东南大学-数模期末试卷整理(含答案)

1、东南大学-数模期末试卷整理 （含答案）2009年6月.在本课程所介绍的若干模型中，请列举至少4个你最感兴趣的模型.迭代法是求非线性方程近似根的常用方法，已知y二/(1)，写出求工=%附近的近似根的牛顿割线法公式。. 一.已知加密矩阵4=，求4”(mod23)。.已知(K,y)的三个观察数据(1J),(2,4),(3,)，写出其逐步线性插值的插值函数.常微分方程 丁二 0.02.r(l-0.00l.t),A(0)二 100 的解为 O.考虑养老保险问题，假如某人30岁起保，每月交保费300元至60岁止，如果所交保费： 的月利率为，写出其第4的保费本息和及所满足的方程 0 II I!J ,；7.考

2、虑泛函J二(f+/f)M其对应的欧拉方程为。I I ;F0.75 0.05 0.2：8考虑马氏链(工.+ 1)用(4 + 1)内俏+ 1) =伪(初以初马)02 06 0.2 - ：0.4 0.2 0.4：则其平衡点为 (保留小数点后2位)。II II I二.量纲分析法建模问题(12分)考虑物体运动,质量为加的物体以初速度”抛出，证明下落的位移工与速度1入时间，及重力加速度g满足关系J =卬6W %, gt/vQ) c三，层次分析法建模问题（14分）1已知成对比较矩阵4= 311/2 1/4 1 （1）将上述矩阵的元素补齐.（2）计算上述矩阵模最大特征值（精确到小数点后2位）。（3）计算上述矩

3、阵的的随机一致性比率（C知随机一致性指标为0.58）。五.常微分方程建模问题(14分)考虑两种群的Vohcrra模型厂二。.051.00011|y = -0.1y + 0.000057(1)荏相平面上求解该方程(提示；求解生)。 dx(2)讨论该向题的平衡点。(3)计算平均意义下y的百分比。答案:.层次分析法、hill密码、logislic模型、传染病模型、贷款模型、抢渡长江等。. % =-/(4处-%)/(/(”)-/6“) mod23)? ?3.r-2JA-214-5x,2x3工 x = 1000/( J%.6.=项(1 + 尸)+300 7. 2x-e-r =0 8.(0.55, 0.2

4、0, 0.45)二.翳解初=”,% = LTv = LT x = L,r = r,g= A*4 分0 1110 1A= 1 0 0 0 0 0，外=0,火(4) = 32分0-1-101-2 .基础解系为：0,1,1,0,0,0,-叫,0,2 分无量纲物理量为：a = w01, a. = x/tva3 = g/ / v0有Backliam定律得/（见，匕x/g） = 与8（6，七，4）二等价。- 11/3 r三解 (1) 4= 3143分1/2 1/4 1/U)=|2-/11=(2-1)3-3(2-1)-13/6 = 03 分取九_3,迭代公式修+i=七一/(%)/5) A = 3.022+2

5、分a = ().0l,CR = 0.022十2 分Log(x)00.18230.33650.47000.6931Log(y)1.50411.58511.66581.74751.9095四解(1) 3分x与log（y）呈线性关系，经验公式形式为y二次/4分(2) A =11.21.41.62,Log 二L5041.5851.6661.7481.910log(y)=L()98+0.4()6x,或者 y = 3d .5/c-201 JIM-.J00、 八 (e y (e x ) = cj) = 2巧燃 Xu、巧,c = /(1000,200)(2)平衡点为(2000, 500)(3) 20%六解(1

6、) =0.9, =0.6, n*=IA818,0.446. 4*= 036,t, =0.71.2011-2012-3A1本课程介绍的数学模型分类方法是()A.按照数学模型的应用领域；B按照建模的数学方法；C.按照建模的目的；D.按照模型的表现特征。.在非线性方程求近似根时，下列论述正确的是()A.二分法总是可以求出近似根；B.牛顿切线法总是可以求出近似根；C.牛顿割线法总是可以求出近似根；D.以上都不对。.下列论述正的的是()A.一致矩阵一定能通过一致性检验：B,正互反矩阵一定是判断矩阵：C.能通过一致性检验的拉阵是一致矩阵；D.判断矩阵一定是一致矩阵。.对于初值很小的阻滞增长模型的描述正确的

