高中数学选修4-4配北师版-课后习题Word版第一章　§3　柱坐标系和球坐标系

1、第一章DIYIZHANG坐标系3柱坐标系和球坐标系课后篇巩固探究A组1.在空间球坐标系中,方程r=202,02表示()A.圆B.半圆C.球面D.半球面解析由球坐标系的定义知,r=202,02表示半球面,故选D.答案D2.设点M的直角坐标为(-1,-3,3),则它的柱坐标是()A.2,3,3B.2,23,3C.2,43,3D.2,53,3解析设点M的柱坐标是(r,z),则r=(-1)2+(-3)2=2,=43,z=3,故点M的柱坐标是2,43,3,故选C.答案C3.在空间坐标系中的点M(x,y,z),若它的柱坐标为3,3,3,则它的球坐标为()A.3,3,4B.32,3,4C.3,4,3D.32

2、,4,3解析点M的柱坐标为M3,3,3,x=3cos3=32,y=3sin3=332,z=3.M点的直角坐标为32,332,3.设点M的球坐标为(r,),r=94+274+9=32,tan =yx=3,cos =zr=332=22,=3,=4,球面坐标为32,4,3.答案D4.若点P的柱坐标为4,3,3,则P到直线Oy的距离为()A.1B.2C.3D.7解析因为点P的柱坐标为4,3,3,所以点P的直角坐标为4cos3,4sin3,3,即P(2,23,3),因此,P到直线Oy的距离为22+(3)2=7.答案D5.若点M的球坐标为3,56,53,则点M的直角坐标为.解析设点M的直角坐标为(x,y,

3、z),则x=3sin56cos53=34,y=3sin56sin53=-334,z=3cos56=-332.故点M的直角坐标为34,-334,-332.答案34,-334,-3326.在柱坐标系中,已知A1,2,0,B1,2,2及O(0,0,0)三点,则ABO的面积为.解析由题意得,点A的直角坐标为(0,1,0),点B的直角坐标为(0,1,2),所以ABO为直角三角形,OAB=90,所以SABO=12|OA|AB|=1212=1.答案17.已知点P的柱坐标为2,4,5,点B的球坐标为6,3,6,求这两个点的直角坐标.解设点P的直角坐标为(x,y,z),则x=2cos4=222=1,y=2sin

4、4=1,z=5.设点B的直角坐标为(x,y,z),则x=6sin3cos6=63232=364,y=6sin3sin6=63212=324,z=6cos3=612=62.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为364,324,62.8.在柱坐标系中,求满足r=1,02,0z2的动点M(r,z)围成的几何体的体积.解根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满足r=1,02,0z2的动点M(r,z)的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱,如图所示.圆柱的底面半径r=1,h=2.所以V=Sh=r2h=2.9.已知在球坐标系中,M6,3,3,N6,23,3,求|MN|.解(方法一)由题意

5、知,|OM|=|ON|=6,MON=3,MON为等边三角形.|MN|=6.(方法二)设点M的直角坐标为(x,y,z),则x=6sin3cos3=332,y=6sin3sin3=92,z=6cos3=3.故点M的直角坐标为332,92,3,同理得点N的直角坐标为332,92,-3,故|MN|=323-3232+92-922+(3+3)2=0+0+62=6.B组1.在空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()A.1,2,2B.2,3,0C.3,4,6D.3,6,2答案A2.已知空间直角坐标系Oxyz中,点M在平面yOz内,若点M的球坐标为(r,),则应有()A.=2B.=2

6、C.=2或=32D.=2或=32解析由点M向平面xOy作垂线,垂足N一定在直线Oy上,由极坐标系的意义知=2或=32.答案D3.若点P的柱坐标为2,6,3,则点P到直线Oy的距离为()A.1B.2C.3D.6解析由于点P的柱坐标为2,6,3,故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为2cos6=3,故点P到直线Oy的距离为(3)2+(3)2=6.答案D4.已知点M的球坐标为22,6,4,则点M的柱坐标为()A.22,4,6B.2,6,22C.2,4,6D.2,6,2解析设点M的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(,z),则x=rsincos=22sin6cos4=1,y=rsinsin=2

7、2sin6sin4=1,z=rcos=22cos6=6,所以点M的直角坐标为(1,1,6),又=x2+y2=2,tan=102,所以点M的柱坐标为2,4,6.答案C5.已知在柱坐标系中,点M的柱坐标为2,23,5,且点M在y轴上的射影为点N,则|OM|=,|MN|=.解析设点M在平面Oxy上的射影为点P,则PN为线段MN在平面Oxy上的射影.MN直线Oy,MP平面xOy,PN直线Oy.|OP|=2,|PN|=cos23=1.|OM|=2+z2=22+(5)2=3.在RtMNP中,MPN=90,|MN|=|PM|2+|PN|2=(5)2+12=6.答案366.如图,长方体OABC-DABC中,|OA|=3,|OC|=3,|OD|=2,AC与BD相交于点P,分别写出点C,B,P的柱坐标.解AOC=2,|OC|=3,点C的柱坐标为3,2,0.|OB|=32+32=32,|BB|=2,AOB=4,点B的柱坐标为32,4,2.同理,点P的柱坐标为322,4,2.7.如图,在柱坐标系中,已知点O(0,0,4),A(3,A,4),B1(3,B1,0),其中A-B1=60,求直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角和AB1的长.tan3734解如图,连接O1B1,作OBO1B1,交上底圆周于点B,连接AB,BB1,AOB=60,则OAB为等边三角形.BB1OO1,BB1与AB1所成的