曲线拟合的最小二乘法

1、第6章曲线拟合的最小二乘法6.1拟合曲线通过观察或测量得到一组离散数据序列zw-E，当所得数据比较准确时，可构造插值函数诃逼近客观存在的函数了=曲），构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即咻）=曲=12,険。此时，序列。=（和佩吃）,-（耳）与FPi也是相等的。如果数据序列（兀小”丄”，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数诃最优地靠近样点，即向量（册）佩陀），佩耳）f与F=（”也必）的误差或距离最小。按。与F之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。$0耳Imiso诡25图6.

2、1含有“噪声”的数据图6.2一条直线公路与多个景点插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。向量。与F之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如：用各点误差绝对值的和表示：2-1用各点误差按模的最大值表示：&.=送咒|旗兀）一用用各点误差的平方和表示：6.1）只=&=工（您）-2-1其中应称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是

3、统计学中估计回归参数的最基本方法。在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据

4、的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列（召小）厂0丄严；设主干路为一条直线慎心=护氐，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差Q3上）最小值而确定直线方程（见图6.2）。JWffl!。冰）=工佩再）-=工（盘+琳-2-12-16.2线性拟合和二次拟合函线性拟合给定一组数据（冷”）厂緘用，做拟合直线加，均方误差为ffl!JW0（）=工OOJ-”=工0+站-（6.2）-S

5、a阳田雄邑ffi眯限祭ffi岷疾旺。Sa阳ffigsffi如菸只(E.9)I0H普(ZI总也+匸厂:叱(巴色言we-1迖e0丄汉.左+2入甲*3oiQS8-1Sfi-lz例6.1下表为P.Sale及R.Dybdall在某处作的鱼类抽样调查，表中疋为鱼的数量，尹为鱼的种类。请用线性函数拟合鱼的数量和种类的函数关系。131516212223252930313611101112121313121416174042556062647072100130713142214212124172334解：设拟合直线冷）5肚，并计算得下表:编xyxyx2将数据代入法方程组（6.3）中，得到:21956134419

6、5661640b189132-1*2-12-12-1.-I12-1mMl旳丿m12-13-1JLZj6.5)解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数Fb）。方程组（6.5）称为多项式拟合的法方程，法方程的系数矩阵是对称的。当拟保多项式阶时，法方程的系数矩阵是病态的，在计算中要用双精度或一些特殊算法以保护解的准确性。例6.2给定一组数据，如下表。用二次多项式函数拟合的这组数据。X-3-2-142301230-1-2-5解：设巩疋）=呦+咛+旳/，由计算得下表:X-34-12936-2781-22-448-816-13-313-11000000011-11-11122-44-881635-159-452781工。1-3928-7096将数据代入式（6.5），相应的法方程为：r7a0+0眄+28a2=1O（3o+28aT+0a2=-3928a0+0盘i+196l32=-7解方程得:呦=0.66667，対=-1.39286，旳=-0.13095左0）=0.66667-1.3928