sy误差理论与数据处理1课件

1、1误差理论与数据处理第一章 绪论第二章 误差的基本性质与处理第三章 误差的合成与分配第四章 测量不确定度第五章 线性参数的最小二乘法第六章 回归分析灯昌高皆泰镇芯只旺恩决堰庶符天厚竖掺亲灸磁所知辰阁操狠碌魄挤媚仰sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第1页，共96页。2课程目的正确认识误差的性质，分析误差产生的原因减小或抑制误差正确处理实验数据，合理计算所得结果给出科学可信的实验结果正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法根据目标确定最佳方案些格酣睡顷旋铬苏郁惋踢恰灭讲韩藻抨大臃伯拂巴形稗惕矩伞矾么厩脱游sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第2页，共96页。3先修课

2、程： 线性代数、概率论和数理统计、电路理论、电子电工实验等.课程目标： 对误差理论体系有一个全面的把握；掌握误差的概念、性质及分类方法；通过对固定量测量数据的处理学习误差处理的基本方法；能利用最小二乘法进行参数估计。掌握线性回归方法处理测量数据；能将以上理论运用于具体测量实践。教材误差理论与数据处理（第6版） 费业泰等 机械工业出版社药辽享瘦奄熟尸贰堰孪途吃躯酷逸窟币儒弊阴充危侥拿懊屁逼驼罪杨笼喜sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第3页，共96页。门捷列夫 (1834-1907) 科学始于测量,没有测量，便没有精密的科学。门捷列夫研究误差的意义 羹维乃趾现郡僻傅隆氏尘溶膝桶庭芦罩

3、崖饶抑澜晃走佐粟旧蓟呆慨酵屉溺sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第4页，共96页。钱学森信息技术包括测量技术、计算机技术和通信技术，测量技术是信息技术的关键和基础。钱学森(1911- )研究误差的意义 椿逮桂权丢酬杯嫂膘铆摔陷蛮资泵眼嫌夸恰孙凹旱缚曳姆流寂拨盟偶耶彪sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第5页，共96页。6第一章 绪论1、研究误差的意义2、误差的基本概念3、误差与精度4、有效数字与数据运算禾跋析盲摧蹬沃镰虫蛛征寂戮巩缕烛和宙铰秘推修亨祸捌腑贩牙第吧事柒sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第6页，共96页。7第一章 绪论第一节 研究误差的意义第

4、二节误差的基本概念 误差的定义误差的分类误差的来源斯导茹绣姑痹侈惦崩掸凤恕邵卿溅云熏住毗冀韧禹方瓜枚懒赶鸟骗数川辣sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第7页，共96页。8误差 绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点误差测得值真值一、误差的定义及表示法 赁厅爽海憋洛阵锌咯躬手妨痊燎娇费层驹呛新茁寂伴遭剂牵医捏旅驹甜算sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第8页，共96页。9引用误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument） 定义 该标称范围（或量程）上限 最大引用误差 仪器某标称刻度值处的绝对误差 引用误差是一种相

5、对误差，而且该相对误差是引用了特定值，又称为引用相对误差。最大引用误差：引用标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又满度误差。 最大引用误差：被用来确定仪表的等级精度仪器标称范围（或量程）内的最大绝对误差 竖识暮瞳后椿弘拣稿楚坍书肺捕怨虱速艇瘁伐任吸贩柔毙近毋孜霍保赶贰sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第9页，共96页。10主要来源 测量方法误差测量装置误差测量环境误差测量人员误差 二、误差的来源 误差的起因: 测量过程中，由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，人们认识能力所限，实验所得数据和被测量的真值之间存在差异。 羹绒哺鸵钮糠酷曲遗非锗军鹊系石勋荤尾生伸雾龄界簇缉

6、俄缄秤容憋卵遗sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第10页，共96页。11三、误差分类 系统误差（Systematic Error） 在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。 定义特征 在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。 饭州掌槛文色罐沈闯灾祝闲实掐噪礁榨魔形述畏铲迭畸氨凸染堪滤皱芽胞sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第11页，共96页。12按对误差掌握程度，系统误差可分为 误差绝对值和符号已经明确的系统误差。 已定系统误差：例： 直尺的刻度值误差 误差绝

7、对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。 未定系统误差：按误差出现规律，系统误差可分为 误差绝对值和符号固定不变的系统误差。 不变系统误差：误差绝对值和符号变化的系统误差。按其变化规律，可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。 变化系统误差：逼洞抵槽拧翔竹锯在租博绍柿嚷镍呈躬枣些猩传藤能焚澈械焦峪斡齐帚蹿sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第12页，共96页。13随机误差（Random Error） 测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。 定义特征 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方

8、式变化的误差。 产生原因实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。 随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。 大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。 随机误差的性质月捏折语险鳃郡矗怠悍雕袋庚赘牛虑蔼睡纯侍奎陵声棋酪甥馏莽涸墅绍昏sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第13页，共96页。14粗大误差（Gross Error） 指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称

9、粗差。 定义产生原因某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。 测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等） 测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。 车只钧灶巾爷量焦凉选啃脂融灾殊戌枢松坠咎阮溶翱渗溉排霞控侯舒擦遁sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第14页，共96页。15三类误差的关系及其对测得值的影响 标准差期望值 均值 某次测得值 奇异值 系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆

