模态综合方法

1、第十章模态综合方法10.1模态综合法的基本原理【为什么要使用模态综合法】复杂结构自由度多，方程阶数高，计算成本大。对整个结构用假设模态法分析难以实现。大型复杂结构其主要部件可能在不同地区生产，由于条件限制，只能进行部件模态试验，无法进行整体结构的模态试结构的响应只由低阶模态控制，不必为少数低阶模态去求解整个结构的高阶动力学方程。解决途径】仿照有限元方法，先对各个局部子结构进行分析，然后再通过某种方法进行整体分析，具体讲就是对各子结构进行模态分析，按某种原则得到能恰当描述整个结构振动的“假设模态”，再按假设模态分析方法来求解整个结构的振动。【模态综合法的基本思想】按复杂结构的特点将其划分为若干子

2、结构对各子结构进行离散化，通过动力学分析或试验，得到子结构的分支模态。对各子结构的物理坐标结点位移坐标进行模态坐标变换对子结构进行“组集”，获得整个结构的模态坐标通过子结构的界面连接条件，作第二次坐标变换独立坐标变换，消去不独sssSSIffBSSSSssss9冊画。sss.sssssssssssssisp,ES?SB3SS逢務碧K-、aaRfZssS3THTa+TDH-Tlyna-+丄s-m-(s-)(102)(173)ssssssss号号二asss$Bf二言3器LJBattUa=如paUP=卩pP105）通常，g，林的个数远少于对应子结构的自由度数。记：p”M二卩Ma0Ma=paTmaaM

3、P=ppTmPppKa=paTkapaKP=pPtkPpP从而，T=2pTMpV=2pTKp106）（107）（108）（109）当应用拉格朗日方程来建立振动方程时，由于拉格朗日方程要求各p相互独立,而p中有不独立的坐标。Uai=Ua1010）由对接位移条件（界面位移连续条件）：ua=uP，有Qapa=枷pp(10-11)jjjj写成约束方程的形式：Cp=0C=a枷(10-12)jj下面进行第二次坐标变换将p分块写成3(87OT)(mor)(9:OI-I)(he)(mol-l)sIPpprPH9sIPpp&工UTHsHsd一、pppOT-二。二9itt(OI-I)ffssNSS.W囂-Hm9R

4、IffssttR(0号OT)o一上三mzs丄H)OT(0二凶+咅二g-sssgsssssssgsa(6701-1)EkMSv日盘.SISWMSIKissssss!r.瓦OHSK$ifrssHi*IEMinsWSKSSRss厚5ss累=$si(kzol-l)01-1)(*es7(sgluEsmSSFSSSSBSSSg,SS3S巴sssssisa(n)assesssassssssgssv.ssssiff-ssssASSBww9S(sssi&SSSWSMiesCNOS!Bssss(oTue一(|?笆丄&)i4H】asswass.(F01-1)(9号01-1)nuu7735-spH6=44-4-In0

5、0:Mdd34L兰A兰HL111$o?1111w1111$111111d111兰11兰/1111(勺01-1)111o10录1111II111詮10舍111詮1111兰11111兰1詮111ss.ssslssKSSK-s&.SSSSBSSSgfsB【*M】从而有：屮00wa=K卜1wa=Gwa屮IIaaaaaa1033)子结构的柔度矩阵为：G=K卜1=gwwgawgwagaa1034)所以有：屮wa屮aagwwgawggaawa0waIaa1035)从而附着模态为：屮=a屮wa屮aavjgwawagaaaa1036)P二1M=00jM=10jP二0vj剩余附着模态】在假设模态法建立系统的运动方

6、程，求解其特征值问题时，要求所用到的假设模态应该是线性无关的，但是如果用子结构的主模态和附着模态作为假设模态集，会出现主模态与附模态线性相关的问题。另一方面，在使用子结构的主模态组成模态综合时的假设模态集，采用的是(6701-1)(8701-1).eTur建p)g+旦舍-厶rMC?p)gHJe7?3&p)eH工赳丄p7r3mpe=yveKBsss-e二swsee二s(OOH)asgsS?SSS30。蚤99fflI!Kllr*lr(OVH)peT-二_p二ppP1旦faeH-0二pP0-1二pp4=9丄土-0-msssssl二，$%益S(ZTOMRS(onot)？(r3p)H4r詈)g丄p丄pp

