2004年考研数学试题及解析

1、PAGE PAGE 692004年考研数学(一)试题填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分,把答案填在题中横线上)选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) 2004年考研数学（一）试题解析填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为 .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。【详解】 由，得x=1, 可见切点为，于是所求的切线方程为 ， 即 .【评注】 本题也可先设切点为，曲

2、线y=lnx过此切点的导数为，得，由此可知所求切线方程为， 即 .（2）已知，且f(1)=0, 则f(x)= .【分析】 先求出的表达式，再积分即可。【详解】 令，则，于是有 ， 即 积分得 . 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= .【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。（3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 .【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。【详解】 正向圆周在第一象限中的部分，可表示为 于是 =【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定

3、积分计算即可.（4）欧拉方程的通解为 .【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。【详解】 令，则 ， ，代入原方程，整理得，解此方程，得通解为 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程 ，可化为 （5）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 .【分析】 可先用公式进行化简【详解】 已知等式两边同时右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再两边取行列式，有 ， 而 ，故所求行列式为【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵，一般均应先利用公式进行化简。 （6）设随机变量X服从参数为的指数分布，则= .【分析】

4、 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。【详解】 由题设，知，于是 = =【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.【详解】 ，可排除(C),(D)选项，又 =，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).【评注】 本题是无穷小量

5、的比较问题，也可先将分别与进行比较，再确定相互的高低次序.（8）设函数f(x)连续，且则存在，使得 (A) f(x)在（0，内单调增加. （B）f(x)在内单调减少.(C) 对任意的有f(x)f(0) . (D) 对任意的有f(x)f(0) . C 【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。【详解】 由导数的定义，知 ，根据保号性，知存在，当时，有 即当时，f(x)f(0). 故应选(C).【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。（9）设为正项级数，下列结论中正确的是 (A

6、) 若=0，则级数收敛.（B） 若存在非零常数，使得，则级数发散.(C) 若级数收敛，则. 若级数发散, 则存在非零常数，使得. B 【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】 取，则=0，但发散，排除(A)，(D)；又取，则级数收敛，但，排除(C), 故应选(B).【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式， ，而级数发散，因此级数也发散，故应选(B).（10）设f(x)为连续函数，则等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求导，再代入t=2求即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积

7、函数中不含有变量t.【详解】 交换积分次序，得 =于是，从而有 ，故应选(B).【评注】 在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: 否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积。【详解】由题设，有 ， ，于是， 可见，应选(D).【评注】

8、涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. A 【分析】A,B的行列向量组是否线性相关，可从A,B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解1】 设A为矩阵，B 为矩阵，则由AB=O知， . 又A,B为非零矩阵，必有r(A)0,r(B)0. 可见r(A)n, r(B)e时， 所以单调减

9、少，从而，即 ，故 .【证法2】 设，则 ， ,所以当xe时， 故单调减少，从而当时， ，即当时，单调增加.因此当时，即 ，故 .【评注】 本题也可设辅助函数为或，再用单调性进行证明即可。 （16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小时.【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再

10、解微分方程即可。【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度. 从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得 .又 ，由以上两式得 ，积分得 由于，故得，从而 当时， 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【详解2】 根据牛顿第二定律，得 ,所以 两端积分得通解，代入初始条件解得，故 飞机滑行的最长距离为 或由，知，故最长距离为当时，【详解3】 根据牛顿第二定律，得 , ，其特征方程为 ，解之得，故 由 ，得 于是 当时，所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为或的极限值，这种条

11、件应引起注意.（17）（本题满分12分）计算曲面积分 其中是曲面的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】 取为xoy平面上被圆所围部分的下侧，记为由与围成的空间闭区域，则 由高斯公式知 = =而 ，故 【评注】 本题选择时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在上直接投影积分时，应注意符号(取下侧，与z轴正向相反，所以取负号).（18）（本题满分11分）设有方程，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，级数收敛.【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛

12、散性可用比较法判定。【证】 记 由，及连续函数的介值定理知，方程存在正实数根当x0时，可见在上单调增加, 故方程存在惟一正实数根由与知 ，故当时，.而正项级数收敛，所以当时，级数收敛. 【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证。（19）（本题满分12分）设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解】 因为 ，所以 ， .令 得 故 将上式代入，可得 或 由于 ，

13、 ，所以 ，故，又，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.类似地，由 ，可知，又，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9, -3)= -3.【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a