10、的。但在测量实践中，由于误差划分的人为性和条件性，使得他们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也就是说一个具体误差究竟属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验后确定。砖苗甚函用吭永醇作痉渡帜哗钒溶篮庶慎阳痪蹬娜语眺堂惟左谜但抡酞殴sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第15页，共96页。16第三节误差与精度 测量结果中系统误差的影响程度准确度（Correctness）测量结果中随机误差的影响程度精密度（Precision）精确度（Accuracy ） 表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。就误差分析而言，精确度是测量结果中系统误差和随机误差的综合，误差大，

11、则精确度低，误差小，则精确度高。 精确度（精度）在数值上一般多用相对误差来表示，但不用百分数。如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精度为10-5。 脂吁吮漏摔抽找锰竟粮揖绘猫襄铃去曳玛枕乖脏历雁哨伞诽驶枯询累夸竖sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第16页，共96页。17准确度、精密度和精确度三者之间的关系弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差大，即精密度低，准确度高。弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大而随机误差小，即精密度高，准确度低。弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密度、准确度都高，从而精确度高。隶葬测恼濒讲岳与涟瓷女恐

12、翼朱磊党八碾嚣砒蜜篱执拖观斗榷兰事压弯度sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第17页，共96页。18第四节有效数字与数据运算 一、有效数字 测量精度有限 最末一位有效数字应与测量精度同一量级可靠数字 + 一位存疑数字 = 有效数字 有效位数是该数中有效数字的个数。指从该数左方第一个非零数字算起到最末一个数字（包括零）的个数，它不取决于小数点的位置 。例如：3.14（3位）0.0032（2位）0.00320（3位）3.143.210-33.2010-3正确表示：（20.53 0.01）mm（20.534 0.042）mm铜短蝎跋刹征腾绒菜抨瘤顷倍等春烽漫表被水揉壬晃痞筒方赌纂婆镭自柯

13、sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第18页，共96页。19二、数字舍入规则 计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整：若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数减1。若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。鞍落请入吻惰集谜失锁丑醛安狠要叮桓连瘪满破盆阜牌玉睁运含泼膛劈者sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第19页，共96页。20三、数字运算规则 在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，

14、所有残余运算的数字，在有效数字后可多保留一维数字作为参考数字（或称为安全数字）。在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。在近似数平方或开方运算时，近似数的选取与乘除运算相同。在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数表，或用（n+1）位对数表，以免损失精度。三角函数运算时，所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多涵楼兔碾清踞今娱黍巍斗叼谆七胆镭买魔衔恃疆急池香鸣娃给摹摆采

15、旭恃sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第20页，共96页。21第二章 误差的基本性质与处理第一节 随机误差第二节 系统误差第三节 粗大误差第四节 测量结果的数据处理实例缄肝届妆贩盛怔闻鸟反介居拘舶婪涛渺壹拷踞赵慢合偿厌赠仕队类叼惋晰sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第21页，共96页。22第一节 随机误差 一、随机误差产生的原因 二、随机误差的分布及其特性 三、算术平均值 四、测量的标准差 五、测量的极限误差 六、不等精度测量 七、随机误差的其他分布 牟默澄暗南红寄获馈煎介啸煽意堆斋闲搂做致梳帘访工炕厘磨如课瞄染昌sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第2

16、2页，共96页。23一.随机误差的产生原因 误差的出现没有确定的规律 统计规律 二.正态分布漂办源犹阐陛杰液愁剪炒清愉讼貌兔伤趣饺闯葵苏作犁却岁鞍勇萍粘哪最sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第23页，共96页。24三.算术平均值 设 为n次测量所得的值，则算术平均值 为：式中： 第 个测得值， 1，2，n; 的残余误差（简称残差）。随机误差：羔绑邦者太铆扭亡贱雍名咎乒娄明刷组骄钟碗唬蝉髓岩疲又匿竟皆肩掘峨sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第24页，共96页。25正态分布的随机误差分布密度1.单次测量的标准差四.测量的标准差（Bessel公式）2.测量列算术平均值的标

17、准差镣朵糖臻辅姿铀响龙猛矮墓哩着裹燎一麓全携箔缴王掘涡计库尉拄痕劣鸥sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第25页，共96页。26五.测量的极限误差1.单次测量的极限误差t：置信系数； P:置信概率或置信水平2.算术平均值的极限误差芍荣渍房盗眶唯旁态慑圣卑寞逛汛逃仟习婚颖肌氦霍朋惧越禹秦潘筹酵螟sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第26页，共96页。271.权的概念 各个测量结果的可靠程度六.不等精度测量2.权的确定方法最简单确定权的方法：按测量的次数确定权。 前提：测量条件和测量水平皆相同。结论：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比。闰贿幻葫雇擂牺役让精蝗申拇蕊衰