7、巴=卽(盹呼TO/=卽-(盹哼)叫W)C10-44)是进显然，W与O线性相关。也就是说，剩余附着模态实际是进行主模态截dd断时，略去的高阶模态的一种线性组合。因此用剩余附着模态作为子结构分支模态集的一个子集，是对保留主模态集的一个合理补集。由于O与保留主模态O具有正交性，因而剩余附着模态的出与O也dkdk是关于质量阵正交的。即：OtM出二0kd二有刚体运动子结构的分支模态对于有刚体运动的子结构，其模态集中包含有全部的刚体模态，由此可知，得到的有刚体运动子结构的刚度矩阵是奇异的。【主模态】有刚体运动子结构的主模态的定义与受约束子结构的主模态定义相同，只是还应包括相应与刚体自由度的刚体模态。但是对

8、于固定界面和混合界面的分支主模态中，如果附加界面约束消除了刚体自由度，则这时的分支主模态集中将没有刚体模态。约束模态】有刚体运动子结构的约束模态的定义与受约束子结构的约束模态定义相同，但是，只有在附加界面约束全部约束了子结构的全部运动时，才能求出约束模态。1046)-k-ikvvvcIcc刚体模态】对受不完全约束的子结构，即有刚体自由度的子结构，描述其无变形运动位sttsssswssmisshasis-二.M-兰工兰(we)-二.M-丄才1sssmsiss10.EWe&MSSEms3lkl4HU圳放瓠园暑任w营M冬.SR*1RKsieiRK-os8ttssamgHmassssso0I0Iee-

9、(07ol-l)wfta二Hussuu5u兰o1丄吕兰Hr兰兰s7o7eI4HM10IIuu-兰-亠兰uu-UhT二111Tc【附着模态】rarakwrkarkrr对有刚体运动的子结构，应该在子结构中引入适当的附加静定约束，并刚好能约束住子结构的刚体运动，然后才能求其附着模态。将有刚体运动子结构的物理坐标分为三个子集，即U二R+A+W。R为附加约束坐标集，它刚好约束住子结构的刚体位移，A二C-R,C为界面坐标集，W为内部坐标集。根据附着模态的定义，在A集中的物理坐标上依次作用单位力得到子结构的位移就是附着模态。kkwwwakkawaakkrwraR是在附加约束坐标集R中产生的附加约束反力。将（

10、1048）分块展ra开，得到：kk屮-0wwwawawakkawaa屮aaIaa1049）kwwkawk川wakaagwwgawgwagaa1050）屮wa屮aagwwgawgwagaa0wagwaiLgaaaa（1051）从而有刚体自由度子结构的附着模态为：rrara附着模态，如图所示Pvj11052)图中P子结构是一个有刚体自由度的子结构，引入附加约束后，可以求出其【惯性释放附着模态】如前面所述，我们看到，对有刚体自由度子结构，引入附加静定约束后，在界面坐标方向施加单位作用力，得到附着模态。而惯性释放附着模态是在释放这些附加约束后，在界面单位力作用下求得的附着模态。但这时子结构会产生刚体位

11、移，因此我们将一组相应的惯性力作用在子结构上，这些惯性力与界面力组成一个自平衡力系。惯性释放附着模态就是该平衡力系下，子结构的不包含刚体模态的附着模态。在界面作用力作用下，子结构的位移矢量u(t)是刚体位移分量u(t)和变r形位移分量u(t)之和。即E1053)1054)u(t)=u(t)+u(t)rE代入子结构运动方程Mu+Ku=F由于Ku(t)=0，故得到:(6S01):reTssBss(SSOH)ws-S0-Q、B(8T01-I)(=0二e二莒ls3)(!(一(sM&lsM二仝二莒丄色sgsssss诫只上flns嘗野事IIP只Is昧s罷ISTVtt巴(ss01)(”T7二岂丄工7三凶+心

12、二m(S901).e7se=/vsHE301)(工二wl工一(汽芝丄g=2=/v丄、)13亦丄工一1*一(901)(工re7seH3(1-1901-1)(09)Hreslh-ffilt(6soiae=M舍丄/=m旦仝H?二2=m旦b丄h(Hr215兰+(ssfrttO69O111O111111甘111II111色1111111(9921-I)ts兰兰兰J!DSv兰兰兰IMA兰兰兰s7-工丄fei-0！orMPTHd匸=处上色1-SSSFSessm01-1)BOI-I)丄z=fvve7邑丄yDo丄9=图42-3丄b上昇-30RLa2bb?=*丄色丄901-1)OT)tsr0r0r0k&s&r0二