14、的可能取值进行讨论即可。【详解1】 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有 当a=0时， r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为 于是方程组的通解为 其中为任意常数.当时，对矩阵B作初等行变换，有 可知时，故方程组也有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为 ，于是方程组的通解为 ，其中k为任意常数.【详解2】 方程组的系数行列式为 .当，即a=0或时，方程组有非零解.当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有 ，故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 于是方程组的通解为 其中为任意常数.当时，对系数矩阵A作初等行变换，有 ，故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为

15、，于是方程组的通解为 ，其中k为任意常数.【评注】 矩阵A的行列式也可这样计算：=+，矩阵的特征值为，从而A的特征值为a,a, 故行列式（21）（本题满分9分） 设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化.【分析】 先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A是否可相似对角化即可.【详解】 A的特征多项式为 =当是特征方程的二重根，则有 解得a= -2.当a= -2时，A的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=的秩为1，故对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化。若不是特征方程的二重根，则为完全平方，从而18+3a=16，解得 当时，A的特

16、征值为2，4，4，矩阵4E-A=秩为2，故对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化。【评注】 n阶矩阵A可对角化的充要条件是：对于A的任意重特征根，恒有 而单根一定只有一个线性无关的特征向量。 (22)（本题满分9分）设A,B为随机事件，且，令 求：（ = 1 * ROMAN I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （ = 2 * ROMAN II）X和Y的相关系数【分析】 先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数。【详解】 （ =

17、1 * ROMAN I） 由于， 所以， ， ， =（或），故(X,Y)的概率分布为 Y X 0 1 0 1 ( = 2 * ROMAN II) X, Y的概率分布分别为 X 0 1 Y 0 1 P P 则，DY=, E(XY)=,故 ，从而 【评注】 本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强。通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。（23）（本题满分9分）设总体X的分布函数为 其中未知参数为来自总体X的简单随机样本，求：（ = 1 * ROMAN I） 的矩估计量；（ = 2 * ROMAN II） 的最大似然

18、估计量.【分析】 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可。【详解】 X的概率密度为 （ = 1 * ROMAN I） 由于 ，令，解得 ，所以参数的矩估计量为 （ = 2 * ROMAN II）似然函数为 当时，取对数得，两边对求导，得，令，可得 ，故的最大似然估计量为 【评注】 本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性。 2004年考研数学（二）试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分,把答案填在题中横线上)(1)二. 选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合

19、要求的,把所有选项前的字母填在题后的括号内.)2004年考研数学（二）试题解析一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设, 则的间断点为 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出的表达式, 再讨论的间断点.【详解】显然当时,; 当时, ,所以 ,因为 故 为的间断点. （2）设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 定义的 求出二阶导数,再由 确定的取值范围.【详解】 , ,令 .又 单调增, 在 时, 。(时，时，曲线凸.)（3）.【分析

20、】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解1】 .【详解2】 .（4）设函数由方程确定, 则.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解1】在 的两边分别对,求偏导,为的函数. , ,从而 , 所以 【详解2】令 则 , , , ,从而 【详解3】利用全微分公式,得 即 , 从而 （5）微分方程满足的特解为.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为 ,先求齐次方程 的通解: 积分得 设为非齐次方程的通解,代入方程得 从而 , 积分得 ,于

21、是非齐次方程的通解为 ,故所求通解为 .【详解2】原方程变形为 ,由一阶线性方程通解公式得 ,从而所求的解为 .（6）设矩阵, 矩阵满足, 其中为的伴随矩阵, 是单位矩阵, 则.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】 , , , .【详解2】由,得 二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把时的无穷小量, , 排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A） （B）（C） （D） 【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔

22、法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】 ,即 .又 ,即 .从而按要求排列的顺序为, 故选（B）.（8）设, 则（A）是的极值点, 但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点, 但是曲线的拐点.（C）是的极值点, 且是曲线的拐点.（D）不是的极值点, 也不是曲线的拐点. 【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论两方, 的符号.【详解】 , , ,从而时, 凹, 时, 凸, 于是为拐点.又, 时, , 从而为极小值点.所以, 是极值点, 是曲线的拐点, 故选（C）.（9）等于（A）. （B）.（C）. （D） 【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换后

23、,从四个选项中选出正确的.【详解】 故选（B）.（10）设函数连续, 且, 则存在, 使得（A）在内单调增加.（B）在内单调减小.（C）对任意的有.（D）对任意的有. 【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部性质.【详解】由导数的定义知 ,由极限的性质, , 使时, 有 即时, ， 时, ,故选（C）.（11）微分方程的特解形式可设为（A）.（B）.（C）.（D） 【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.【详解】对应齐次方程 的特征方程为 ,特征根为 ,对 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为 对 , 因为特征根, 从而其特解形式可设为 从而

