《高等代数》第七章习题及答案

1、习题7.11.设V是实数域R上所有的无穷数列所组成的集合，即V=(a1,a2,a3,.)| aiRi,i=1,2,3,在V中定义加法和数量乘积如下：(a1,a2,a3,.)+(b1,b2,b3,.)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3,.)k(a1,a2,a3,.)=(ka1,ka2,ka3,)证明：V是R上的一个线性空间证 1）根据定义，显然有(a1,a2,a3,.)+(b1,b2,b3,.)=(b1,b2,b3,.)+(a1,a2,a3,.)2)(a1,a2,a3,.)+(b1,b2,b3,.)+(c1,c2,c3,.)=(a1,a2,a3,.)+(b1,b2,b3,.)+ (c1,c2

2、,c3,.)3) (0,0,0,.)+(a1,a2,a3,.)=(a1,a2,a3,.)4) (a1,a2,a3,.)+(-a1,-a2,-a3,.)=(0,0,0,.)5)1(a1,a2,a3,.)=(a1,a2,a3,.)6)对于任意实数k,l,=(a1,a2,a3,.)，有(kl)=k(l)=l(k)7) k(a1,a2,a3,.)+(b1,b2,b3,.)=k(a1,a2,a3,.)+k(b1,b2,b3,.)8)(k+l)(a1,a2,a3,.)= k(a1,a2,a3,.)+l(a1,a2,a3,.)所以V是R上的一个线性空间2.设V是全体定义域为实数域的实函数所组成的集合证明：关

3、于函数的加法和数量乘积，V作成R上的线性空间注：设S是一个集合，F是数域，V是定义域为S，值在F中的函数所构成的集合，则关于函数的加法和数量乘积，V作成R上的线性空间证 设f(x),g(x),h(x)是任意3个定义域为实数域的实函数,k,l是任意实数显然f(x)+g(x)， kf(x)均是定义域为实数域的实函数；f(x),g(x),h(x)关于加法满足交换律和结合律；存在0函数，使0+ f(x)= f(x)；对于f(x)，存在-f(x)，使f(x)+- f(x)=0(kl)f(x)=kl f(x)=lk f(x);(k+l) f(x)=k f(x)+l f(x);Kf(x)+g(x)=k f(

4、x)+kg(x)所以，V作成R上的线性空间3.设V是全体实数的二元数列所构成的集合证明：V对于下面定义的运算：(a,b)(c,d)=(a+c,b+d+ac)k(a,b)=(ka,kb+)是实数域上的一个线性空间注：为了与通常的加法与数量乘积区别，我们分别用“”与来代表特别定义的加法与数量乘积，下同证 1) 按照定义显然(a,b)(c,d)= (c,d)(a,b);2) (a,b)(c,d)(e,f)= (a+c,b+d+ac)(e,f)=(a+c+e,b+d+ac+f+ae+ce)= (a,b)(c,d)(e,f)；3) (0,0)是零向量，(0,0)(a,b)=(a,b)；4) 对于(a,b

5、)，(-a,a2-b)是它的负元, (a,b)(-a,a2-b)=(0,0)；5)1(a,b)=(1a,1b+0)=(a,b)6)(kl)(a,b)=(kla,klb+)kl(a,b)= k(la,lb+)=(kla,klb+) =(kla,klb)=(kla,klb)= lk(a,b)7) k(a,b)(c,d)= k(a+c,b+d+ac)=(k(a+c),k(b+d+ac)+)=(ka+kc,kb+kd+kac+)k(a,b)k(c,d)= (ka,kb+) (kc,kd+)=(ka+kc, kb+ kd+k2ac)=(ka+kc, kb+kd+kac+)= k(a,b) (c,d) 8