7、是()A.增长率一直变大：R增长率一直变小：C.增氏率先增后减；D.增长率先减后增。If25.泛函J(x(/) = )2武，)+ -(/)/取极值的条件是()A. x-x+e = 0 ；C. x_x4e = 0； D.以上都不对。二.判断题(母题3处，灭15分)止确的于J，小止佛时于JX。.用无量纲量表示一个物理规律时，最多可以减少3个变量。().线性最小二乘问题的标准模型为正规方程9 ()能通过一致性检验的判断知阵是一致矩阵。(). Leslie模型描述的种群存在有稳定的年龄结构。().寿命服从指数分布的元件存在预防性更换策略。0三.应用跑(共70分)11. (12分)某食品店坚果的销售情况

8、及其每周的最大供应量如下表所示:坚果纯利洞（元/公斤）最大供应量（公斤/周）杏仁3050碧根果5(130腰果40100山核桃6080如果统计表明每周所有坚果的销售总量大约维持在200公斤,杏口腰果采购总量不 少于40公斤，但也不超过I2Q公斤，碧根果采购量不少于山核桃采购量的60%,为了使 得收益达到最大，请为他的供货量建立合适的数学模型，并判断该数学模型的类型。不需 耍求出具体数值结果。12 （12分）用无量纲化思想化简下面的数学模型（假设所有的参数均为正常数），使得参 数个数尽可能减少。aydxdtdy=V ( - ex) dt13 (12 分) 求解 Logistic 模型./ = 0.

9、01*1 -x/10000),x(0)= 1000。(2)求该模型变化率最大时刻。（16分）变量丫与y的一组观测数据如下, X 3456-70550.42 0.570.68 0.78(1)作半对数图，确定适合的拟合函数形式。(2)用(用里确定的函数形式对上述数据进行曲线拟合(保留到小数点后lft)o（18分）某种动物种群最大年龄为15岁，如果每5年为一个单位时段观测一次种群 数量变化，各组在一个时间段内雌性后代的繁殖率分别为0.L 0.9, 1,5；前两个年龄组 的死亡率分别为0.9, 0.2o（I）试建立合适的数学模型描述该种群的发展：（2）该种群会否绝灭？有没有稳定的年龄结构？为什么？如果

10、有稳定的年龄结构，试求稳定的年龄结构和该种群平均每个时段的增长率。（3）由于环境条件限制，需要通过处理每个第2年龄组的存活率，问如何处理时，才 能种俳总量保持不变，此时稳定情沆下的年龄结构怎样？2011-2012-3东南大学考试卷数学建模与数学实验(A卷答案)-1 B 2A3A4C5A三.5. (X)7. (V)8. (X)9. (X)10. (X)11.解：设再%分别为表示他每周四种坚果的供应呈c f为总利润，其数学模型为：max f = 30工| 十 50a 十 4O.r3 + 600 M $ 500 r, 300 0 月 S 1 000 x4 80*+ 4 +曰+忆 20040 0该模型

11、为线性规划模型.积量定义正确2分，目标函数2分，约束条件每个6分.年错(或少个扣1分。12解：可以利用时变显Z施加变量代换的方法达到战少3个参数的作用,最终模型有且仅有2个参数，可以出现在一个或两个方程中，以下答案只是其中一种形式。引入无量纲量Y3K丁 - 上y，口，并引入两个新参数，-,2，则化为dX ( Y=mX 1-ds 1 -t nX ;dY二 y(i-x)、ds减少一个参数2分(共6分),方程组自变量统一 3分.变量代换合理3分。1 1 113.解(1)(-+)dx = 0.01 加 10000 x 10000 - rln() = 0.01/ 十 c10000-xE) =10000(

12、2)当工= 5000时，变化率最大 / = 200 In 3 o4.4、根据化曲为直的思想，令z = lnx,则变量y与z之间为线性关系y = az + /）。 分 C =（4,6）7,Z = Inx = 1.1,1.39J.61,1.79J.954、+2、In 3 1114（2） A = In 5In 6In 7正规方程为=12.747.847.84-4.49a =52.684、解得：a = 0.6488,-0.4813/，所以，拟合曲线为:/= 0.6488 In x-0.48 130.1 0.915 （18 分）解（1） A = 0.9000.21.50 ，7 z=L0807 , 04+

