求解几何体外接球问题的关键是什么教案

1、 “求解几何体外接球问题的关键是什么”教案一、教学目标1知识与技能：掌握找几何体外接球球心的三种方法，从而解决一类与外接球有关的组合体问题2过程与方法：先寻找到部分顶点距离相等的点，再找到所有顶点距离相等的点（即球心），体现从部分到整体的转化思想方法情感态度与价值观：理解从部分到整体的转化关系，从而激发学生学习立体几何的兴趣和积极性二、教学过程师：同学们，什么是外接球问题呢？我们来看一个三棱锥的外接球（几何画板演示），显然三棱锥的四个顶点都在球面上，这时，我们就说这个球是三棱锥的外接球，这个三棱锥是球的内接三棱锥根据这一位置关系，我们不难得到外接球问题的性质：外接球球心到各个顶点的距离均相等所

2、以，解决几何体外接球问题的关键是确定外接球球心的位置下面老师介绍三种找几何体外接球球心的方法，请往下看例题找法一利用直角三角形斜边的中点找球心【例1】如图1,在四边形ABCD中，AB=BC二CD=1,AB_BD,BC_CD，将LABD沿BD折起，使得平面ABD_平面BCD,则该几何体的外接球的表面积等于（）DA.3二B.6二CD.2二21，得AB_平面BCD，图ABD_平面BCD，且AB_BD3:【思路分析】由已知条件平面.AB_CD，又；BC_CDCD_平面ABC，从而CD_ACLACD是直角三角形，又：ABBD，那么AD是RABD和RtACD的公共斜边，则AD的中点0到A、B、C、D四点距

3、离相等，所以球心就是O点解：如图1,在四面体A-BCD中，.平面ABD_平面BCD,AB_BD,二AB_平面BCD,ABCD，又：BC_CD,.CD_平面ABC，从而CD_AC,.LACD是直角三角形，又：AB_BD,.AD是RtABD和RtLACD的公共斜边，取斜边AD的中点O，连结OB,OC，则OA=OB=OC=OD,四面体A-BCD的外接球球心即为O,TOC o 1-5 h zJ32v/32外接球的半径R=OAAD,S球二4R=4二（）=3二，二选（A）22【解后归纳】（1）如果一个几何体的侧面中有直角三角形，那么到该直角三角形三个顶点的距离相等的点一定是斜边的中点，在此基础上再寻找到其

4、它顶点距离也相等的点（球心）；（2）解题时先观察这个几何体的侧面中有没有直角三角形【例2】一个几何体的三视图如图2所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外TOC o 1-5 h z接球的表面积为（）8二16?.图2侧视图图3【思路分析】由三视图可知，在直观图中底面BCD是直角三角形，侧面ABD是正三角形, HYPERLINK l bookmark6 o Current Document A.B.C.43D.2333且平面ABD_平面BCD，所以斜边BD的中点01到B、C、D三点的距离相等，又/AOi丄平面BCD,所以球心0定在直线A0上，再在RLIBOQ中，由勾股定理求出外接球的半径R

5、.解：由三视图作出原几何体是三棱锥A-BCD，如图3所示.由三视图知，平面ABD_平面BCD，取BD的中点01，连结A01,CQ,V_ABD是边长为2的正三角形，LBCD是等腰直角三角形，且BC二CD=、2,/BCD90,二A01_平面BCD，则球心0在直线AO1上，连结B0，设外接球的半径为R，在RtBOO1中，：B02二B0,200：,二R2=12（,3-R）2，解得R二亘，S求二4-R2=4二纟二空，二选（B）.TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 33【解后归纳】（1）如果几何体有一个侧面是直角三角形，那么外接球

6、的球心一定在过直角三角形斜边的中点且与该直角三角形所在平面垂直的直线上；（2）设出球心0后，在直角三角形中由勾股定理可求得外接球的半径R.找法二利用多边形的外心找球心【例3】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为表面积为（）2721122A.二aB.二aC.二aD.5二a图4a, HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 33【思路分析】由题意知这是一个直三棱柱，且上、下底面都是正三角形，那么球心0定在连接上、下底面中心（即外心）0和02的直线0i02的中点处，再在RtAOOl中，由勾股定理求出外接球半径.解：如图4,设正三角形ABC和ABiCi的中

