连线在相等的时间扫过的面积相等,故卫星在远地点转过的角度较小,由 t知,卫星在 A 点的角速度小于 B 点的角速度,选项 A 错误；mM设卫星的质量为

11、m,地球的质量为 M,卫星的轨道半径为 r,由万有引力定律得 G r 2ma,GM解得 ar 2,由此可知, r 越大,加速度越小,故卫星在 A 点的加速度小于 B 点的加速度,选项 B 正确；卫星由 A 运动到 B 的过程中,引力做正功,动能增加,势能减小,选项 C 错误；卫星由 A 运动到 B 的过程中,只有引力做功,机械能守恒,选项 D 错误 . 命题点二 万有引力定律的懂得- -.可修编 - . - . 1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个成效：一是重力mg,二是供应物体随地球自转的向心力 F 向. Mm1在赤道上： G R 2mg1m 2R. Mm2在两极上：

12、G R 2mg0. Mm3在一般位置：万有引力 G R 2等于重力 mg与向心力 F 向的矢量和 . 越靠近南、北两极,g 值越大,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近GMm似等于重力,即 R 2mg. 2.星球上空的重力加速度 gGmM GM星球上空距离星体中心 rRh 处的重力加速度为 g , mg Rh 2,得 g Rh 2.所g Rh 2以 gR2 . 3.万有引力的“ 两点懂得和“ 两个推论1两点懂得两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力. . 地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力2两个推论推论 1：在匀质球壳的空腔任意位置处,质点受到球壳的万有引力的

13、合力为零,即F 引0. 推论 2：在匀质球体部距离球心 r 处的质点 m受到的万有引力等于球体半径为 r 的同心球Mm体M对其的万有引力,即 FG r 2 . 例 2 如图 4 所示,有人设想通过“ 打穿地球从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷.如只考虑物体间的万有引力,那么从隧道口抛下一物体,物体的加速度 - -.可修编 - . - . 图 4 A.始终增大B.始终减小C.先增大后减小D.先减小后增大答案 D 解析 设地球的平均密度为 ,物体在隧道部离地心的距离为 r,那么物体 m 所受的万有引43r 3m4 F 4力 FGr 23Gmr,此处的重力加速度 am3Gr,应选项 D 正确

14、. 例 3 由中国科学院、中国工程院两院院士评出的 2022 年中国十大科技进展新闻,于 2022年 1 月 19 日揭晓,“ 神九载人飞船与“ 天宫一号胜利对接和“ 蛟龙号下潜突破 7 000米分别排在第一、其次 .假设地球半径为 R,把地球看做质量分布匀称的球体 .“ 蛟龙下潜深度为 d,“ 天宫一号轨道距离地面高度为 速度之比为 h,“ 蛟龙号所在处与“ 天宫一号所在处的加Rd Rd2 RdRh2 RdRhA.Rh B.Rh 2 C.R 3 D.R 2答案 C M解析 令地球的密度为 ,那么在地球外表,重力和地球的万有引力大小相等,有：gG R 2.4 GM G 43R 34由于地球的质

15、量为：M 3R 3,所以重力加速度的表达式可写成：gR 2R 23GR.依据题意有,质量分布匀称的球壳对壳物体的引力为零,故在深度为 d 的地球部,受到地球的万有引力即为半径等于Rd的球体在其外表产生的万有引力,故“ 蛟龙号的重力加速度 g 4 3GRd,所以有ggR d R.依据万有引力供应向心力GMm Rh 2ma,“ 天- -.可修编 - . - aGM Rh 2,所以a gR 22,ga. 宫一号的加速度为RdRh 2R 3,故 C 正确, A、B、DRh错误 . 变式 4 “ 神舟十一号飞船于 2022 年 10 月 17 日发射,对接“ 天宫二号.假设飞船质量为m,距地面高度为 h