13、乞；.Ml0录舍詮r0二旦；Kfrttee=phK-Israiraa丄倉1000I0忘丄g00II070I7IZEssIsssI嗨很鸟ss【】(szOH)0匸=阖=94电丄evET0-/J&恳(MMe=es)丄9-cn旦iiITdd寸I宗00-Asssl&ssHom畛只上皿(旦Qe=m丄)丄乂=邑(8T01)旦芝丄Z3=总上S(卜卜01-|)ttco&qphlvL兰(9T0V-I)汽芝丄SESSiE(番esss.&SMSKESESisMSSSSSS&G80l-l)801)旦舍工rE丄邑O=5?YPa(Z8,OT)0丄-SKaaaHpppp(1-180T)吕e77rco=-e-L0H吕-e-77

14、r8=-e-H0(0801H)rhawLe二晏蚤4Ha%4a皿IH昧皆：anffiEw置(S8OI-I)-0空丄空-KSSSSSMI,ss1ssws&ssssssass锻也黑.musseiKS38slssff藍rhes.sssss3.SKSSnmwssefissffi血a-eaes叢一BffiE葢勺nsRna聚屬逼SSHmH【理#nH】Rfu3.SK星Jfr0961-1wXC3Z!a(9821-I)0.sssss&s-0-二二(e二忘zco丄e二兰(ofoI-l)(6801H)(8801-1)uu4ZEdz(dz(dlldUlie-空HefrttW二eT三Buuuu-3-a+-+-3h7S一+

15、(os一+(負H(sl!ames()o保留主模态集三个子集。（2）对于模态坐标的分支特性子结构的运动方程为：MU+CU+Ku=F+R（10-91）根据（1088）式对上方程进行子结构的模态坐标变换，模态变换矩阵为：=10-92)rrcrnrrcccncrncnnnIrr屮cr屮nr0Icc屮nr00他nn在模态坐标下的子结构特性矩阵为：M=tM=mrrmcrmnrmrcmccmncmrnmcnmnn10-93)K二tK二k_rrk_crknrk_rck_Ccknck_rnk_cnknn10-94)我们知道，模态坐标下，系统的刚度系数k等于相应于第i个模态产生的应力，ij在相应于第j个模态的应变

16、上所做的功；或者等于相应于第i个模态的广义力，在相应于第j个模态的广义位移上所做的功。根据上述,我们可以仔细研究（10-94）式模态刚度矩阵中各项的意义。k二0，因为一个自平衡力系在刚体位移中所做的功为零。rrk为存在约束模态时，赘余约束坐标处的力在此约束位移上所做的功。它不为cc零。k二0，因为在固定界面情况下，约束坐标是固定不动的，约束模态的外力是cn界面上的作用力，所以，约束力在主模态位移上的功为零。k二0,系统有刚体模态位移时.没有受到相应于主模态位移的外力反之亦rn然。k二0，因为只有刚体模态位移时，约束坐标的反力为零。cr由此可得子结构对于模态坐标p的模态刚度矩阵可以写成：0000

17、kcc00knn1095）（3）模态综合设系统由a,P两个子结构组成，它们的分支特性已经用上节的方法求岀。系统的位移为：1096）u=Lp其中Uaurcuiu卩二urcui1097）系统的质量矩阵和刚度矩阵为：m=ma00mPka00kP1098）系统的假设模态矩阵为：=a00P1099）（10100）作系统的第一次坐标变换u=p其中p=paTpaTrcpaTpPTpPTpPTTnrcn（10101）-Is(kol-lTa01-1)ESBS(S01-Iov-l)GOTOT)(EOT01-1)(do:OH)ovxfrttHe=MZe丄k一丄d?Me丄te(I-Im01-1)(omm(60:01-