13、4分（2）稳定情况F，该种群平均每个时段增长8.07%o2分n=l,0.833,0J544 分（3） 4 =0.1,为=0.81,四=0.27左，令人=4 +A+色=】得 = 0.3333n =1,0.9,0.06.4 分08-09-31.在本课程所介绍的若干模型中，请列举至少4个你最感兴趣的模型2,迭代法是求非线性方程近似根的常用方法，己知了二/卜），写出求工二天附近的近似 根的牛顿割线法公式。.已知加密矩阵力二:；,求（mod 23）.已知的三个观察数据（11）,（2,4）,（3厂1）,甘出其逐步线性插值的插值函数O.常微分方程工,=0.02.矶-0,00的工（0）=100的解为46,考虑

14、养老保险问题，假如某人30岁起保，每月交保费300元至60岁止，如果所交保费的月利率为广，写出其第%的保费本息和所满足的方程。7.考虑泛函J=（./+/），其对应的欧拉方程为。-0.75 0.05 0.2-8.考虑马氏链（再（心1）,4+ 1）/3（%叫）二（国（均/2化）/3（月）0.20.60.2,0.4 0.2 0.4则其平衡点为（保留小数点后2位）。.量纳分析法建模问题（12分）考虑抛体运动。质量为加的物体以初速度埒抛出，证明下落的位移X与速度V、时间，及重力加速度g满足美系X =埼夕（W %, 0 /玲）,.层次分析法建模问题（14分）-1 -已知成对比较矩阵4=311/2 1/4

15、1（1） 将上述矩阵的元素补齐。（2）计算上述矩阵模最大特征值（精确到小数点后2位）。（3） 计算上述矩阵的的随机一致性比率（已知随机一致性指标为0.58）。四.数值分析问题(14分) 已知的一组数据X1.01.21.41.62.0Y4.504.885.295.746.75(1)借助曲改直.方法确定经验公式形式。(2)用最小二乘法确定经验公式的参数.五.常微分方程建模问题（14分）考虑两种群的Viterra模型x = 0.05k 0.0003. RO） =1000,），（0） = 200V = _O1y +0.00005h,（1）在相平面上求解该方程（提示；求解生）。 dx（2）讨论该问题的平

16、衡点。计算平均意义下y的百分比。六差分方程建模问题（14分，精确到小数点后两位）考虑某动物种群年龄结构问题。该种群最大年龄为14岁，将其按年龄等间隔分为3组，将5年作一次普位。相关数据分析说明其年龄结陶已经桧定。现有相邻两次的雎性个体观 察数据如下：年龄0-4岁5-9岁10-14 岁第一次普查1000818446第二次普查1100900491（1）确定各年龄组存活率及稳定的年龄结构。（2）确定每个观察时段的增长率a（3）如果该利群的各年龄段的1时段小牛率满足九二0.5A，A = 0.5A.则其各段出生 率为多大.答案:13 1111 121.层次分析法、hill密码、logistic模型、传染

17、病模型、贷款模型、抢渡长江等。2-天-/小-4/)/(/(4)-/(玉)A )(mod23) =4二产-2,1425. /丁(/(皿产)|14-5x,2 x3七八=/(l + r)+300 7. 2r-f =0 8.(0.55, 0.20, 0.45)二.解解河=M,v0 = LT-,v = Lrx = LM = r,g = LT-1 4 分 TOC o 1-5 h z -01110rzl= 100000，力= 0,R(4) = 32 分0-1-101-2一 基础解系为：0,0,0,0,TO,1,TOMO,-L0,0,1,12 分无最纲物理量为：a =x%，6 =g%2分有 Backham 定

18、电得y,x,1,g) = 0与 gRz ,%,的)=。等价。据此得x = %/S(y/%，g%)。2 分 TOC o 1-5 h z 11/3 2三解(1)4二3143分1/2 1/4 1/(/)=(花 川1)3 3(2 1) 13/6 = 03 分取几二3,迭代公式,|=.qf(*)/(4)% = 3.022+2 分C7=0.01,CK = 0.022+2 分(2) A =1 -15041.21.5851.4，Log(y)=1.6661.61.74821.91011111四解(1)3分Log(x)00.18230.33650.47000.6931Log(y)1.50411.58511.665