16、,地球质量为 M,半径为 R,引力常量为 G,那么飞船所在处的重力加速度大小为 GM GMm GMA.0 B. Rh 2 C. Rh 2 D. h 2答案 B 命题点三 天体质量和密度的估算天体质量和密度常用的估算方法质 量 的 计 算密 度 的 计 算例 4使用方法量利用公式表达式备注r、T GMm 4 2r 2mr T 2M4 2r3GT2r、v GMm v 2r 2m rMrv2只能得到中心G利用运行天体v、T GMm v 2r 2m rMv 3T天体的质量GMm 4 2r 2 mr T 22G利 用天体 外表g、R mgGMmMgR 2重力加速度R 2GGMm 4 2r 2 mr T

17、23r 3利用近地卫星GT2R 3利用运行天体r、T、R M4 3 3R当 rR 时 32只需测出其运行周期GT利 用天体 外表g、R mgGMm R 23g重力加速度M4 3 3R4GR假设地球可视为质量匀称分布的球体.地球外表重力加速度在两极的大小为g0,在赤道- -.可修编 - . - . 的大小为 g,地球自转的周期为 T,引力常量为 G.地球的密度为 3g0g 3g0 3 3g0A.GT 2g0 B.GT 2g0g C.GT 2 D.GT 2g答案 B Mm 2 Mm解析 物体在地球的两极时,mg0G R 2,物体在赤道上时,mgm T 2RG R 2,又 M4 3g03R 3,联立

18、以上三式解得地球的密度 GT 2g0 g,应选项 B 正确,选项 A、C、D 错误 . 变式 5 观看“ 嫦娥三号在环月轨道上的运动,发觉每经过时间 t 通过的弧长为 l,该弧长对应的圆心角为 弧度 ,如图 5 所示 .引力常量为 G,“ 嫦娥三号的环月轨道可近似看成是圆轨道,由此可推导月球的质量为 图 5 l 3 l 3 l 3 lA.2 Gt 2 B. Gt 2 C. Gt 2 D. Gt 2答案 B l 解析“ 嫦娥三号在环月轨道上运动的线速度为：vt,角速度为 t；依据线速度和角v l速度的关系式： v r,可得其轨道半径 r；“ 嫦娥三号做匀速圆周运动,万有引力提GMm l 3供向心

19、力,r 2 mv,解得 MGt 2,应选 B. 变式 6 据报道, 天文学家新发觉了太阳系外的一颗行星 .这颗行星的体积是地球的 a倍,质量是地球的 b 倍.近地卫星绕地球运行的周期约为 T,引力常量为 G.那么该行星的平均密度为 A.3 GT2B.23b C. aGT 2D.3a2GM地m 4 2RR 2m T 2,且 地3M地 4R 3,联立得3TbGT答案C 解析万有引力供应近地卫星绕地球运行的向心力： 地3 GT 2.而星 地M星V地 V星M地b a,因而 星3b aGT 2. -.可修编 - . - - 相关方程结论. 命题点四卫星运行参量的分析卫星运行参量线速度 v Mm v 2G

20、 r 2m r. vGM.与r角速度 GMm r 2m 2r. GMr 越大, v、a 越小, T 越大r 3周期 T GMm r 2m22r. T2r3TGM向心加速度a GMm r 2ma. aGMr2例 5 多项挑选 “ 天舟一号货运飞船于2022 年 4 月 20 日在航天发射中心胜利发射升空“ 天宫二号空间试验室对接前,“ 天舟一号在距地面约380 km 的圆轨道上飞行,那么其 A.角速度小于地球自转角速度B.线速度小于第一宇宙速度C.周期小于地球自转周期 D.向心加速度小于地面的重力加速度答案 BCD Mm v 2 4 2解析 依据万有引力供应向心力得,G Rh 2 mRh 2m

