高中数学选修1-1配人教A版-课后习题2.1.2　椭圆的简单几何性质

1、2.1.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若椭圆x2a2+y25=1(a5)的长轴长为6,则它的焦距为()A.4B.3C.2D.1解析椭圆x2a2+y25=1(a5)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4,故选A.答案A2.已知椭圆C的短轴长为6,离心率为45,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A.9B.1C.1或9D.以上都不对解析因为椭圆C的短轴长为6,所以b=3,又因为离心率为e=ca=45,a2=b2+c2,所以a=5,c=4,所以椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a+c=9或a-c=1,故选C

2、.答案C3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(-3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是()A.x24+y2=1B.x2+y24=1C.x23+y2=1D.x2+y23=1解析一个焦点为(-3,0),焦点在x轴上且c=3.长轴长是短轴长的2倍,2a=22b,即a=2b,(2b)2-b2=3.b2=1,a2=4,故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.答案A4.已知椭圆y2a2+x2=1(a1)的离心率e=255,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为()A.32B.2C.52D.3解析由题意可得a2-1a2=2552,解得a2=5,所以椭圆的标准方程为y2

3、5+x2=1.设椭圆上点的坐标为P(x,y),且-1x1,-5y5,则y2=5(1-x2),故|PB|=(x+1)2+y2=(x+1)2+5(1-x2)=-4x2+2x+6=-4x-142+254,当x=14时满足条件,所以|PB|max=52.答案C5.曲线x225+y29=1与曲线x225-k+y29-k=1(k9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析由于kb0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45解析由题意得|PF2|=|F1F2|,所以232a-c=2c,所以3a=4c

4、,所以e=34.答案C7.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为.解析由题意知,当椭圆上点在短轴端点时,三角形的面积取最大值,即有bc=2,a2=b2+c22bc=4(其中b0,c0),a2,当且仅当b=c=2时取“=”.2a4,即椭圆长轴长的最小值为4.答案48.椭圆的一个焦点将长轴长分成32两部分,则这个椭圆的离心率为.解析依题意有(a+c)(a-c)=32,所以a=5c,故离心率为e=ca=15.答案159.(1)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,右焦点为(2,0),求椭圆C的方程;(2)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1

5、(ab0)经过1,32,一个焦点为(3,0),求椭圆C的方程.解(1)由右焦点为(2,0),则c=2,又e=ca=63,所以a=3,b2=a2-c2=1,椭圆C的方程为x23+y2=1.(2)由题意得1a2+34b2=1,a2-b2=3,解得a=2,b=1,所以椭圆C的方程是x24+y2=1.10.已知椭圆x24+y23=1,试问在椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F与到直线x=4的距离相等?解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F与到直线x=4的距离相等.设M(x,y)(-2x2),则(x-1)2+y2=|x-4|,两边平

6、方得y2=-6x+15.又由x24+y23=1,得y2=31-x24,代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,于是x=4.但由于-2x2,所以符合条件的点M不存在.能力提升1.若点A(1,m)在椭圆C:x24+y22=1的内部,则实数m的取值范围是()A.(-6,6)B.-62,62C.-,-6262,+D.-32,32解析由题意知,124+m220,k1,a0)表示椭圆,费马所依据的是椭圆的重要性质:若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A,B两点)引垂线,垂足为Q,则PQ2AQBQ为常数.据此推断,此常数的值为()A.椭圆的离心率B.椭圆离心率的平方C.短轴长与长轴长的比D.短轴长与

7、长轴长比的平方解析设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),取P为椭圆的上顶点,则Q为原点.PQ=b,AQ=BQ=a,则PQ2AQBQ=b2a2.故选D.答案D4.已知以坐标原点为中心的椭圆,一个焦点的坐标为F(2,0),给出下列四个条件:短半轴长为2;长半轴长为22;离心率为22;一个顶点坐标为(2,0).其中可求得椭圆方程为x28+y24=1的条件有(填序号).解析只需保证a=22,b=2,c=2即可,而椭圆的顶点坐标为(0,2),(22,0),故可求得椭圆方程为x28+y24=1.答案5.若分别过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1,

8、l2的交点在椭圆上,则此椭圆的离心率的取值范围是.解析设两直线的交点为M,令|MF1|=d1,|MF2|=d2.由椭圆的定义,可得d1+d2=2a.MF1MF2,d12+d22=4c2.(d1+d2)2=d12+d22+2d1d22(d12+d22),当且仅当d1=d2=a时等号成立,即4a22(4c2),a2c,ca22,即e22.又e1,22eb0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且PF1PF2=c2,求椭圆离心率的取值范围.解设P(x0,y0),则PF1=(-c-x0,-y0),PF2=(c-x0,-y0),所以PF1PF2=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=x02-c2+y02.因为P(x0,y0)在椭圆上,所以x02a2+y02b2=1.所以y02=b21-x02a2,所以PF