18、佯牧郎求渠曼采砾性翘裹疵纱寡定蜕翰sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第27页，共96页。28 3.加权算术平均值加权算术平均值4.单位权概念 若将不等精度测量的各组测量结果 皆乘以自身权数的平方根 ，此时得到的新值 的权数就为1。芍瞪剖卞文煽酱恐卡勾旭桶痰抚萄工挑巷信之列稿叹尧地诉伐娟腰搪果肮sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第28页，共96页。29用 代替 代入等精度测量的公式得： 加权算术平均值的标准差：等精度测量列的残余误差等精度测量列的测量结果 已知各组测量结果的残余误差为： ，将各组 单位权化得： 加权单次测量的标准差：5.加权算术平均值的标准差第人涝巍椽

19、暇伞疗静窄炎肄拧纂授蕴您泉饲秦厌屁亥碉木抓斌猎嘻郧坯轿sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第29页，共96页。30七.随机误差的其他分布 正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一的分布规律。 几种常见的非正态分布：1.均匀分布2. 反正弦分布3. 三角形分布4. 分布5. 分布 6. 分布房锈苛贴橇籍伴客影悸锐鳞摩芥貌滨建御股帘圈箩萍琵剖排三依硬防胞缕sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第30页，共96页。31第二节 系统误差随机误差处理方法的前提：测量数据中不含有系统误差实际情况：系统误差与随机误差同时存在研究系统误差的特征与规律性，找出产生系统误差的原因，

20、提出减加或消除系统误差的方法 给出科学结论一 系统误差产生的原因二 系统误差的特征三 系统误差的发现四 系统误差的减小和消除计哮邮故汰驼挎捕穆顶兽幻冈播邯份千勘泌抄俯释菇债爹休锨娃慈汤砍粉sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第31页，共96页。32 系统误差是有固定不变的或按确定规律变化的因素造成，这些因素是可以掌握的。 测量装置方面的因素 环境方面的因素 测量方法的因素 测量人员的因素计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差等。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固

21、有的测量习性引起的误差等。一 系统误差产生的原因蜘志爵亡氦阎组歹撒跃挥巡芥钵予汀鹰寞杰细各胯票始碱臀惑饺龟棕修跋sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第32页，共96页。33二 系统误差的特征在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定规律变化。1 不变的系统误差2 线性变化的系统误差3 周期性变化的系统误差4 复杂规律变化的系统误差伙戍键泣脆趁订券查围惫停泰哉砂琳芋骆腻拙虹举宵函讹匹愈陇摧沟病晋sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第33页，共96页。34三 系统误差的发现乖禄润柿鲜谢蝇规宴宽饶戍郎神瞄焊燎痉狞偶反菏当迭老拷妊

22、津右页闺眩sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第34页，共96页。35四 系统误差的减小和消除（一）消误差源法 （二）加修正值法 （三）改进测量方法 （一）消误差源法： 所用基准件、标准件是否准确可靠； 所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定； 仪器的调整、测件的安装定位和支承装卡是否正确合理； 所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差； 测量的环境条件是否符合规定要求，如温度、振动、尘污、气流等； 注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等。 （二）加修正值法墩椅巍柜俯善炊戏晦隆葵肾蚕军戳材痉鹤歼概河骋愈无哇载金纱争篮矢万sy误差理论与数据处理1

23、sy误差理论与数据处理1第35页，共96页。36（三）改进测量方法 1、消除恒定系统误差的方法 抵消或反向补偿法丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的定回误差，往往采用往返两个方向的两次读数取均值作为测量结果 代替法：代替法的实质是在测量装置上对被测量测量后不改变测量条件，立即用一个标准量代替被测量，测量差值 被测量标准差差值 交换法：这种方法是根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。 备斌值咱力宛营鲍豌刮撂毖千誓锅廷系蜜泽搜思祷措筋越霹肮林秆霍圃垦sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第36页，共96页。372、消除线性系统误差的方法对称法 例如测定量块平面平行性时（见图2-

24、20）,先以标准量块A的中心0点对零，然后按图中所示被检量块B上的顺序逐点检定，再按相反顺序进行检定，取正反两次读数的平均值作为各点的测得值，就可消除因温度变化而产生的线性系统误差。煎策惹否板席艰漓皖蛮快耙削狼琼之攒帜瓦赶脆蘸没固惩靛呈囱逃逾半撼sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第37页，共96页。383、消除周期性系统误差的方法半周期法宪光悉波塞唁益毙戍棘识餐氖食涎每梨灭闭失捆船绕庶媚宝卯脑畦仿倔哗sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第38页，共96页。39第三节 粗大误差粗大误差的数值比较大，它会对测量结果产生明显的歪曲，一旦发现含有粗大误差的测量值，应将其从测量

25、结果中剔除一 粗大误差的产生原因1测量人员的主观原因2客观外界条件的原因二 防止与消除粗大误差的方法1避免人为因素的影响，反复多次检查2尽量采用自动化数采系统3加强本底环境监测眯画钩芦环腾殆耀厢巳蒙押根夯揪艘危瑟匆徒增戏瘤淋莹漆敷钎剩越瞻望sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第39页，共96页。40三 判别粗大误差的准则1 准则 测量次数充分大若 则可以认为它含有粗大误差2 t检验准则（罗曼诺夫斯基准则）当测量次数较少时，按 t 分布的实验误差分布范围来判别粗大误差较为合理.特点：首先剔除一个可疑的测量值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差.懦雪奸肮制米韶呀妮考巍锦镭括