19、81.74751.9095x与log(y)呈线性关系，经验公式形式为夕log(y)=1.098+0.406x,或者 y = 31S五解(1)dy j(x-200) i=x(100-20y)/ -20i 100z -x %200- 八(e y )(e x )= c4 分 TOC o 1-5 h z 记/(x, y) = (。一2卬。乂二/小),= i 000,200)2 分(2)平衡点为(2000, 500)(3) 20%3+3分六解(1)4=0.9向=0.6, n*=l/o.818/o.446.2 = 1.1,增长率 10%o4 分a =4 =036也=0.71.4 分10-11-3.数学建模

20、的一般步骤是 O.请列举至少4个本课程中你最感兴趣的数学模型 0.非线性方程/(.X)= 0的牛顿切线法公式为：.描述种群增长的Logistic方程为(=0,1x(1 x0000)，M0) = IO。，该种群增长最快的时刻为.考虑扑食与被铺食模型,则其周期平均值为:x = 0.l 工-0.0001肛v = -0.5y + 0.00005.1/26.马尔可夫链乃川二厮1/31/21/4 1/41/3 1/3 ,开“ =%也,q,4十及十C。二 1的平衡态1/4 1/4为： TOC o 1-5 h z .考虑种群增长模型x = r(x)工，下述哪个条件不是阻滞增长模型条件。()A o r(x) =

21、 -1 + 10.r-x2B o r(x) = -ln(x/IOOO)Co r(.v) = l+.v/1000D, r(x) = l-.v/1000.非线性差分方程M + l) = 3x(kXlf(k)的稳定平衡点个数为()A. 0B01Co 2Do 3.泛函 1。)=工(不一比0)2修取极值的必要条件是()A ././_2代工2x = 0B0 tx-x0C.小”+2田2x二0Co txx = 010 .请写出初值问题y(0) = 1（0 x0),则参数力的取值范用为。7记a(无)= (%(“),%(%)，%)考虑考氏链0.4a(k + I) = a(左)0.40.3其正平衡点为。0.3 0.

22、30.4 0,2 r a(0)=(0,30403)0.2 0.58轮渡船上甲板总面积为A。它能运载小轿车，每辆小轿车所占甲板面枳为C ,能运载卡 车，每辆卡车所占甲板面积为L o每辆小轿车要付渡船费p元；每辆卡车要付q元。调 度想知道在渡船匕运载多少辆小轿车(x)和多少辆卡车(y)才能获取最大的利润？ 下列哪一个选项给出利涧函数及需满足的约束条件？()xp + yq ,满足xL Axp + yq ,满足 xC yL A(x + y)(p + q)，满足xC + yL A(x+y)(p+q),满足(x + yKC + ) 4 /9下面哪一个选项最接近小轿车从静止开始起步的的速度变化模型？()A

23、1 一 J B(1 -X)2Ct -t2 D l + e-r10模型检验是建模过程中的必要步骤，以下哪一个选项不是常见的模型检验过程。()A已知数据回代B分析参数变化对结果影响C与相关模型作对比分析D对未来趋势作预测二(10分)假设某种物资有10个产地，5个销售地，第i个产地产量为力,第j个销售地的 105Z ai 人i需求量为“，其中白 内。由产地i到销售地j的距离为%,问如何安排运输,才 能既满足各地销售要求，又使运输总吨公里数(吨公里指运输量x路程)最少？请建立该 问题的数学模型(不需求解，记产地i到销售地j的运输局为x“ )2 4-三（12分）已知三阶成对比较矩阵4=x（1）将矩阵A的元素补齐（2）如果A是一致矩阵，x = ?（3）当* = 5时,该矩阵一致性是否在可接受范围内? （ 3阶随机一致性指标为0.58）四（12分）已知一组数据X13579y3.665.47&.1512.1718.15（1）已知y =用最小二乘法估计4 b侑（保留到小数点后2位）（2）估计x = 1 5时的y值o五(12分)假设存在某种药物，当其浓度不低于loo亳克/升时，q以治疗疾病。刚