6、) (k+l)(a,b)= (k+l)a,(k+l)b+) k(a,b)l(a,b)= (ka,kb+)(la,lb+)=(k+l)a,(k+l)b+ kla2)= (k+l)(a,b)所以V是实数域上的一个线性空间4.设V是全体正实数所构成的集合证明：V对于下面定义的运算：ab=abka=ak是实数域上的一个线性空间证 1）显然V关于定义的运算满足ab= ba2) (ab)c= a(bc)3)对于正实数1，相当于零向量，因为a1=1a=a4)对于任意正实数a,记b=，则b也是正实数，且ab=ab=15) 1a=a1=a6) (kl)a= akl,k(la)=kal= akl l=l(ka)7

7、) (k+l)a= a(k+l) a= ak al =(ka) (la)8) k(ab)= k(ab)=(ab)k=akbk=(ka)( kb)所以V是实数域上的一个线性空间5.设V=(a,b)|a,bF，现在取加法为通常的加法，而数量乘积定义为k(a,b)=(a,kb)证明：V关于加法和数量乘积，不是F上的线性空间（提示：考虑公理）证 因为(k+l)(a,b)=(a,(k+l)b),而k(a,b)+l(a,b)=(2a,kb+lb)(k+l)(a,b)所以V关于加法和数量乘积，不是F上的线性空间6.(a,b,a+b)|a,bF是不是F3的子空间？为什么？(1,a,3a)|aF是不是F3的子空

8、间？为什么？设l是平面上的一条不经过原点的直线始点在原点、终点在l上的平面向量全体所构成的集合是不是平面的子空间？为什么？全体F上的nn上三角形矩阵所构成的集合，是不是Matnn(F)的子空间？为什么？全体F上的主对角线元素之和为零的nn矩阵全体所构成的集合，是不是Matnn(F)的子空间？为什么？f(3)=0|f(x)Fxn是不是Fxn的子空间？为什么？设Fn，A|AMatnn(F)是不是Fn的子空间？为什么？设a,bR，并且ab，全体在区间a,b连续实函数所构成的集合，关于函数的加法和数量乘积是不是在第2题的注中，取S=a,b，F=R时的V的一个子空间？为什么？（注：把“连续”改成“可积”

9、结论是一样的）|A|=0|AMatnn(F)是不是Matnn(F)的子空间？为什么？证 记S=|A|=0|AMatnn(F)，则(a,b,a+b)+(c,d,c+d)= (a+c,b+d,a+b+c+d)仍属于所给集合S；k(a,b,a+b)= (ka,kb,ka+kb)也属于所给集合S所以S是Matnn(F)的子空间记S=(1,a,3a)|aF，则(1,a,3a)+(1,b,3b)= (2,a+b,3a+3b)不属于所给集合S，所以S不是F3的子空间因为l是平面上的一条不经过原点的直线，根据向量加法，始点在原点、终点在l上的任意两个不相等的向量之和已不再是始点在原点、终点在l上的向量，所以所

10、给集合不是平面的子空间设有任意nn上三角形矩阵A,B可写成A=，B=A+B=仍是上三角形矩阵；kA=也是上三角形矩阵所以全体nn上三角形矩阵是Matnn(F)的子空间是子空间因为任意两个主对角线元素之和为零的nn矩阵之和其主对角线元素之和仍为零；F中的任意数k乘一个主对角线元素之和为零的nn矩阵，得到的nn矩阵主对角线元素之和也为零记S=f(3)=0|f(x)Fxn，则对于S中任意两个多项式f(x),g(x),有f(3)=0，g(3)=0，从而f(3)+g(3)=0，说明f(x)+g(x)S；设k是F中任一数，则kf(3)=0，所以kf(x)也属于S故S是Fxn的子空间记S=A|AMatnn(

11、F)，对于任意 A1，A2S，有A1+A2=A(1+2)S，k(A1)=A(k1)S，所以S是Fn的子空间 任意两个a,b上连续的实函数之和仍为a,b上连续的实函数，一个实数乘一个a,b上连续的实函数也是a,b上连续的实函数，所以a,b上连续的实函数的全体是V的一个子空间 不是例如和的行列式为零，但+=的行列式不为零7.证明：线性空间的两个子空间之交是子空间例7.1.2和中的W1和W2之并是不是Matnn(F)的子空间？为什么？证 设 V1和V2是线性空间V的两个子空间，则对于任意,V1V2，有+V1，kV1，+V2，kV2，从而+V1V2，kV1V2，所以V1V2也是V的子空间又例7.1.2