18、1)(80:OH)9213)s、(glb)(0二STE殳$rAd)H(U3(aSAeAe一、(glb)9213sH3b3.(qs)3b(卜oi01)(2z+2dAe)SH殳dT=dAe(90:01-1)(kmol-l)(sov-l)(3ov-l)!a【ffiftuoKlue8cn.o】O10二徑+总二宜右=玄丄9(右=|=2丄III1I1I1I1ooollllllllII-031構匸ttlsslsssiss3瘾學归SSKSmsEK曽E9afisBfrsiESBKStws.KSKESftsSKSss3ff0wse理IX(kx2MM)輙二0（10116）得到.v卩是一组包括刚体模态在内的约束模态。

19、由下式求得:ckk-九-V九-0iiijic=ickjikjjIjcRjc（10117）解得：V.ic九-k.-ik.IjciijIjcIVP二c（10118）故（10115）式写成:注意到（10-117）式中的Kx=ik0jkk1kiiijIjc（10119）kiikjikjikjj九与（10-116）式中的K卩(10120)是不相同的，两者关系为：因此，中的子结构保留主模态集中的模态金由精度需空来选定，而子结构的约束模态数目等于界面自由度数目。它等于Hutty法中刚体模态与约束模态之和。但两种方法的模态各列的定义不一定相同。以一悬臂梁为例，中间子结构2为一个具有刚体模态的子结构，它有两个界

20、面，四个自由度，在Hutty方法中，取其中两个作为刚体模态，两个为约束模态，（图c）,而C-B方法中，将界面自由度全部作为对界面坐标的约束模态。按Hutty方法，先根据界面自由度情况，得到r组刚然后在界面坐标中取K个固定住（求约束模态时不再放松）,得到一个静定的系统然后对其余c个界面坐标求得c个约束模态。(a)(b)IIKIHIo4rJ番dd世attlffl嗥绘sliQs醫1s亓令e一sssss-(s01-1)(I-ImOI-I)W二eTM(9mm(kmol-l)丄兰-Uss亘+亘+(亘+亘x丄忆n2v虫老04亘+WMeTd邑丄忆L二丄邑00:n00ypr0-SSS9SleT邑wuMeT叵wM

21、MeTEgJVMeT匡一(6mm(8moI-l)了3一sH1ririri1r1oriridgriri|d|国1ririri1III-11r-ir-ir-i1r-ir-ir-ir-ig1?r-ir-ib1?1r-ir-ir-i1(b血蛋趙($K:llr(上州fr理着脅二77二U33(卜ZT01)兰工=玄丄兰丄出(OETOV-I)(1-1301H)Jkxyu亍二0一sH3id一aga37t1(d一Tasmws.&iSISKSEs(0二STEuA10(d)uq二7oooo(9mm HYPERLINK l bookmark59 o Current Document IIII HYPERLINK l b

22、ookmark108 o Current Document O7llll HYPERLINK l bookmark79 o Current Document IIII HYPERLINK l bookmark138 o Current Document oollllIIIIoollllIIIIoollllIIIIoollllIIIIO7llllco.护IIIIo、llllIIIIoollllIIIIIIIIIIII700000llllllllllll00Z/J01U101iu-J0101血0=&0何0/y00妝(8ET-0T)470001也01=71H型000dMQ=型00W2Maa0Mca0

23、MbbMcb|qa0Vqbqc=V00（10146）MacMbcMccq二2(Iw2K-1M)-1K-1Mq(10-147)bbbbbbbbcc假定主模态已经对质量阵归一化，则：K二diagw2M二Ibbbbb0000-冬二MeEK(301-1)ofasamssESSIw-0=EffiftmQw&IV3Ial.sWT(6T01-I)z(3、3)Iqz(3、3)-mypUDssssff.sssissfflsi-HR-hspUDo=L上上匕:DIP匚EWass專I(ommo00o00OT(匕aJVZ3丄)带賈浜JiE-SSIsas8sssSBKSt02La忘+4+4wl&(SST0l-l)Blas

24、(3ov-l)(kmol-l)(EmmdJ(心二乞!負亠bdluu匕ooMV丄必一57=JVMdTsoEooos,.EqnuEuz*gr301U.SU占oilssss抻sssssssassSSSBSSWWmmoesss11sisses鴉归noHU.SU占。is故蛊浜IH昧PHI:nlss(卜SI-I01-1)(ep/vzcoleEp(9H)一宰亘sssnnsfSSSEessswsfsssss【isK301u乍noils】.SSEamSKSBhl6ucqid-;ullr6sDddVmsssozi.10*SSSMSS.K161WKssssss&sss&sssxss.SSMSHHmsfissSWS&

