概率统计4章随机变量的数字特征

1、第四章 随机变量的数字特征 数学期望及其性质方差及其性质协方差和相关系数及其性质矩和协方差矩阵第一节 数学期望 随机变量函数的数学期望计算公式 数学期望的概念 数学期望的性质 常见随机变量的数学期望引例:甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出试问哪个人的射击水平较高？【分析】甲乙的平均环数可求得：因此，甲的射击水平要比乙的好。 X 为甲所得环数 Y 为乙所得环数本质上，离散型随机变量的数学期望其形式为求和；简称期望或均值，记为 E(X).即难 点：随机变量 X 可能取值为可列无限多时；若级数绝对收敛，设离散型随机变量 X 的分布律为 则称此级数为 X 的数学期望。定义1:一、数学期望的概念为了

2、刻画随机变量的均值，我们引入数学期望. 设连续型随机变量 X 的概率密度为的数学期望。简称期望或是均值，记 E( X ).定义2：如果绝对收敛，则称积分为随机变量 X 的即本质上，连续型随机变量的数学期望其形式为积分；难 点: 数学期望涉及积分，熟练积分的计算。即令函数Y = g ( X ) ,绝对收敛，则设离散型随机变量 X 的分布律为 则称此级数为 g(X）的数学期望。定义3:若级数事实上，离散型随机变量函数的数学期望即为函数取值与概率的乘积和；注：上述4个定义为一维随机变量或是函数的数学期望。设连续型随机变量 X 的概率密度为定义4：如果则称积分为随机变量 g(X)的数学期望，即令函数Y

3、 = g ( X ) ,绝对收敛，定义5:设(X , Y)是二维随机变量,g(X , Y)是二元连续函数 设( X , Y )为离散型随机变量，其联合分布律为则 Z 的数学期望为 设X为连续型随机变量，其概率密度为 f (x,y),则 Z 的数学期望为【解】求1/4 1/8 1/4 3/8-1 0 1 2已知 X 的分布律为例1：1.利用公式法求解随机变量或函数的期望典型例题分析【解】由得例2：某项任务完成所需时间 T该项任务若在100天之内完成则得奖金10000元，若在100天至115天内完成，则得奖金1000 元 ,115天,罚款5000,求完成任务获得的平均奖金数。,规定：若超过设Y 是

4、完成该任务所获奖金数，则 Y 可能取值为10000,1000,-5000；从而 Y 的分布律为10000 -5000 1000已求出:【解】设随机变量 X 的概率密度为例3：求【解】设随机变量（X，Y）的联合分布律为例4：则随机变量X的分布律为随机变量 Y 的分布律为另解令 Z = XY，可能取值为 0 0.1 0.2 0.4 0.1 0.1 0.1-3 -2 -1 0 1 2 3【解】设随机变量（X,Y）的概率密度为例5：求【解】设随机变量（X,Y）的概率密度为例5：求注：二、几种常用分布的期望(1) 0-1分布(2) 二项分布(3) 泊松分布(4) 几何分布(5) 超几何分布1.常见离散型

5、随机变量的期望2.常见连续型随机变量的期望(1)均匀分布(2)指数分布(3)正态分布典型例题分析2.常见随机变量的期望【解】例6:设随机变量 X 的概率密度为对X 独立重复观测4次，记Y 为观测值大于的次数，其中由题意可知，所以：【解】例7:设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，则且由题意可知，所以：【解】由题意可知，所以：各产品合格与否相互独立,当第一个不合格产品出现时，例8:某生产流水线上每个产品不合格的概率为设开机后第一次停机时已生产的产品的个数为 X ，则1. 设 C 是常数，则E(C)=C;2. 若 C 是常数，则E(CX )=CE(X );3.三、数学期望的性质4. 设X与Y独立，