12、和中的W1和W2之并不是Matnn(F)的子空例如当n=2时，A=是对称矩阵，B=是反对称矩阵，但A+B既不是对称矩阵，也不是反对称矩阵，W1W2满足加法封闭性8.设E11=，E12=，E21=，E12=证明：E11,E12,E21,E12线性无关证 设有数k1, k2, k3, k4,使k1 1+k22+k33+k44=0得 =即有 k1=k2=k3=k4=0，所以E11,E12,E21,E12线性无关9.设A1=，A2=，A3=，证明：任何22实对称矩阵都能由A1，A2，A3线性表出证 对于任一实对称矩阵A=，显然A=a+b+c所以任何22实对称矩阵能由A1，A2，A3线性表出10.证明：

13、任何4个22对称矩阵必定线性相关（提示：利用上题）证 数域F上的所有22对称矩阵构成Mat22(F)的子空间，设该子空间为S，则A1=，A2=，A3=是S的一个基，说明dim(S)=3，所以任意4个22对称矩阵必定线性相关11.在第2题的V中，证明：sin(x),cos(x),ex, e-x线性无关提示：设k1sin(x)+ k2cos(x)+ k3ex +k4e-x =0,其中0是零函数，在这个式子中，依次令x=0,x=，x=2来推出k2= k3= k4=0证 设k1sin(x)+ k2cos(x)+ k3ex +k4e-x =0,其中0是零函数，在这个式子中，依次令x=0,x=，x=2，得

14、解上述线性方程组得k2= k3= k4=0，从而k1sin(x)+ k2cos(x)+ k3ex +k4e-x =0就是k1sin(x)=0再取x=/2,得k1=0总之得sin(x),cos(x),ex, e-x线性无关12.设Wj都是V的子空间，并且W0=0，Wj-1Wj设jWj- Wj-1，j=1,2,s证明：1, 2, s线性无关证 设有k11+ k22+kss=0,移项得kss= -k11- k22-kss,上式右端每一项都属于Ws-1，所以kss属于Ws-1，若ks0，则s属于Ws-1，矛盾故ks=0从而k11+ k22+kss=0就是k11+ k22+ks-1s-1=0类似的，可以

15、证明ks-1=0，ks-2=0，k1=0所以1, 2, s线性无关习题7.21.求g(x)=x2-3x+1在基(x-2)2,(x+2),3下的坐标解 设g(x)=x2-3x+1在基(x-2)2,(x+2),3下的坐标为，即有x2-3x+1=k1(x-2)2+ k2(x+2)+3k3将右边整理，并比较x的同次幂的系数得解线性方程组得k1=1，k1=1，k3=-5，所以=2.求矩阵A=在基，下的坐标解 因为=3-5+0+2所以A在给定基下的坐标为2.求维数是3的线性空间上由基1, 2,3到基1, 52,3的过渡矩阵解 因为(1, 52,3)=(1,2,3),所以1, 2,3到基1, 52,3的过渡

16、矩阵为4.在F3中，求由基()到基()的过渡矩阵，并且求=51-2+23在()下的坐标()：()：)：()：解 1=1+3-12=1+4-23=-3-5+0()到基()的过渡矩阵A=设=51-2+23在()下的坐标为K,在()下的坐标为L，则L=由 = (1, 2, 3)K=(1,2,3)AK所以 L= AK即 =左右同时做行的初等变换得=继续行的初等变换得=进一步有 =继续得 =即=51-2+23在()下的坐标为K=设基()到基()的过渡矩阵为A，则有(1, 2, 3)=(1,2,3)A即=两边做行的初等变换得由此得A=为求坐标=51-2+23在()下的坐标为K，解方程=增广矩阵B=所以=5