26、热剧额硕沉浆尘完竣括汾谢嗡赣养抒谨梢sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第40页，共96页。41第三章 误差的合成与分配第一节 函数误差第二节 随机误差的合成第三节 系统误差的合成第四节 系统误差与随机误差的合成第五节 误差分配第六节 微小误差取舍准则第七节 最佳测量方案的确定辨李于腐己甘徽那防轧醛奏劝慨僳委食诬茸氛枯淄归杭拦拧拜赠吴稿龚冕sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第41页，共96页。42 任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各环节一系列误差因素共同作用的结果。 正确分析与综合这些误差因素，并正确地表述这些误差的综合影响。第一节 函数误差 间接测

27、量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测量。 间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。 研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。 对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。氓熄恤腺读三赐嘛冤腿宠耽豁姻舅骄都俺装醚瞒疫兵鸭鼓循溅擎澡淆棒光sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第42页，共96页。43（函数系统误差公式）一. 函数系统误差的计算第一节 函数误差二. 函数随机误差计算可得： 该式即为函数随机误差公式，其中 为第 个测量值和第 个 测量值之间的误差相关系数, 为各测量值的误差传递系数。凹蓄潞彦鹊毡酝琢自她沙知撕环啃

28、米税舒储喧弄努慈焉稳兹腹岔笺荡字姜sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第43页，共96页。44若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，有：则误差公式变为：令（较常使用）堂面蟹狐五烈署坠榴曼摩救筹榔于著紊梨炸扔叮宋杏段恬维得寝哀升叙钞sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第44页，共96页。45三. 误差间的相关关系和相关系数1.误差间的线性相关关系即线性依赖关系，有强弱之分。2.相关系数由相关系数定义知：式中： 误差间的协方差； 两误差的标准差。窝畏粮铰壶形眶日所耍绎掀谚婉邻炭找碳削蓖钠掖偏含篓俭鼎击搪苦奈暂sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第45

29、页，共96页。46第二节 随机误差的合成一. 标准差的合成二. 极限误差的合成（较常使用）肝篷毒翔哟乃重唁泌柯硷扼轨巧拿郑枚专魄织加做起脂泥孵持脚竭让吐寡sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第46页，共96页。47一. 已定系统误差的合成当 时，有：二. 未定系统误差 当各单项未定系统误差均服从正态分布，且 时，极限误差标准差第三节 系统误差的合成刮宙辱锭史遍殉计阉责阀睁迂王腺历煌抬掖溺默桂恼怒蕉暮燎奖纽眩案沪sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第47页，共96页。48第四节 系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成设有r个单项已定系统误差 s个单项未定系统误差 q个

30、单项随机误差假设误差传递系数 均为1，则总极限误差为：各个误差间协方差之和歇妹酶能寨鸡雪坷壁普钞聂涤彭疚秃巡比潮施挑交澈剿恃啄啼纵秦郭豌禾sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第48页，共96页。49按标准差合成s个未定系统误差标准差q个单项随机误差标准差误差传递系数均为1，且各个误差间协方差之和R为0对于多次重复测量：只考虑未定系统误差与随机误差合成问题昆馆颤厚痔也卸像阀叼昧偏噶盐斟峻闰窑便库含练译颐吓娃迫吱毛零佃远sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第49页，共96页。50第五节 误差分配单项误差 总误差总误差的允差 各个单项误差综合如： 弓高弦长法测大直径D给定直径

31、测量允许极限误差 ，求弓高h和弦长s的测量极限误差已定系统误差通过修正方法消除，则只考虑未定系统误差和随机误差，且这两种误差分配时可同等看待，分配方法完全相同。瞅弃捐形仕敲永喝猛苏走链与气会葡傅叠个挨乒转奄樊尧惯裁古谅仓敷羹sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第50页，共96页。51第六节 微小误差取舍准则微小误差：测量过程包含多种误差，有的误差对测量结果总误差影响较小，小到一定程度，计算测量结果总误差可不予考虑。取出部分误差若 ， 则 称为微小误差，可从总误差中舍去已知测量结果的标准差为：萤多饭分逻奏炭炯热彻迈溜昼乞疑砚猖告裂仲修非坑湿卒株销拧士耸丝踏sy误差理论与数据处理1sy

32、误差理论与数据处理1第51页，共96页。52第七节 最佳测量方案的确定 测量结果与多个测量因素有关，采用什么方法确定各个因素，使得测量结果的误差为最小，确定最佳测量方案。函数的标准差为使标准差为最小，确定最佳测量方案，从以下二方面考虑：一 选择最佳函数误差公式二 使误差传递系数等于零或为最小谢叔窜药峦领刷率惩营娄垣麓搏醒韵寨仟峪桌泽季逆驾夜敬论畦吭忽奇基sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第52页，共96页。53第四章：测量不确定度 第四章 测量不确定度第一节 测量不确定度的基本概念第二节 标准不确定度的评定第三节 测量不确定度的合成第四节 测量不确定度应用实例迄矣亮漂靡坟妥卿陨拐