25、KKsisssttesattEamsseSS8SSSSS1EflilssKWS上图中，子结构A、B、C的内部坐标分别用ui、ui、ui表示。而子ABC结构界面上的坐标分别用uj、uj、uj、uj表示。显然界面上几A-BB-AB-CC-B何协调条件为：uj=Luj（10158）A-BB-AB-A（10158）uj=LujC-BB-CB-C其中L、L分别表示由于子结构A与B、B与C之间坐标系不同而B-AB-C需要的旋转矩阵。当坐标系相同时，则旋转矩阵为单位矩阵。显然，各子结构的物理坐标并不完全独立。取系统的坐标向量为：uiAujA-Bu=ui（10159）BB-AujB-CuiCujC-B相应的质

26、量矩阵、刚度矩阵具有形式：mA00-kA00_0mB0k=kB0_00m丄_0kCm=0Ak0000Bk0000C如果用=k作为对系统进行第一次坐标变换的假设模态矩阵，其中，血A*BC分别为子结构A、B、C的自由界面主模态的保留kkk主模态集，则有：fuAu=u=BuC如00k如0k00CkfpApffisDIItt二fs回RWH着69磕皿ssssffsK4HngsM0afwD$grS&SSS0.ESSSKSffi4HISW鲍soxU.2U占oilss【ffift6uellusu(sOI-I)(卜moI-l)-S5BSPnles0-1二444p(9卜T01-1)4(旦芝占3=空丄9)丄-0(S

27、01-1):Be4ppP篠*届KcrogHaa皿IB昧BP&KeLndy!e4Kyv?llrrpppisB-心二虫mmKiEssli&SKa(08:01-1)丿1-B*h哉只IH昧e-HIH昧(s01-1)pppppppEM1二4王0二MEs空10二勒电+(s(s01-1)pppppppp-=兰旦Hr出-T-忆-e=4M空丄出-e=WM空丄亘任(08:01-1)(1-I81-I01-1)fppppOT(J一丄2)(4念亠Z3=色-I85V-I8ToiYa(087OH)(Z8V-I0fppp(二ppp(二p(二旦芝占3=eToH芝占3=eTop2pi2p丄eppp旦?亠Z3=eTppppp旦?亠

28、Z3=Z37Z3=eTpppppppppp:fha(88:01-1)glam1-僅夷ffieM绘只BE绘IH昧efq0f(卜8T01)whmnssbttSKuuwsessssSSS&NSSKSS8SSnoHU.SU占oilsSB88EU_6SpssoseESSi-fp(98:01-1)二1ap-sns昧tt#4e7773=gfba(1-I6T01-1)(06:01-1)(681-101-1)1g-lr-ir-i111兰/rir-ir-irii兰r-iI-11Or-ir-i1IIg1rioiiiii1isrio1r-iriJor-iI-11Oo1111r-i1sssgssstts&pqp一口1負

29、一fq73f2一Lslm:番iY_nnssssffshfiwosss(10?-01)0=沿PPJ(003-01)0=必。:寧环血毘曲第硏阳时(681-01)(66T-0T)-0000/0-0/0000-00000/-00/000=(861-01)dH=d(I6T-0T).wjjdidII4d:谟俱丽MT翩邸冈0pjjdid=phpid4=didi(961-01)pj屮jjdidPIIdmiPIdid:幅啊從績琳4Id=d(S6T-0T)pl询炖护列(/+?)(/+/)炖、lilinnrf*Y1*Y(WT-OT)询0001_0:001(E6T-0T)00II(Np0001如畫：(0丄crK=0-

30、dddkkk負0、anulls:(07丄cACddkk匚ccJ卜(+j)x卜6ACddkk匚ccfflkinullsisssswss.SNIIr-no.1i1n11r11s11r-n-rrnrnrrn1gIIr-no.111r11r-n-rrnrnrrn1II一入VII人/iVu-、JVII1丨oiLJ1A丨oLJ1i1/PivjPu卜V、pJ川亘(工wTsr?=el右)丄(号=二)at-=r(r=r_)工kIkIIk3sssffssss:3USS&-(07丄cACddkk匚cc7SSAMR：tfssshssmisTH-.44燼uu(s01-1)(01-|号01-1)亠wssssssdaOT(