17、. 设(),(), ()是线性空间V的三个基如果从()到()的过渡矩阵是A，从()到()的过渡矩阵是B，求从()到()的过渡矩阵解 设V的维数为n，三个基(),(), ()分别为()：1,2,.,n，()：1, 2, .,n，():1, 2, .,n，则有(1, 2, .,n)=(1,2,.,n)A(1, 2, .,n)=(1, 2, .,n)B=( 1,2,.,n)AB所以从()到()的过渡矩阵为AB6.证明定理7.2.2定理的描述：设()：1,2,.,n是线性空间V的一个基，()：1, 2, .,n是由n个向量组成的V的向量组，并且(1,2,.,n)A=(1, 2, .,n)则()是V的一

18、个基的充分必要条件是A是可逆的这时，A是从()到()的过渡矩阵证 先证必要性若()：1, 2, .,n是V的一个基，从所给的表示式及过渡矩阵的定义便知A是从()到()的过渡矩阵记A的列向量组为P1, P2,., Pn则由(1,2,.,n)A=(1, 2, .,n)知 j= (1,2,.,n)Pj用反证法，假设A不可逆，则P1, P2,., Pn线性相关，即存在不全为零的数k1, k2,., kn使k1P1+k2P2+.+knPn=0从而 k11+k22+.+knn=(1,2,.,n)(k1P1+k2P2+.+knPn)=0说明1, 2, .,n线性相关，这与1, 2, .,n是V的一个基相矛盾

19、所以A可逆再证充分性设A可逆，对(1,2,.,n)A=(1, 2, .,n)两边左乘A的逆阵A-1，得(1,2,.,n)=(1, 2, .,n) A-1这说明()可由()线性表出，从而nrank(1, 2, .,n)rank(1,2,.,n)=n所以()，它也是V的一个基7*.设V是一个线性空间，切dim(V)=4，取定V的一个基()（所有的坐标都是关于这个基下的坐标）注意到：一个向量（关于基()）的坐标是一个4维向量（即F4的元素）证明：一个向量组的线性组合的坐标等于坐标的线性组合，并且组合的系数相同一个向量组线性相关的充分必要条件是它们的坐标线性相关一个向量组是V的一个基的充分必要条件是它

20、们的坐标是F4的一个基（上述结论对一般的有限维非零线性空间都成立本题说明坐标很好的反映了向量的性质）证 设()：1, 2, 3,4是V的一个基，向量, 1, 2, ., sV，且有数k1,k2,.,ks使= 11+22.+ ss并设1, 2, ., s在基()下的坐标分别为1=，2=，s=，则= 11+22.+ ss=1(1, 2, 3,4)1+2(1, 2, 3,4)2+s(1, 2, 3,4)s=(1, 2, 3,4)( 11+22+.+1s)1, 2, ., s的线性组合的坐标等于坐标的线性组合11+22+.+1s从的证明过程中看到存在不全为零的数1,2,.,s使11+22.+ ss=0

21、的充分必要条件是11+22+.+1s=0，所以一个向量组线性相关的充分必要条件是它们的坐标线性相关 沿用的证明过程中的记号，若1, 2, 3, 4是V的一个基，则它们对应的坐标1,2,3,4线性无关，从而是F4的一个基；反过来若1,2,3,4线性无关，则1, 2, 3, 4也线性无关，是V的一个基习题7.31.设AMatnn(F)，V1=Fn|A=3，V2=Fn|A=2，证明：V1+ V2是直和证 对于任意V1V2，由V1得A=3由V2得A=2从而 3=2故 =0说明V1+ V1是直和2.设V1=Span(1, 2), V2=Span(1, 2),求下列各题中的dim(V1+ V2)与dim(

22、V1V2) 1=(1,2,1,0), 2=(-1,1,1,1)1=(2,-1,0,1), 2=(1,-1,3,7) 1=(1,1,0,0), 2=(1,0,1,1)1=(0,0,1,1), 2=(0,1,1,0)解 因为=所以rank(1, 2)=2, V1=dim(Span(1, 2)=2又=所以rank(1, 2)=2, V2=dim(Span(1, 2)=2又因为=所以rank(1, 2, 1, 2)=3, dim(V1+ V2)=dim(Span(1, 2, 1, 2)=3从而 dim(V1V2)= dim(V1)+dim(V2)-dim(V1+ V2)=4-3=1因为=所以rank(