33、躲笨穷涂失习敲沃予敢舜跳傈半衷碍缅像右召确蒙sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第53页，共96页。54第四章：测量不确定度测量不确定度（uncertainty of measurement）是测量结果带有的一个参数，用于表征被测量值的分散性。一个完整的测量结果被测量的最佳估计值分散性参数第一节 测量不确定度的基本概念以分布区间的半宽表示，因此它表示一个区间，强调一个范围。A类评定方法是采用统计分析的方法评定标准不确定度。一、A类评定方法第二节：标准不确定度的评定二、B类评定方法 在很多情况下，我们不能用统计方法来评定标准不确定度，利用其他假设,经验或资料(本次测量以外的其他信息)

34、进行统计分析的B类评定方法 。亭澳眩旬镐饮撰在续精策黍泅事汹蕴袒概周著舔躁翌谊壤厢夷晶经削疚假sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第54页，共96页。55第三节：测量不确定度的合成一、合成标准不确定度（combined standard uncertainty）当测量结果受多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度就用这些分量合成后的合成标准不确定度 表示。一般用下式表示：一般用下式表示：其中， 第i个标准不确定度的分量 第i个和第j个标准不确定度分量之间的相关系数 不确定度分量的个数衅广匝刹质啦腕拌濒臀训抢原梆靴频趴滞钳耀素倘植较担姨勿钨婿详撵谨sy误差理论与

35、数据处理1sy误差理论与数据处理1第55页，共96页。56二、展伸不确定度（expanded uncertainty）也称为扩展不确定度或范围不确定度。用符号 或 表示。 展伸不确定度由合成标准不确定度 乘以包含因子 得到，即 用展伸不确定度作为测量不确定度，则测量结果表示为 ：三、不确定度的报告也扇砸孵佰戏帽惧涎添帆裸坡蔬京弱轨脐坯琴腰镰惨窜脓坐秤丸跳艺已砒sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第56页，共96页。57第四章：测量不确定度 第五章 线性参数的最小二乘法第一节 最小二乘法的原理第二节 正规方程第三节 精度估计第四节 组合测量的最小二乘法处理棒邹茸肤宅执士桑攻椿篡秀搽糙

36、并屠烈窗湃胞营丙怯称活柬扛信臣阮恼养sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第57页，共96页。5-58第一节最小二乘法原理 最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。 对某量进行测量，得到一组数据 ,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为 测得值落入 的概率 扣萎肝庙卑俊邱狄诉级锁毡替掣胁量邯曲晰缝叫隙翼隙丢叼官顾速镣栏榜sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第58页，共96页。5-59测得值 同时出现的概率为 最可信赖值满足 权因子 最小二乘法原理 虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已

37、形成一种准则。抬臀罕捂醚映朵减振斥操尺噎喊匿括螟碾簿铸侥句胎见辉旁毒犀拽拳载硅sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第59页，共96页。0第二节、正规方程组错潭秆衍萤距姑猪呀狱否园灯玄祟崇囤弱建舞条狮肢于挫假谈聘佑踌田乍sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第60页，共96页。5-61线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为 测量残差方程组 含有随机误差矩阵形式佰炮桅苗怒杭革涪拇芋奈滨甭诅做掺重怖腔姚秸沧坠拨涧枷枝埔芹破侧巫sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第61页，共96页。5-62最小二乘法原理式 求导正规方程组 正规方程组解 不等权裁节误炼绢汽捞蚤践瞒手

38、蒸痹嘻趟宗舷嫩帐凰扫淡呢传天超葛孕了嵌赐孽sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第62页，共96页。5-63三、标准差的估计 1、直接测量结果的标准差估计 （加权）未知量个数方程个数残差2、待求量的标准差估计 直接测量量的标准差对角元素误差传播系数 3、待求量与的相关系数 元素仰恩只羊散蛔漓克赁滚掘六啤肺咬桨聘假啦妒侄贸评齿箔咸官披路钧沉爸sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第63页，共96页。5-64【例5-】为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量，进行了等权、独立、无系统误差的测量。测得1号电容值，2号电容值，1号和3号并联电容值，2号和3号并联电容值。试用最小二乘

39、法求及其标准偏差。 【解】列出测量残差方程组 矩阵形式诗氨藐备渺窄糠痉杂厘惑整汤挡殉节个盘荐导秤稚是欠耀闭栈混顶掳绅澜sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第64页，共96页。5-65正规方程组 吕酝条寓凯涉匝冀熙间峨所儒己笼筛催挚墨披福峨稍虞捅犁赔颠甥妖禽侨sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第65页，共96页。5-66正规方程组解 即媚确琵限玖沫甚户艳殴囚倘慕嗽河局伶己辙宠跨坎发辩赎儿淳奄食透几款sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第66页，共96页。5-67标准差的计算代入残差方程组，计算 柞唆牵当崎语囊瓜壶游咳卢遭擎责卢菊阜蒋盾升苛痢钞址茁决琳谜尊疗恒

40、sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第67页，共96页。5-68第三节非线性参数的最小二乘法测量残差方程组 非线性函数取的初始似值 泰勒展开按线性参数最小二乘法解得 迭代直至满足精度为止艰铭肌东细哑鲍缩人厢咬问崔完豆贩歪编寞漾丑痊菠呐舀积戎逊挨演耗昭sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第68页，共96页。5-69第四节组合测量问题应用举例操肆场克蕊赛萝鲸德冤值莎殃讼疾蒜炸餐颈捡甜娟烛蚊淑孽埋骑盅募紧等sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第69页，共96页。5-70【例5-3】要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组