21、R hmRh T 2ma,解得,GM GM 4 2Rh 3 GMvRh,Rh 3,TGM,aRh 2,由题意可知, “ 天舟一号的离地高度小于同步卫星的离地高度,那么“ 天舟一号的角速度大于同步卫星的角速度,也大于地球的自转角速度, “ 天舟一号的周期小于地球的自转周期,选项 A 错误, C 正确；GM由第一宇宙速度为 R可知,“ 天舟一号的线速度小于第一宇宙速度,选项 B 正确；由GM地面的重力加速度 gR 2可知,“ 天舟一号的向心加速度小于地面的重力加速度,选项 D正确 . 变式 7 2022 全国卷142022 年 4 月,我国胜利发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间试验室完成了首次交

22、会对接,对接形成的组合体仍沿天宫二号原先的轨道 可视为圆轨道 运行 .与天宫二号单独运行时相比,组合体运行的 - -.可修编 - . - . A.周期变大 B.速率变大C.动能变大 D.向心加速度变大答案 C 变式 8 2022 二模 2022 年 10 月 19 日凌晨,神舟十一号飞船与天宫二号对接胜利,如图 6.两者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道,运行周期为 T,地球半径为 R,对接体距地面的高度为 kR,地球外表的重力加速度为 g,引力常量为 G,以下说确的是 图 6 A.对接后,飞船的线速度大小为2kR2TB.对接后,飞船的加速度大小为g1kC.地球的密度为31k 2GT2D.

23、对接前,飞船通过自身减速使轨道半径变大靠近天宫二号实现对接答案 B 解析 对接前, 飞船通过自身加速使轨道半径变大从而靠近天宫二号实现对接,D 错误 .对接2k1R GMm后,飞船的轨道半径为 kRR,线速度大小 vT,A 错误 .由k12R 2ma及 GMgR 2 得 a1k g2,B 正确 .由 k1 GMm2R 2 m 2T 2k1R 及 M43R 3 得地球的密度 31k3GT 2,C 错误 . 1.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程,以下说确的是 A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律B.开普勒指出,地球绕太阳运动是由于受到来自太阳的引力C.牛顿通过比拟月球公转的向

24、心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度,对万有- -.可修编 - . - . 引力定律进展了“ 月地检验D.卡文迪许在试验室里通过几个铅球之间万有引力的测量,得出了引力常量的数值 答案 D 2.关于环绕地球运行的卫星,以下说确的是 A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星,不行能具有一样的周期 B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星,在轨道不同位置可能具有一样的速率 C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星,它们的轨道半径有可能不同 D.沿不同轨道经过上空的两颗卫星,它们的轨道平面肯定会重合答案B A 错误；沿椭圆解析分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星,可能具有一样的周期,故轨道运行的一颗卫星,在

25、轨道对称的不同位置具有一样的速率,B 正确；依据万有引力供应向心力,列出等式GMm 4 2Rh 2m T 2Rh,其中 R 为地球半径, h 为同步卫星离地面的高度,由于同步卫星的周期必需与地球自转周期一样,所以T 为肯定值,依据上面等式得出：同步卫星离地面的高度 h 也为肯定值,故 C 错误；沿不同轨道经过上空的两颗卫星,它们的轨道平面不肯定重合,故 D 错误 . 3.组成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转 .假如某质量分布匀称的星球自转周期为 T,万有引力常量为 G,为使该星球不至于瓦解,该星球的密度至少是 4 3 2 A. GT 2 B. GT 2 C. GT 2 D. GT 2答案

26、B Mm 4 2M解析 依据万有引力供应向心力有：G R 2m T 2R,依据密度公式有：4 3,联立可得密3R3度为 GT 2,B 正确 . 4.2022 模拟 北斗卫星导航系统 BDS是中国自行研制的全球卫星导航系统,该系统由 35 颗卫星组成,卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道.其中,同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5 倍,那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为 -.可修编 - . 12C.33D.32A.32B.3322222答案C - - . 解析 开普勒第三定律同样适用于卫星与行星间的运动关系,当轨道为圆轨道时,公式中的3r同 3 r中 3 T同 3 2a为半径 r