24、的特解形式可设为 （12）设函数连续, 区域, 则等于（A）.（B）.（C）.（D） 【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图.在直角坐标系下, 故应排除（A）、（B）.在极坐标系下, , ,故应选（D）.（13）设是3阶方阵, 将的第1列与第2列交换得, 再把的第2列加到第3列得, 则满足的可逆矩阵为（A）. （B）. （C）. （D）. 【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意 , , ,从而 ,故选（D）

25、.（14）设,为满足的任意两个非零矩阵, 则必有（A）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.（B）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.（C）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.（D）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关. 【分析】将写成行矩阵, 可讨论列向量组的线性相关性.将写成列矩阵, 可讨论行向量组的线性相关性.【详解】设 , 记 （1）由于, 所以至少有一 (),从而由（1）知, ,于是 线性相关.又记 , 则 由于,则至少存在一 (),使 ,从而 线性相关,故应选（A）.三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分

26、10分）求极限.【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解.【详解1】 原式 【详解2】 原式 （16）（本题满分10分）设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.()写出在上的表达式;()问为何值时, 在处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论.【详解】()当,即时, .()由题设知 . .令, 得.即当时, 在处可导.（17）（本题满分11分）设,()证明是以为周期的周期函数;()求的值域.【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.【详解】 () ,设, 则有 ,故是以为周

27、期的周期函数.()因为在上连续且周期为, 故只需在上讨论其值域. 因为 ,令, 得, , 且 , ,又 , ,的最小值是, 最大值是, 故的值域是.（18）（本题满分12分）曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.()求的值;()计算极限.【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是的函数,然后计算它们之间的关系.【详解】 () , , .(), （19）（本题满分12分）设, 证明.【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证1】设, 则 ,

28、所以当时, , 故单调减小, 从而当时, ,即当时, 单调增加.因此, 当时, , 即 故 .【详证2】设, 则 ,时, , 从而当时, ,时, 单调增加.时, 。令有即 . 【详证3】证 对函数在上应用拉格朗日定理, 得 , .设, 则,当时, , 所以单调减小,从而, 即 ,故 （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? 注 表示千克,表示千米/

29、小时.【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.【详解1】由题设,飞机的质量,着陆时的水平速度.从飞机接触跑道开始记时,设时刻飞机的滑行距离为,速度为. 根据牛顿第二定律,得 .又 , ,积分得 ,由于, 故得, 从而 .当时, .所以,飞机滑行的最长距离为.【详解2】根据牛顿第二定律,得 .所以 ,两边积分得 ,代入初始条件 , 得, ,故飞机滑行的最长距离为 .【详解3】根据牛顿第二定律,得 ,其特征方程为 ,解得, ，故 ，由, ，得，.当时, .所以,飞机滑行的最长距离为.（21）（本题满分10分）设,其中具

30、有连续二阶偏导数,求.【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.【详解】 , , .（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组试问取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.【详解1】对方程组的系数矩阵作初等行变换, 有 当时, , 故方程组有非零解, 其同解方程组为 .由此得基础解系为 , , ,于是所求方程组的通解为 , 其中为任意常数.当时, 当时, , 故方程组也有非零解, 其同解方程组为 由此得基础解系为 ,所以所求方程组的通解为 , 其中为任意常数.【详解2】方程组的系数行列

31、式.当, 即或时, 方程组有非零解.当时, 对系数矩阵作初等行变换, 有故方程组的同解方程组为 .其基础解系为 , , ,于是所求方程组的通解为 , 其中为任意常数.当时, 对作初等行变换, 有 故方程组的同解方程组为 其基础解系为,所以所求方程组的通解为, 其中为任意常数（23）（本题满分9分）设矩阵的特征方程有一个二重根, 求的值, 并讨论是否可相似对角化.【分析】由矩阵特征根的定义确定的值，由线性无关特征向量的个数与秩之间的关系确定是否可对角化.【详解】的特征多项式为 .若是特征方程的二重根, 则有, 解得.当时, 的特征值为2, 2, 6, 矩阵的秩为1,故对应的线性无关的特征向量有两

32、个, 从而可相似对角化.若不是特征方程的二重根, 则为完全平方, 从而, 解得. 当时, 的特征值为2, 4, 4, 矩阵的秩为2,故对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而不可相似对角化.2004年考研数学（三）试题解析填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若，则a =，b =.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为，且，所以，得a = 1. 极限化为，得b = 4.因此，a = 1，b = 4.【评注】一般地，已知 A，(1) 若g(x) 0，则f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，则g(x) 0. (2) 设函数f (u