23、1, 2)=2, dim(V1)=dim(Span(1, 2)=2又=rank(1, 2)=2, dim(V2)=dim(Span(1, 2)=2又因为=所以rank(1, 2, 1, 2)=4, dim(V1+ V2)=dim(Span(1, 2, 1, 2)=4从而 dim(V1V2)= dim(V1)+dim(V2)-dim(V1+ V2)=4-4=03.设1，2，s，s+1，., s+t，是线性空间V的元素，证明：t+rank(1，2，s)rank(1，2，s，s+1，., s+t)证 记V1= Span(1，2，s) ，V2 = Span(s+1，., s+t),则V1+V2=Spa

24、n(1，2，s，s+1，., s+t)因为dim(V1+ V2)= dim(V1)+dim(V2) -dim(V1V2)dim(V1)+dim(V2)dim(V1)+t所以rank(1，2，s，s+1，., s+t)dim(V1)+t= t+rank(1，2，s)4.证明定理7.3.7的其余结论定理的描述：设V是F上的线性空间，Vj是V的子空间，j=1,2,s,则下述结论等价：和U=V1+V2+Vs是直和；如果1+2+.+s=0,其中jVj，则j=0，j=1,2,s；设() j是Vj的一个基，j=1,2,s，则有：当jh时，都有() j与() h没有公共元素，并且()1()2() s是U的一个

25、基;dim(V1+V2+Vs)=dim(V1)+ dim(V2)+ dim(Vs);对任意t，=0证 教材上证了与等价，现证明与等价：对s用数学归纳法，当s=2时，根据两个子空间的情形，已知结论成立；假设当s=k时结论成立，即V1+V2+Vk是直和的充分必要条件是Vj 的基() j合并为()1()2() k是V1+V2+Vk的一个基;则当s=k+1时，由定义知V1+V2+Vs是直和的充分必要条件是(V1+V2+Vk) 是直和并且(V1+V2+Vk)+Vk+1是直和，由归纳法假设，(V1+V2+Vk) 是直和的充分必要条件是()1()2()k是V1+V2+Vk的一个基，又从两个子空间的直和知(V

26、1+V2+Vk)+Vk+1是直和的充分必要条件是()1()2() k () k+1是(V1+V2+Vk)+Vk+1的一个基与等价的证明，也可利用两个的情况逐步证明可证与等价：由，用反证法假设如果1+2+.+s=0,其中jVj，则j=0，j=1,2,s而存在t使0，即存在0，使，即可写成=t=1+2+t-1+t+1+s,其中jVj，j=1,2,j-1,j+1,s;tVt，且t0，从而有t-1-2-t-1-t+1+-s=0，其中-jVj，tVt，这与矛盾所以成立由，还是用反证法假设存在1,2,.,s不全为0,使1+2+.+s=0,其中jVj，j=1,2,s；记1,2,.,s中不为零的任一个记为t，

27、则有t=1-2-t-1-t+1-s由此知 tVt，且t，即t与矛盾说明成立5.设Wj=A=(0,0,j,0,0)Matnn(F) |jFm,j=1,2,n证明：W1+W2+Wn是直和证 令，则() j:，是Wj的一个基，j=1,2,n;显然() 1()2()n是W1+W2+Wn的一个基，所以W1+W2+Wn是直和6*.设AMatnn(F)，并且rank(A)n,设 W=BMatn3(F)|AB=0n3证明：W是Matn3(F)的子空间求dim(W)（提示：利用上题的想法）证 记A=，B=令AB=B的每一列都是齐次线性方程组AX=0的一个解，而AX=0的解空间的维数为 n-rank(A)记W1=(1,0,0)Matn3(F) |1Fn, W2=(0,2,0)Matn3(F) |2Fn, W3=(0,0,3)Matn3(F) |3Fn则因为j|jFn ，Aj X=0是Fn的子空间，所以Wj是Matn3(F)的子空间，dim(W