人教版高中数学高考一轮复习-　利用导数研究函数的极值、最值

1、课标要求1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.3.体会导数与函数的单调性、极值、最大(小)值的关系.备考指导函数的极值和最值是高考必考内容,一般以函数的单调性为工具,进一步探究函数的极值或最值.涉及取值范围、最值,恒成立或存在性问题、证明问题,大多可转化为函数的最值或极值问题来解决.主要考查数学运算和逻辑推理的数学素养.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】 1.函数的极值(1)定义温馨提示1.函数的

2、极值是一个局部概念,是某个点的函数值与它附近的函数值相比较是最大的或是最小的,因而端点不是函数的极值点.2.函数在定义域的某个区间内极大值或极小值不一定唯一,也可能不存在,并且函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系.3.函数的极值点处的导数为0,但导数为零的点可能不是函数的极值点.4.若函数f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在区间(a,b)内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.(2)求可导函数极值的步骤如下:确定函数f(x)的定义域,并求f(x);求方程 f(x)=0 的根;检查方程 f(x)=0 的根是否在定义域内,若在,则看根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负

3、,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.2.函数的最值(1)一般地,如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.函数的最值必在极值点或区间端点处取得.(2)一般地,求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤如下:求函数f(x)在区间(a,b)上的极值;将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.问题思考函数有极值是否一定有最值?有最值是否一定有极值?极值只能在定义域内取得(不包括端点),最值却可以在端点处取得,有极值的不一定有最值,有最值

4、的也未必有极值;极值有可能成为最值,非常数可导函数最值只要不在端点处取得,则必定在极值处取得.若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值一定是函数的最值.【知识巩固】 1.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)对可导函数f(x),f(x0)=0是x0为极值点的充要条件.()(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()2.若函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值点的个数为.1由题意知,只在x=-1处f(-1)=0,且其左右两侧导数符号

5、为左负右正.4.函数f(x)=2x3-2x2在区间-1,2上的最大值是. 8第二环节关键能力形成能力形成点1求函数的极值例1已知函数f(x)=x-aln x(aR).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.可知f(1)=1,f(1)=-1,故曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.当a0时,f(x)0,函数f(x)在区间(0,+)内是增函数,函数f(x)无极值;当a0时,由f(x)=0,解得x=a.又当x(0,a)时,f(x)0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=

6、a-aln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.解题心得利用导数研究函数极值的一般流程: 对点训练1若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1A由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0,得a=-1.即f(x)=(x2-x-1)ex-1,f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1

7、.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:即当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.能力形成点2求与函数极值有关的参数范围命题角度1 由极值的存在性求参数的取值范围C(2)若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则实数c的取值范围为.f(x)=3x2-4cx+1.由题意知f(x)=0有两个不同的实数根,可得=(-4c)2-120,命题角度2 由极值的个数求参数的取值范围例3已知函数 ,若x=2是函数f(x)唯一的极值点,则实数k的取值范围为()A.(-,eB.0,eC.(-,e)D.0,e)A解题心得1.若函数y=f(x)在区间(a

8、,b)内有极值,则函数y=f(x)在区间(a,b)内不是单调函数,可转化为f(x)=0根的个数问题求解;若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间内没有极值.2.已知函数极值点的个数求参数,解决此类问题可转化为函数y=f(x)在区间(a,b)内变号零点的个数问题求解.对点训练2已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是()A.(-1,2)B.(-,-3)(6,+)C.(-3,6)D.(-,-1)(2,+)Bf(x)=3x2+2ax+(a+6),由已知可得f(x)=0有两个不相等的实根,即=4a2-43(a+6)0,即a2-3a-180.得a6或a0,所以f(