27、,那么有 T同 2T中 2,得 T中2 . 5.多项挑选 2022 年中俄联合实施探测火星方案,由中国负责研制的 “ 萤火一号火星探测器与俄罗斯研制的 “ 福布斯土壤火星探测器一起由俄罗斯“ 天顶运载火箭发射前往火星.火星的质量约为地球质量的1 9,火星的半径约为地球半径的1 2.以下关于火星探测器的说法中正确的选项是 A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B.发射速度只有到达第三宇宙速度才可以 C.发射速度应大于其次宇宙速度而小于第三宇宙速度D.火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的2M地 9,R 火R地 2,3答案CD C 正确； M 火解析依据三个宇宙速度的意义,可知选项A

28、、B 错误,选项那么v火 v地GM火 R火GM地 R地2 3,选项 D 正确 . 6.过去几千年来,人类对行星的熟悉与讨论仅限于太阳系,行星“51 peg b的发觉拉开了研究太阳系外行星的序幕 .“ 51 peg b绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为 4 天,轨道半1径约为地球绕太阳运动半径的 20,该中心恒星与太阳的质量比约为 1A. 10 B.1 C.5 D.10 答案 B Mm 4 2 4 2r 3解析 依据万有引力供应向心力,有 G r 2 m T 2r,可得 MGT 2,所以恒星质量与太阳质M恒 r行 3T地 2 1 365量之比为 M太r地 3T行 2 20 3 4 21,应选项

29、 B 正确 . 7.2022 质检 长期以来“ 卡戎星Charon被认为是冥王星唯独的卫星,它的公转轨道半径r119 600 km,公转周期 T16.39 天.2022 年 3 月,天文学家新发觉两颗冥王星的小卫星,其- -.可修编 - . - . A、C、中一颗的公转轨道半径r2 48 000 km,那么它的公转周期T2最接近于 A.15 天B.25 天C.35 天D.45 天答案B 解析依据开普勒第三定律得r 31T 1r 32T 2,所以 T2r 3 2 1T1 25 天,选项 B 正确,选项rD 错误 . 8.卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道半径为 r,运动周期为 T,地球半径为 R,

30、引力常量为 G,以下说法中正确的选项是 4 2R 3 2R A.卫星的线速度大小为 vTB.地球的质量为 MGT 23 4 2r 3 C.地球的平均密度为 GT 2D.地球外表重力加速度大小为 gT 2R 2答案 D 9.地球的公转轨道接近圆,但彗星的运行轨道那么是一个特别扁的椭圆,如图 1.天文学家哈 雷曾经在 1682 年跟踪过一颗彗星,他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的 18 倍,并预言这颗彗星将每隔肯定时间就会显现 .哈雷的预言得到证明,该彗星被命名为哈雷彗星 .哈雷彗星最近显现的时间是 1986 年,它下次将在哪一年飞近地球 图 1 A.2042 年B.2052年2T

31、地,又 T 地 C.2062年D.2072 年答案C 解析依据开普勒第三定律a 3T 2k,可得r彗 3T彗 2r地 3T地 2,且 r 彗18r 地,得 T 彗541 年,所以 T 彗542年 76 年,应选 C. 10.2022 理综17利用引力常量G 和以下某一组数据,不能运算出地球质量的是A.地球的半径及重力加速度不考虑地球自转 B.人造卫星在地面邻近绕地球做圆周运动的速度及周期 C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离- -.可修编 - . - . 答案 D GM地m解析 不考虑地球的自转,地球外表物体受到的万有引力等于重力,即R 2mg,得 M 地gR 2 GM地m卫 v 2 2RG,所以依据 A 中给出的条件可求出地球的质量；依据 R 2m 卫 R和 Tv,得 M 地v 3T GM地m月 4 2 4 2r 32G,所以依据 B 中给出的条件可求出地球的质量；依据r 2m 月 T 2r,得 M 地GT 2,G