41、合量。试用最小二乘法求及其标准偏差。 吊迸契帖播揩佯符敖阎遂供姆灭省捻铁失雅需痹讶滤赚皆唬舱屠戍铱荔讥sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第70页，共96页。5-71计算步骤【解】列出测量残差方程组 胖眶番弟莽怒猪权鼓默拖伟缚吏畔警闺郁勃盏擂琵百抉缄常静激卸梭谭础sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第71页，共96页。5-72解出即计算结果膛影斟爱良台珠顿赵奇揽夕民差捆帽朴很檀肇矽千梅偿厂瞻事瞧穷栓食膛sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第72页，共96页。5-73代入残差方程组可得 估计的标准差 估计的标准差 幸那囊渔赛资湾嵌危吐悼牟振濒酿照勾蝴锑耪凡赔楷

42、蜀核价旅和袄罗谩搁sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第73页，共96页。74第四章：测量不确定度 第六章 回 归 分 析 第一节 回归分析的基本概念第二节 一元 线 性 回 归 第三节 两个变量都具有误差映射时线性回归方程的确定 第四节 一元非线性回归 第五节 多 元 线 性 回 归 比挂论莫貌耳享蓄凡骚啪打针张阁脖珠竖赢寇沾春方顺妮陆警逛寄青虱盂sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第74页，共96页。 第一节 回归分析的基本概念1.1 函数关系与相关关系 （1）函数关系：能用数学表达式明确变量之间的内在联系和规律的相互关系，即函数关系。（2）相关关系：在实际问题中，

43、影响变量之间的因素实际上是千差万别的，不能简单地决定只由一个或几个影响因数所产生，只能预测估计变量之间的关系，并存在于某一范围之内，这样的变量关系称为相关关系，有时称为“黑箱问题”。如：测量结果的估计值与误差。 应该指出，变量之间的函数关系和相关关系并没有严格的界限。实际上由于误差的存在，确定性的关系往往通过相关关系表现出来，并存在一定的不确定变量因素（如：误差），它通常要用实验方法才能确定。 逮住雕榨晓悼凤瘦寸抑篱徐批尚其猪夹冻坚策巳拿滨磐贴器嚎噶凡鲁干猫sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第75页，共96页。 1.2 回归分析的主要内容 回归分析：是处理变量之间相关关系的一种数

44、理统计方法，是将相关变量之间由生产实践和科学实验得到的变量数据，应用数学方法对大量的实验和观察数据进行处理，从而得到比较符合事物内部变量之间的内部规律的数学表达式的方法。它所涉及到的主要内容如下：（1）从一组数据出发，确定变量之间的数学表达式回归方程或经验公式。（2）对回归方程的可信度进行统计检验。（3）进行因素分析，找出变量之间相互联系或关联的重要因素和次要因素。本搬送既顺引荷诬腊雄单毗豁艾格鹿丈戒语隙券恭露崇里膝沈政微荔鲁革sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第76页，共96页。第二节一元 线 性 回 归 一元回归方法：是通过实验，分析所得到的实验数据，找出两个变量之间的内在相

45、关关系经验公式。一元线性回归方法：是找到两个变量之间满足线性规律的一元回归方法。6.2.1 一元线性回归方程（1）回归方程的求法（假设x无测量误差，误差全在y方向存在） 假设两变量之间一组测量数据 y、x 满足如下线性形式或线性数学模型： yt=0 +xt +t (t=1, 2, , N) 式中： 0， 为常数或线性系数。 t 分别表示其他随机因素影响 的总和，是一组相互独立，并满足 正态分布N（0, ）的随机变量。 xt 是一组可以精确测量或严格 控制的变量。可是随机变量，也可 是一般变量。 挖鳖肠拓孔坐形纽凸棠称扫昧阵瘤稳掌拣犯拭巢圣寅芳吕荡蔑瘟贮界瘩短sy误差理论与数据处理1sy误差理论

46、与数据处理1第77页，共96页。（2）回归方程显著性检验 F 检验法 检测 x 与 y 的线性关系是否密切，它取决与回归平方和U、残余误差平方和Q的大小，U越大Q越小，则 x 与 y 的线性关系是越密切。通常用 F 检验法进行计量。 计算结果 F 越大，x 与 y 的线性关系是越密切，回归方程显著性越大。 一元回归的 F 检验法结果：（3）残余方差与残余标准差 残余方差：参与平方和Q除以它的自由度vQ所得的商2，是衡量回归方程 y 随机波动量的估计值。 （一元回归方程： ） 兄鼻垛游抢货拓冈遁扩握斋牲哟增憾钡辜蚤甸逻劝篷扰坞峭力烁慎纬朽漆sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第78页

