高中数学选修2-1配北师版-课后习题Word版-第二章　空间向量与立体几何§2　第2课时　空间向量的数量积

1、第2课时空间向量的数量积课后篇巩固提升A组1.下列命题中正确的是()A.(ab)2=a2b2B.|ab|a|b|C.(ab)c=a(bc)D.若a(b-c),则ab=ac=0答案B2.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是()A.2BAACB.2ADDBC.2FGACD.2EFCB答案C3.如图,已知PA平面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=1,则PC等于()A.2B.1C.2D.4答案C4.已知a,b是两个非零向量,现给出以下命题:ab00,2;ab=0=2;ab02,;|ab|=|a|b|=.其中正确的

2、命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C5.若|a|=|b|,且非零向量a,b不平行,则a+b与a-b所在直线所形成的角的大小是.答案26.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则ab+bc+ca的值为.答案-137.已知空间向量m,n,设|m|=1,|n|=2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,求.解(2m+n)(m-3n),(2m+n)(m-3n)=0,又|m|=1,|n|=2,mn=-2,又|a|=(4m-n)2=16+4+16=6,|b|=(7m+2n)2=49+16-56=3,ab=(4m-n)(7m+2n)=28|

3、m|2-2|n|2+mn=18,cos=ab|a|b|=1863=1,=0.8.如图,在四面体A-BCD中,AB=2,BC=3,BD=23,CD=3,ABD=30,ABC=60,求AB与CD的夹角的余弦值.解CD=BDBC,ABCD=ABBDABBC=|AB|BD|cos-|AB|BC|cos=223cos 150-23cos 120=-6+3=-3,cos=ABCD|AB|CD|=-323=-12,AB与CD的夹角的余弦值为12.9.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若侧面对角线AB1BC1,求证:A1CAB1.证明由题意,设BA=a,BC=b,BB1=c,|a|=|b|=m,|c|=

4、n,则ab=m2cos 60=m22,ac=bc=0.AB1BC1,且AB1=AB+BB1=-a+c,BC1=b+c,AB1BC1=(-a+c)(b+c)=-ab+c2=n2-12m2=0,即m2=2n2,AB1A1C=(-a+c)(A1A+AB+BC)=(-a+c)(-c-a+b)=a2-c2-ab=m2-n2-12m2=0,A1CAB1.B组1.设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,下列命题:(ab)c-(ca)b=0;|a|-|b|a-b|;(ba)c-(ac)b不与c垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有()A.B.C.D.答案D2.平行六面

5、体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,则AC1的长为()A.13B.23C.33D.43答案B3.已知空间向量a,b满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为3,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足OA=2a+b,OB=3a-b,则OAB的面积为()A.523B.543C.743D.114答案B4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,用向量法证明:A1O平面GBD.证明设A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则ab=0,bc=0,ac=0.而A1O=A1A+AO=A1A+12(A

6、B+AD)=c+12(a+b),BD=ADAB=b-a,OG=OC+CG=12(AB+AD)+12CC1=12(a+b)-12c,所以A1OBD=c+12a+12b(b-a)=c(b-a)+12(a+b)(b-a)=cb-ca+12(|b|2-|a|2)=12(|b|2-|a|2)=0.所以A1OBD.所以A1OBD.同理可证A1OOG,所以A1OOG.又因为OGBD=O,且A1O平面GBD,所以A1O平面GBD.5.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1AB=A1AD=BAD=60,AA1=AB=AD=3.(1)求|AC1|;(2)求证:AC1平面A1BD;(3)求AB1与A1D的夹

7、角.(1)解令AB=a,AD=b,AA1=c,则AC1=a+b+c,|AC1|=|a+b+c|=(a+b+c)2=(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)12=3+3+3+23312+23312+2331212=32.(2)证明A1B=a-c,AC1A1B=(a+b+c)(a-c)=a2-ac+ba-bc+ca-c2=0.AC1A1B,又A1D=b-c,同理AC1A1D,AC1垂直于平面A1BD内的两条相交直线A1D,A1B,AC1平面A1BD.(3)解cos=AB1A1D|AB1|A1D|=(a+c)(b-c)|a+c|b-c|=-3233=-36.AB1与A1D的夹角为-arccos36.6.如图,正方形ABCD与正方形ABEF的边长均为1,且平面ABCD平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动.若CM=BN=a(0a2).(1)求MN的长度;(2)求当a为何值时,MN的长最小.解(1)由题意,得AC=2,BF=2,CM=BN=a,AM=1-a2AC,NF=1-a2BF.NM=NF+FA+AM=1-a2BF+FA+1-a2AC=1-a2(BE+BA)+FA+1-a2(AB+BC)=1-a2(BE+BA)-BE+1-a2(-BA+BC)=1-a2BCa2B