7、心（即外心）分别为0i和02，连结O1O2，0A,01A，取QO2的中点0,则0到三棱柱ABA1B1C1各顶点的距离都相等，球心就是0,TOC o 1-5 h z_、21在RtA001中，外接球半径R=0A二.0012A012a,6-S球=4二r2=4a?=二a?,选（B）.123【解后归纳】（1）因为外心到三角形三个顶点的距离相等，所以球心一定在过三角形ABC外心。1且垂直于平面ABC的直线O1O2上，这是利用多边形的外心找球心；（2）这里的多边形可以是三角形也可以是四边形【例4】直三棱柱ABCABG的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,NBAC=120:则此球的表面积等于.【思路

8、分析】由题意知这是一个直三棱柱，且上、下底面都是钝角三角形，那么球心O定在连接上、下底面外心O1和02的直线O1O2的中点处，先用正弦定理求出LABC的外接圆半图5径，再在rLaoo.|中，由勾股定理求出外接球半径解：如图5,设三角形ABC和ABG的外心分别为01和02,连结0。2,0A,O1A，取O1O2的中点0,则0到直三棱柱ABC-ABQ各顶点的距离都相等，.球心即为0,由余弦定理，TBC2二AB2AC2-2ABACcosBAC=12,BC=2.3，设LABC外接圆的BC1半径为r，则由正弦定理，；2r4,r=2，在rLA00中，外接球的半sinNBAC径R二A0二，A01200j,5,

9、S求二4R2二4二（、,5）2二20二.【解后归纳】（1）本题找球心的方法与例3相似，但因为本题上、下底面都是钝角三角形，所以外心在三角形的外面，这一点有所不同；（2）在求底面三角形外接圆半径的时候可能要用到正弦定理或余弦定理找法三利用正方体或长方体的中心找球心【例5】已知正三棱锥P_ABC，点P,A,B,C都在半径为.3的球面上，若PA,PB,PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为.【思路分析】由已知条件可知，正三棱锥P-ABC恰好是正方体的一个角，所以可以把它补成一个正方体，此时正三棱锥P-ABC的外接球与正方体的外接球相同，所以外接球的球心刚好是正方体的中心解：把正三棱锥补成正方体

10、，如图6，则球心O就是正方体的中心，正方体的体对角线丨等于球的直径，I=2、3，又平面ABC把正方体的体对角线三等分，设球的半径为R，则球心O到截面ABC的距离d二R_|工丄丨-丄|二丄I二二.32363【解后归纳】（1）凡是能补成正方体的几何体都可以用这种方法找球心，球心为正方体体对角线的中点；（2）求解本题还要知道平面ABC把正方体的体对角线三等分.【例6】（课本习题改编）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=aAC=BD=b,AD=BC=c，则该三棱锥的外接球的表面积为D【思路分析】对棱长相等的四面体可以补成一个长方体，如图7,此时三棱锥A-BCD的外接球与长方体的外接球相同，所以外接球的球

11、心刚好是长方体的中心.解：把三棱锥A-BCD补成长方体，如图7,则球心O就是长方体的中心设长方体的长、宽、高分别x,y,z,球半径为R，则x2y2=a2,x2zb2,y2zc2,x2y2z2-，设长方体的体对角线长为2a2b2cI，则I2=x2y2ab-,V2R=l,.(2R)22a2b2c222a2b2c22.22S球=4:r2=4：a-c3二（a2b2C2）.【解后归纳】（1）凡是能补成长方体的几何体都可以用这种方法找球心，球心为长方体体对角线的中点；（2）求解本题还要知道长方体的体对角线长公式三、本讲总结求解外接球问题的关键：找球心！找外接球球心的方法：（1）利用直角三角形斜边的中点找球心；（有直角三角形时）（2）利用多边形的外心找球心；（多边形可