31、9(国K3丄怛)kT(0=fe+忑二宦-ssssJrSMHMSlH一旦岂旦乜Hk一Ls=sgg旦总旦巴旦乜丄S=H=H旦a旦sTkLs=m=s=s旦童旦巴旦ssssss丄鱼Isnzs3MSS19TSQSSSSK-ss:理義EWM同3ssi%urnMUKSEUrasE(s01-1)(、：md+txHZ-ffi廉聶UB(7IJ)SIKuuSSI.ESBSMassss_衣同結常。(91-1号oi(301-1)(kI-l号oi血sduSSTWl0Vdsi口星eJ#ISIEVP二Jdw驚aE(07Hz)Tp二&忘.YHTP二畐15s:SKS.SSESbssssss出1-1卜61-1eES.S&SSS&.

32、ffinsttssssassmSBSSSSSSSEm.KBSamssK9划划畫捌9!昧g蓋爪ssstHmESSSSHmKusamsslsgk-喘STwllsrHwr4nsSEm对主子结构a用自由界面保留主模态集组成假设模态集”并对其结点物理坐标作模态坐标变换：他ik他jkpa(10218)对从子结构B，用其固定界面的保留主模态集，与其对界面坐标的约束模态集组成假设模态矩阵，并对结点物理坐标作模态坐标变换：他ik0jk(10219)主从子结构的界面对接条件：ua=uP(10-220)jj从而可得约束方程：pP=Qapa(10-221)Ijk那么系统物理坐标(ua)T(uP)TT与其独立的模态坐标

33、q(pa)T(pP)TT之间的变换关系为：(10222)其中：=吒T吧T00(仲卩Qa)Tijjk(VP)TijQaTTjk0(10223)u=uaTuaTijuPTuPTTij(10224)(10225)对应于独立模态坐标q的质量阵和刚度阵为：ma0_0mPka|0kPM=tK=tOEZ01-1)SME-SES&SSS(6l号oiaIU。世器醫j二sssffsSSSSIHmss.01-1)sw/Lw/一.KKttsstK9EmssshlsBKSPOBU宙RNSSMattsslsKSs(9zz0l-l)oT(9a/vz3丄凶)BugssSNSSsssss-Eeffiftp-是uOJm艮hsKB

34、Rs蚤着a(SMOI-I)Ew4w上兰E=s4W丄亘菽世MgsseBKS&l&sis-Maov-l)康ssIvlxvlo-ss(s.01-1)E4-Juib(xmittKmEKSSsffiftIRal暑I.ttKgs&EMWEi_r.、以SBgKXSBSS0小SSSKSBsKsiessttsssftssSSSSS5IS8SSSSSIs(s01-1)HAsI二M兰+V:兰V:兰V兰V兰HA兰6(6001-1)(9+Ko)u-S(工7(二(9+g)u-sS71Jrk、7、j/r、*d.j1111-8m過-011二口兰-丄兰兰丄兰OO1Z3-ffiltsiEe世畠浜2BE雇(卜号01-1)(J一O一

35、兰兰兰兰(9E号01-1)CM01-1)0-7h宅兰旦&(盲38.2S亘旦&Th宅70兰旦&7(盲38.2P)二忘M&T00兰旦?亠.芝J亠&=&=忘M邑亘旦&T00005亠：兰)忘M邑+忘M旦丄忘M邑+忘M邑丄。Z3Z3Z3衣SP丄V-SOH)hu=vly一rg-口-zzot)(2aAK+LS)4ez3H(Z(Z3Z3)暑衣&怨tssgssssE皿nrsSRSSfr-puQmBESSs&ssessssSK&sesEK(s-OI-I)ss.ss(10-246)1I-111g11i-1：0詮1gI-11riIBiBS(-!号01-1)gssssHg(s01-1)zz旦3二aH旦旦M且3=-IS晏Iff(尊号ol-lMl-l肉OI-I)asaa&wssfrsswlwsSUEJkss号SNUEq-SIB8NUE5esfls理Misssss&aK.MeHssstMSKKSi9ssiss.Kesss8sasEttsssts.WTS&SBSWSSS醐呼mrssasss&BSkb帚&sissss