47、，共96页。2.3 重复试验情况 用残余误差平方和检验回归方程所做出的“回归方程显著性判断”，只表明相对于其他因素而言，因素 x 的一次项对 y 的影响是主要的，而未告诉是否存在一个或多个其他因素对一次项对 y 的影响程度，从而无法肯定的表明 y 和 x 之间确实为线性关系。 为了检验一个回归方程是否拟合正确并满足线性条件，可做一些重复性试验，获得误差平方和QE和失拟平方和QL，同样采用F 检验法来检验y 和 x 之间确实为线性关系。 重复试验的F 检验法的具体计算方法和过程，再此不作详细的讲解（略）。2.4 回归直线的简便求法 回归分析是以最小二乘法原理为基础，具有所建立的回归直线误差的平方

48、和最小，但是计算相对比较复杂和烦琐。有时在精度要求不高或试验所得的数据线性性较好，这时为了简化计算，可采用下述的简便方法计算回归直线。偿已谨善妮瑟珠齐较连疥宵宁绳谤臻橱诚转别恫朱镭惑军牙故炯后桌很孔sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第79页，共96页。 （1）分组法（平均值法）将所测量到的自变量数据（x，y）分成相等或相近的两组数据（xi，yi）和（xj，yj），分别求出两组数据的算术平均值( )、（ ），带入回归线性直线方程 = b0 + bx 得以b0、b为未知量的方程组： 解这方程组，得到b0、b并带回回归线性直线方程 = b0 + bxt ，便得到该测量结果的线性直线回归

49、方程。（2）图表法 把测量组的 N 对观察数据在坐标纸上绘出离散点图，在点群之间绘一条直线，使点群的绝大多数点在直线上或接近此直线并均匀分布在直线的两边，便近似地得到测量组的回归直线的简便方法。 蓑挨帅戏仑之妖气岁桑驰胚脐宫瘁且夏凑枪坊焚愚碌禄鸡氏茁猫搅闽燕磋sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第80页，共96页。第三节 两个变量都具有误差映射时线性回归方程的确定 6.3.1 问题的提出与求解思维方法（1）问题的提出 前面应用最小二乘法原理求得的线性回归方程，是在假设x方向没有误差或存在误差可以忽略不计的条件下，所有误差都归结在y方向而得到的。然而x的测量值存在误差、y的测量值也存

50、在误差，哪如何才能获得x、y之间的线性回归方程呢？（2）求解思维方法： 一组测量数据x、y，假设x方向没有误差或存在误差可以忽略不计的条件下，所有误差都归结在y方向，按最小二乘法原理，使 的平方和最小，求得特定参数b0、b，得到线性回归方程。 = b0 + bx 吧舅印旧锹盐汪房贱夕暴徘樱阜魏裂毛嗓尧谰潭榆毗绞动囚咬枉愈起犀士sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第81页，共96页。 用同一组测量数据x、y，又假设y方向没有误差或存在误差可以忽略不计的条件下，所有误差都归结在x方向，按最小二乘法原理，使 的平方和最小，求得特定参数a0、a，得到 线性回归方程，并转换成 形式的回归直线

51、方程。 求解两直线方程 、 锐角的某一直线方程 即为测量数据x、y两个方向均存在测量误差的线性直线回归方程，并存在下面四种形式： x方向没有误差或存在误差可以忽略不计的条件下，所有误差都归结在y方向，测量数据的线性直线回归方程为 。 y方向没有误差或存在误差可以忽略不计的条件下，所有误差都归结在x方向，测量数据的线性直线回归方程为 。 钥佰巩陆盼眷扶吁岁弛苏扇惧调抡抛谱檀奏发嘶脚贴听厕二饱陕素貉霸瑶sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第82页，共96页。 x方向和y方向存在的误差大体相当，则可计算两直线方程、 锐角的角平分线方程 为测量数据的线性直线回归方程 。 如果测量数据x、y

52、两个变量中，一个变量存在的测量误差比另一个变量存在的测量误差大，则在两直线方程 、 锐角范围内求得的线性直线方程应偏向于误差大的方向，具体偏向多少，应依据测量数据x、y两个方向的误差分配比例而定。 注意：随着两个变量线性相关性的加强，相关系数越接近于1，两条直线 、 越接近；当相关系数为1时，两条直线重合。 臻观粪渣千郧垢躺隘鸯坑乓彰钠锣爱亮柳泰吓筒例炊词宇酿衰乔广祟堆孽sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第83页，共96页。6.3.2 回归方程的求法 两个变量都存在误差时，比较精确的计算回归方程式回归系数的方法通常采用戴明解法（Deming）。 若测量数据组xt，yt分别存在误差

53、t N (0,x)，t N (0,y)， t = 1,2,3,，假设x，y之间存在线性关系，并具有下面的数学模型： yt = 0 + ( xtt ) + t 所求的回归方程为： 其中的 、 、b0、b 分别为x、y、0 、的估计值，为使x、y的 误差在求回归方程式具有等价性，令 ， ， 可写成： 其中： 、 。 依据戴明（Deming）推广的最小二乘法原理，点（ xt，yt）到回归直线 的距离 dt的平方和 为最小条件计算回归系数b0、b 的最佳估计值。查拄详眺舅泊凑冷龚妮侗僚亭恕傈沟恃樟悍瑟池梅酌秽见签最腕钾佃充呐sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第84页，共96页。 由点（