6、则 E(XY )=E(X )E(Y );证明: 设（当Xi 独立时）注意:该性质不是充要条件。推广：例9、任意掷5颗骰子，X5颗骰子出现的点数之和,求E(X).【解】1 2 3 4 5 6典型例题分析3.利用性质法求解期望例10、二项分布【解】则而，则所以,，求E(X)。X表示n重伯努利试验中成功的次数.注意：分割随机变量的原则。例11:将n封不同的信，随机放入n个写好地址的信封，用X表示装对信件的个数，求EX。【解】则01例 12:第二节 方 差 方差的性质 方差的定义和计算公式 常见分布的方差 一、方差的定义 方差的算术平方根为X的方差。记为 D(X)或Var (X)。定义:设X 是一个随

7、机变量，若 则称称为均方差或标准差。存在，记为注：方差实际上就是X的函数 g (X)=X-E(X)2 的期望。方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离程度。证明： 推论：常用计算公式：设随机变量X的概率密度为求D(X )。 例1:【解】典型例题分析1.已知概率分布求解方差【解】例2:已知, 则方法一同理可得所以：【解】例2:已知, 则方法二：先求出边缘概率密度，同理可得所以：再求方差.【提示】作业:若, 则令二、几种常用分布的方差(1) 0-1分布(2) 二项分布(3) 泊松分布(4) 几何分布(5) 超几何分布1.常见离散型随机变量的方差2.常见连续型随机变量的方差(1)均匀分布(2)指数分布

8、(3)正态分布已知例3求的次数，对X 独立观察 4 次，Y 表示X 的观察值大于【解】由题意可知1.设C是常数,则D(C) =0 ; 2.若C是常数,则 D(CX )=C 2D(X ); 3. 若X与Y 独立，则三、方差的性质证注：这条性质同样不是一个充要条件。推广：若X1,X2, Xn 相互独立,则4、D(X )=0例4设 X 的可能取值为且，求 X 的分布律。【解】设 X 的分布律为所以【解 】 Z 为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，且其参数为故例5设 X , Y 是两个相互独立的且服从正态分布的随机变量 ,且，则求随机变量服从什么分布？Z N(-7,5)第三节 协方差和相关

9、系数 协方差和相关系数的定义协方差的性质相关系数的性质1、定义 设二维随机变量 则称它为X与Y的协方差，即称为随机变量X与Y的相关系数。若存在，一、协方差和相关系数的定义记为2、常用计算公式证:1、为常数3、2、二、协方差的性质证：三、相关系数的性质1)2)的充要条件是X与Y以概率1成线性关系即其中为常数定理1 设随机变量X和Y的相关系数存在，则说明：，X 与Y 的线性关系越显著；，X 与Y 的线性关系越不显著；2）3）4）定义、相关系数则称与不相关;相关系数之间线性关系的一种度量.是X与Y下列命题等价：1）【解】典型例题分析1.利用公式法求解协方差和相关系数例1:箱内有6个球,其中红、白、黑

10、球分别为1,2,3个，现从箱中随机的取出2球，记 X 为取出的红球的个数，Y为取出的白球的个数，求 cov（X,Y）。随机变量（X ,Y）的联合分布律为例2设随机变量相互独立，且【解】Cov(X,Z)=2, D(X)=4, D(Z)=22.利用性质法求解协方差和相关系数例3将一枚硬币重复掷 n 次，以 分别表示正面向上和反面向上的次数，求的相关系数。【解】满足故独立不相关注：例：X N(0,1),证明X与Y不相关。证：= 0X与Y不相关。但是，显然，X与Y 不是相互独立的。不相关： X 与Y 之间没有线性关系，并不表示它们之间没有任何关系。独立： X 与Y 之间没有任何关系。例3设随机变量的概率密度为问 X 和 Y 是否相互独立，是否不相关？【解】 先求关于X 和Y 的边缘概率密度 因为X 和 Y 不相互独立。3.讨论独立性与不相关性 求X 和Y 的相关系数 所以故X 和 Y 不相关。= 0.若(X,Y )服