时间序列分析简介

1、时间序列分析简介最早的时间序列分析可以追溯到7000年前的古埃及引言尼罗河涨落的情况古埃及的农业迅速发展埃及灿烂的史前文明按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列随机序列：按时间顺序排列的一组随机变量时间序列的定义观察值序列：随机序列的n个有序观察值，称之为序列长度为n的观察值序列时间序列分析方法描述性时序分析统计时序分析描述性时序分析案例 太阳黑子的活动统计时序分析频域分析方法时域分析方法原理时域分析方法事件的发展惯性序列值之间的关系统计规律目的时域分析方法寻找统计规律拟合数学模型预测未来走势时间序列的预处理平稳性检验纯随机性检验宽平稳序列特征统计量均值方差自协方差

2、自相关系数宽平稳序列宽平稳序列的特征协方差结构的平移不变性常数均值常数方差实际应用的普遍性平稳性的检验 图检验方法统计检验方法时序图检验自相关图检验单位根检验时序图检验 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期自相关图检验 平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零例子 例1. 检验1964年1999年中国纱年产量 序列的平稳性时序图自相关图例子 例2.检验1962年1月1975年12月平均 每头奶牛月产奶量序列的平稳性时序图自

3、相关图例子 例3.检验1949年1998年北京市每年 最高气温序列的平稳性时序图自相关图纯随机序列没有记忆的序列过去的行为对将来的发展丝毫没有影响纯随机序列是没有任何分析价值的序列纯随机序列白噪声序列的性质纯随机性方差齐性 例子 例4.随机产生1000个服从标准正态分布的 白噪声序列观察值.时序图自相关图纯随机性检验检验原理Barlett定理纯随机性检验假设条件纯随机性检验检验统计量Q统计量LB统计量纯随机性检验判别原则当检验统计量大于 分位点，或该统计量的P值小于 时，则可以以 的置信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列，否则，就接受原假设，即认为该序列为白噪声序列。例子 例4.(续)

4、检验结果延迟 统计量检验统计量值P值延迟6期2.360.8838延迟12期5.350.9454结论：接受原假设即该序列是白噪声序列例子 时序图例5.对1950年1998年北京市城乡居民 定期储蓄所占比例序列的平稳性与纯 随机性进行检验 自相关图检验结果延迟 统计量检验统计量值P值延迟6期75.460.0001延迟12期82.570.0001结论：拒绝原假设即该序列是非白噪声序列平稳非白噪声序列的建模及预测平稳时间序列分析差分运算一阶差分p阶差分k步差分延迟算子延迟算子与差分运算k阶差分k步差分线性差分方程 AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Aver

5、age Model） ARMA模型（Auto Regression Moving Average model）AR模型具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p)AR(p)序列中心化变换令今后都简化为对中心化模型进行分析AR模型p阶自回归系数多项式AR模型平稳性判别 图示法特征根判别法平稳域判别法例子 例1.考察如下四个模型的平稳性时序图图示法时序图时序图时序图特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的特征根都在单位圆内AR(p)模型平稳的充要条件是自回归系数多项式的根都在单位圆外平稳域判别AR(p)模型的平稳域AR(1)模型的平稳域AR(2)模型的平稳域例子 例2.考察如下四个模

6、型的平稳性模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳平稳AR模型自相关系数的性质拖尾性呈复指数衰减例子 例3.考察如下AR模型的自相关图平稳AR模型偏自相关系数的截尾性例4.考察如下AR模型的偏自相关图MA模型具有如下结构的模型称为q阶移动平均模型，简记为MA(q)MA模型q阶移动平均系数多项式例子 例5.考察如下MA模型的相关性质自相关图自相关图偏自相关图偏自相关图MA模型的可逆性自相关系数的不唯一性自相关系数和模型之间不是一一对应给模型增加约束条件可逆性条件MA(q)模型的可逆条件特征根判别MA(q)模型可逆的充要条件是它的特征根都在单位圆内MA(q)模型可逆