33、 , v)由关系式f xg(y) , y = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) 0，则.【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u = xg(y)，v = y，则f (u , v) =，所以，.【评注】 本题属基本题型.(3) 设，则.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x 1 = t，. (4) 二次型的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为于是

34、二次型的矩阵为 ,由初等变换得 ,从而 , 即二次型的秩为2. 【详解二】因为, 其中 .所以二次型的秩为2. (5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则 .【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于, 的分布函数为故.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,和 分别是来自总体和的简单随机样本, 则 .【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 , ,故应填 .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填

35、在题后的括号内）(7) 函数在下列哪个区间内有界.(A) (1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而，所以，函数f (x)在(1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间a , b上连续，则f (x)在闭区间a , b上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界. (8) 设f (x)在( , +)

36、内有定义，且，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. D 【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元，可将极限转化为.【详解】因为= a(令)，又g(0) = 0，所以，当a = 0时，即g(x)在点x = 0处连续，当a 0时，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x) = |

37、x(1 x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. C 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x

38、)的极小值点.显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x ( , 0)时，f (x) = x(1 x)，当x (0 , )时，f (x) = x(1 x)，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若收敛，则收敛.(2) 若收敛，则收敛.(3) 若，则发散.(4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个

39、命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n )，所以发散.(4)是错误的，如令，显然，都发散，而收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. (11) 设在a , b上连续，且，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点，使得 f (a).(B) 至少存在一点，使得 f (b).(C) 至少存在一点，使得.(D) 至少存在一点，使得= 0. D 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【

40、详解】首先，由已知在a , b上连续，且，则由介值定理，至少存在一点，使得；另外，由极限的保号性，至少存在一点使得，即. 同理，至少存在一点使得. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设阶矩阵与等价, 则必有(A) 当时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, . D 【分析】 利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得.【详解】因为当时, , 又 与等价, 故, 即, 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型. 相关知识要点见数学复习指南P.284-286.(13)

41、设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. B 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】 因为基础解系含向量的个数=, 而且根据已知条件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查. (14) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足, 若

42、, 则等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】 由, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得. 故正确答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求.【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】=.【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算. (16) (本题满分8分)求，其中D是由圆和所围

43、成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D分为大圆减去小圆，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令，由对称性，.所以，.【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足，x a , b)，.证明：.【分析】令F(x) = f (x) g(x)，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F(x) = f (x) g(x)，由题设G(x) 0，x a , b，G(a) = G(b) = 0，.从而 ，由于 G(x) 0，x a

44、 , b，故有，即 .因此 .【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P，其中价格P (0 , 20)，Q为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性( 0)；(II) 推导(其中R为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析】由于 0，所以；由Q = PQ及可推导.【详解】(I) .(II) 由R = PQ，得 .又由，得P = 10.当10 P 1，于是，故当10 P 0时，需求量对价格的弹性公式为.利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式： ，(收益对

45、价格的弹性).这些公式在文登学校辅导材料系列之五数学应用专题(经济类)有详细的总结. (19) (本题满分9分)设级数的和函数为S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.【分析】对S(x)进行求导，可得到S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式.【详解】(I) ，易见 S(0) = 0，.因此S(x)是初值问题的解.(II) 方程的通解为 ，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故，因此和函数.【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分) 设, , , , 试讨论当为何值时, ()

46、 不能由线性表示;() 可由唯一地线性表示, 并求出表示式; () 可由线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】将可否由线性表示的问题转化为线性方程组是否有解的问题即易求解.【详解】 设有数使得 . (*)记. 对矩阵施以初等行变换, 有.() 当时, 有 .可知.故方程组(*)无解, 不能由线性表示.() 当, 且时, 有, 方程组(*)有唯一解： , , 此时可由唯一地线性表示, 其表示式为 () 当时, 对矩阵施以初等行变换, 有，, 方程组(*)有无穷多解，其全部解为 , , ， 其中为任意常数可由线性表示, 但表示式不唯一,其表示式为 【评注】本题属于常规题型, 曾考过

47、两次(1991, 2000). (21) (本题满分13分) 设阶矩阵 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程和齐次线性方程组来解决.【详解】() 当时， ,得的特征值为，对，解得，所以的属于的全部特征向量为(为任意不为零的常数)对， 得基础解系为，故的属于的全部特征向量为(是不全为零的常数)当时，,特征值为，任意非零列向量均为特征向量() 当时，有个线性无关的特征向量，令，则当时，对任意可逆矩阵, 均有 【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解