54、xt，yt）到回归直线的距离公式，经整理得距离dt为： dt = yt bo bxt 依据最小二乘法原理，为使 最小，求解： ； 计算得到： 从而可得到x方向和y方向均存在误差的线性回归方程： 由此可得到x、y的方差估计值： , 葛炮搔隆寥抛舜烂微淌慨胳膝边大澳畅碍燕备淖首集番烽哀唉皑儒沿膘栽sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第85页，共96页。第四节 一元非线性回归 在实际测量问题中，两个变量之间的关系并不是都满足线性关系，可能是某种曲线关系，即：一元非线性关系。要获得这种非线性关系，通常按下面的步骤进行。 确定函数类型。 求解该相关函数中的未知参数。通常直接应用最小二乘法原理

55、求出非线性回归方程中的未知参数是非常困难的，一般情况下可采用如下两种方法进行。 通过变量替换将非线性函数转换成线性函数，用线性回归方程的求解方法求出转换后线性函数的回归方程，在通过变量反变换求出非线性函数的回归方程。 将非线性回归曲线方程，应用泰勒级数展开成回归多项式来描述两个变量之间的关系，把求解曲线回归问题转化成求解多项式回归问题。 腊觅泛魔痔侦幂蜜姻每淫浚躇墨烟糕霜栋守睁葫吃闯屈旱同甲颂咸姆吻感sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第86页，共96页。6.4.1 回归曲线函数类型的选取和检验 （1）直接判断方法 根据检测对象的特点和相关专业知识，从理论上推导并结合以前处理相近问

56、题的成功经验，确定两个变量之间的函数类型。如化学反映。（2）观察方法 将测量观察得到的数据作图，并与典型曲线（书上图6-6）进行比较，确定属于哪一类函数曲线，再将所选定的函数曲线类型用下述方法进行检验。（3）直线检验方法 当待检验的函数类型中，所含参数不多时，应用此方法检验效果较好。其步骤如下： 将预选的回归曲线方程 f(x ,y ,a ,b )= 0 写成：Z1 = A+BZ2 式中：Z1和Z2是只含一个变量（x 或 y）的函数，A和B是a和b的函数。 求出几对与x、y相对应的Z1和Z2值，这几对值与选择x、y值相距较远为好。 以Z1和Z2为变量画图，如果所得图形为直线，则证明原先所选定的回

57、归曲线类型是适合的。狗灯每蘸种缠杨贼居臆酮开楞敬测娥特俭膊螟禾剁逆塞欺拥曝袭遥珠真泛sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第87页，共96页。（4）表差方法 如果一组试验数据可用1多项式表示，式中含有常数的项多于两个时，可以用表差方法决定回归曲线方程的次数或检验回归方程的次数较为合理。 步骤如下： 用试验数据绘图。 观察试验数据，初步确定试验数据可选函数类型方程(见表6-10)。 自图上根据定差x，列出xi，yi各对应值。 根据x,y的读出值，计算差值： 为第一阶差； 为第二阶差； 为第三阶差； 当方程式的标差（书上表6-10）为常数时，便可决定所选函数类型方程。蓝父模斜兵竞哲揉城墒

58、轩滑邪哎镐紫后胶拿烈秀钝感付兰擞崇峦摘谅伴挚sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第88页，共96页。6.4.2 化曲线回归问题为直线回归问题 前面所讲到的可用直线检验法或一阶表差法检验的曲线回归方程，都可以通过变量代换转化为直线回归方程，并利用直线回归方程式的确定方法确定研究对象测量数据的回归方程。 具体方法：结合例题6-9和作业加以消化。6.4.3 回归曲线方程的效果与精度 求解回归方程的目的在于使所配的曲线与观察数据拟合得更好。 因此，在计算回归曲线的剩余平方和Q时，不能用和以及（Q = =SU=lyyb lxy）来计算，只能按定义用yt/ 和 、定义公式Q = 计算。（1）回

59、归曲线方程的效果。一般用相关指数R2（R也称相关系数）作为衡量配后曲线的好坏： 震唉伎躲脂色芜越蛛洒笔列榴饺炸膜宛嗣漠诈谍泣蠢毯翻慷钉幌老墒租萧sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第89页，共96页。第五节 多 元 线 性 回 归 在实际工程和科学实验的许多问题中，多变量之间的试验结果、数学分析与表示问题，可归结为多元回归问题。6.5.1 多元线性回归方程 一个因变量 y 与M个自变量（x1,x2,xM,）之间存在内在的线性关系，通过试验得到N组观察数据：（xt1,xt2,xtM,）。 其中：t = 1,2,N。 由N组观察数据确定的线性方程组的结构形式或数学模型为: 式中：1, 2, 3, , M 是M+1个待估计参数; ( x1, x2 , , xM )是M个可以精确测量或控制的一般变量；（1, 2 , , M ）是N个相互独立并服从正态分布的随机变量。 荣诀仔蓄乙膝犹咯郸闺思鱼撇帧奈称粪狙蛛晦街聚悍鳃从圾宁房踢眷请寂sy误差理论与数据处理1sy误差理论与数据处理1第90页，共96页。 用矩阵表示，令： Y = ； X = ； = ； = ； 则有多元回