7、的充要条件是移动平均系数多项式的根都在单位圆外MA(q)模型的可逆条件可逆域判别MA(q)模型的可逆域MA(1)模型的可逆域MA(2)模型的可逆域ARMA模型具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q)ARMA模型平稳条件ARMA(p,q)模型的平稳条件:可逆条件ARMA(p,q)模型的可逆条件:例子 例6.拟合下列模型ARMA(1,1), 并直观地 考察该模型自相关系数和偏自相关系 数的性质。 自相关系数拖尾性自相关图偏自相关系数拖尾性偏自相关图模型自相关系数偏自相关系数AR(p)拖尾P阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾ARMA模型相关性特征平稳序列

8、建模 建模步骤模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测YN建模步骤 计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数选择模型拖尾p阶截尾AR(p)q阶截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)模型识别模型识别的困难由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的ACF或PACF仍会呈现出小值振荡的情况由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数的增加，ACF与PACF都会衰减至零值附近作小值波动当ACF或PACF在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作相关系数截尾，什么情况下该看作相

9、关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？ 模型定阶经验方法如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。例子 例7.选择合适的ARMA模型拟合1950年 1998年北京市城乡居民定期储蓄 比例序列。时序图延迟 统计量检验统计量值P值延迟6期75.460.0001延迟12期82.570.0001该序列是非白噪声序列自相关图自相关系数拖尾偏自相关图偏自相关系数1阶截尾AR(1)模型例子 例8.选择合适的ARMA模型拟

10、合美国科罗 拉多州某一加油站连续57天的 OVERSHORT序列 时序图自相关图自相关系数1阶截尾偏自相关图偏自相关系数拖尾MA(1)模型矩估计极大似然估计最小二乘估计参数估计例子 例7续.确定1950年1998年北京市城乡 居民定期储蓄比例序列拟合模型的 口径 拟合模型:AR(1)估计方法:极大似然估计模型口径:例子 例8续.确定美国科罗拉多州某一加油站连 续57天的OVERSHORTS序列拟合 模型的口径 拟合模型:MA(1)估计方法:最小二乘估计模型口径:模型检验模型的显著性检验整个模型对信息的提取是否充分参数的显著性检验模型结构是否最简残差项是否含有相关信息每一个参数是否显著非零模型的

11、显著性检验检验目的检验模型的有效性,对信息的提取是否充分判定原则残差序列是否为白噪声序列检验对象残差序列参数的显著性检验检验目的删除不显著参数使模型结构最精简 判定原则每一个未知参数是否显著非零检验对象模型参数例子 例7续.检验1950年1998年北京市城乡 居民定期储蓄比例序列拟合模型的 显著性 延迟阶数LB统计量P值检验结论65.830.3229拟合模型显著有效1210.280.50501811.380.8361残差白噪声检验检验参数t统计量P值结论均值46.120.0001显著6.720.0001显著参数显著性检验例子 例8续.对OVERSHORTS序列的拟合模型 进行检验 检验参数t统

12、计量P值结论均值3.750.0004显著10.600.0001显著延迟阶数LB统计量P值结论63.150.6772模型显著有效129.050.6171残差白噪声检验参数显著性检验模型优化问题提出当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。优化目的选择相对最优模型 例子 例9.拟合某一化学反应序列时序图白噪声检验结果自相关系数2阶截尾MA (2)模型偏自相关系数1阶截尾AR (1)模型检验参数t统计量P值结论均值39.840.0001显著2.660.0099显著-2.540.0134显著延迟阶数LB统计量P值结论62.280.6842模型显著有效124.460.92421810.790.82252413.710.9115模型一的残差白噪声检验模型一的参数显著性检验MA (2)有效检验参数t统计量P值结论均值55.550.0001显著-3.670.0005显著延迟阶数LB统计量P值结论64.600.4670模型显著有效1