48、和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分) 设，为两个随机事件,且, , , 令 求() 二维随机变量的概率分布;() 与的相关系数 ; () 的概率分布. 【分析】本题的关键是求出的概率分布，于是只要将二维随机变量的各取值对转化为随机事件和表示即可【详解】 () 因为 ，于是，则有，( 或)，即的概率分布为： 0 1 0 1 ()方法一：因为，所以与的相关系数 方法二： X, Y的概率分布分别为 X 0 1 Y 0 1 P P 则，DY=, E(XY)=,故

49、，从而 () 的可能取值为：0，1，2 ，即的概率分布为： 0 1 2 【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分) 设随机变量的分布函数为 其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,() 当时, 求未知参数的矩估计量;() 当时, 求未知参数的最大似然估计量; () 当时, 求未知参数的最大似然估计量. 【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】 当时, 的概率密度为 () 由于 令 , 解得 , 所以

50、, 参数的矩估计量为 .() 对于总体的样本值, 似然函数为 当时, , 取对数得 ,对求导数，得，令，解得，于是的最大似然估计量为 ( ) 当时, 的概率密度为对于总体的样本值, 似然函数为 当时, 越大，越大, 即的最大似然估计值为,于是的最大似然估计量为 【评注】本题属于常规题型, 往年曾经考过多次.2004年考研数学（四）试题解析填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若，则a =，b =.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为，且，所以，得a = 1. 极限化为，得b = 4.因此，a = 1，b = 4.【评注】一般地，已知 A

51、，(1) 若g(x) 0，则f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，则g(x) 0. (2) 设，则.【分析】本题为基础题型，先求导函数即可.【详解】因为，所以，.【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导.(3) 设，则.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x 1 = t， .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. 设，其中为三阶可逆矩阵,则【分析】 将的幂次转化为的幂次, 并注意到为对角矩阵即得答案.【详解】因为, .故 , .【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查设是实正

52、交矩阵，且，则线性方程组的解是【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果.【详解】因为 , 而且是实正交矩阵, 于是 , 的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以 .【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算 (6) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则 .【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于, 的分布函数为故.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数在下列哪个区间内有界.(A) (1 , 0).(B)

53、 (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而，所以，函数f (x)在(1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间a , b上连续，则f (x)在闭区间a , b上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界. (8) 设f (x)在( , +)内有定义，且，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0

54、必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. D 【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元，可将极限转化为.【详解】因为= a(令)，又g(0) = 0，所以，当a = 0时，即g(x)在点x = 0处连续，当a 0时，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲

55、线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. C 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的极小值点.显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x ( , 0)时，f

56、 (x) = x(1 x)，当x (0 , )时，f (x) = x(1 x)，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设，则(A) F(x)在x = 0点不连续.(B) F(x)在( , +)内连续，但在x = 0点不可导.(C) F(x)在( , +)内可导，且满足.(D) F(x)在( , +)内可导，但不一定满足. B 【分析】先求分段函数f (x)的变限积分，再讨论函数F(x)的连续性与可导性即可.【详解】当x 0时，当x = 0时，F(0) = 0. 即F(x

57、) = |x|，显然，F(x)在( , +)内连续，但在x = 0点不可导. 故选(B).【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分. 对于绝对值函数：在处不可导；f (x) =在处有n阶导数，则. (11) 设在a , b上连续，且，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点，使得 f (a).(B) 至少存在一点，使得 f (b).(C) 至少存在一点，使得.(D) 至少存在一点，使得= 0. D 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知在a , b上连续，且，则由介值定理，至少存在一点，使得；另外，由极限的保号性，至少存在一点使得，

58、即. 同理，至少存在一点使得. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设阶矩阵与等价, 则必须当时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, . D 【分析】 利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得.【详解】因为当时, , 又与等价, 故, 即, 从而选 (D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型. (13) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足, 若, 则等于(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得

59、.【详解】 由, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得.故正确答案为(B).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查. (14) 设随机变量独立同分布，且方差令随机变量， 则(A) (B) (C) (D) C 【分析】 利用协方差的性质立即得正确答案.【详解】 由于随机变量独立同分布, 于是可得 .故正确答案为(C).【评注】本题是对协方差性质的考查, 属于基本题. 三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求.【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】 =. .【评

60、注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算. (16) (本题满分8分)求，其中D是由圆和所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D分为大圆减去小圆，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令，由对称性，.所以，.【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分)设f (u , v)具有连续偏导数，且满足.求所满足的一阶微分方程，并求其通解.【分析】先求，利用已知关系，可得到关于y的一阶微分方程.【详解】，因此，所求的一阶微分方程为.