专题05 圆压轴题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编（宁波专用）（解析版）

1、专题05圆压轴题1.(2021宁波)如图1,四边形ABCD内接于G)O,BD为直径,AO上存在点E,满足4E=CO,连结BE并延长交CD的延长线于点F,BE与4)交于点G.(1)若NDBC=a,请用含a的代数式表示NAG8.(2)如图2,连结CE,CE=BG.求证：EF=DG.(3)如图3,在(2)的条件下，连结CG,AD=2.、向若tanNAO3=，求AFG)的周长.2求CG的最小值.图1图2图3【答案】(1)ZAGB=90-a：(2)见解析(3)土且，百2【详解】(1).比为0O的直径，：.ZBAD=90，AE=CD,ZABG=/DBC=a,/.ZAGB=90-a；(2)为G)O的直径，.

2、46=90。，.NBEC=NBDC=90。-a,:.ZBEC=ZAGB,.,NCEF=1800-NBEC,ZBGD=S00-ZAGB,又CE=BG,/ECF=/GBD,/.ACFE二ABDGIASA),:.EF=DG;（3）如图，连接DE,皮）为OO的直径,.ZA=ZBED=90。,在RtAABD中，tanZADB=,AD=2.2:.AB=xAD=y/3,2AE=CD,AE+DE=CD+DE,即AD=CE,:.AD=CE,：CE=BG,.3G=AD=2,在RtAABG中，sinZAGB=,BG2.ZAG=60,AG=-BG=1,2；.EF=DG=ADAG=1,.在RtADBG中，ZEGD=60

3、%_1m_1八k_退m_6.*EGDG一一,DEDG，2222在RtAFED中，DF=4EF2-DE1=,2；*FG+DG+DF=，2/.AFGD的周长为.2如图，过点C作CH_L8P于,MDGmACFE,：.BD=CF,NCFH=ZBDA,/ABAD=ZCHF=90。，:NAD&CHF(AAS)，:.FH=AD,.AD二BG,:.FH=BG,vZBCF=90，NBCH+NHCF=90。，；ZBCH+NHBC=90。,:.ZHCF=ZHBC、.NBHC=NCHF=9Q。,.gHCsCHF,.BHCH司一丽设GH=x,BH=2x,:.CH-=2(2-x),在RtAGHC中，CG2=GH2+CH2

4、,CG=r+2(2x)=(x1)+3,当x=l时，CG?的最小值为3,.CG的最小值为百.2.(2020宁波)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.(1)如图1,NE是AABC中NA的遥望角，若NA=a,请用含a的代数式表示NE.(2)如图2,四边形ABCD内接于OO，AD=BD,四边形A5CD的外角平分线DF交于点尸，连接/方并延长交CD的延长线于点E.求证；N8EC是AABC中N84C的遥望角.(3)如图3,在(2)的条件下，连接AE,AF,若水求/4D的度数；若4?=8,CD=5,求ADE尸的面积.C图1图2【答案】(1)

5、-a；(2)见解析；(3)45。，29【详解】(1).8E平分NABC,CE平分NACD,/.ZE=ZECD-ZEBD=-(ZACD-ZABC)=-ZA=-a222(2)如图1,延长BC到点T,4图1:是OO的直径.，C图3四边形FBCD内接于OO,/.ZFDC+ZFBC=180。，又/0+NEDC=180，:.ZFDE=ZFBC、,。/平分/4。,:.ZADF=ZFDE,ZADF=ZABF,；,ZABF=4FBC,.的是44/C的平分线，.AD=BD,:.ACD=ZBFD，yZBFD+NBCD=网。,ZDCT+ZBCD=80,；DCT=BFD,ZACD=ZDCT,.CE是A4BC的外角平分线

6、，/.ZBEC是ABC中ABAC的遥望角.（3）如图2,连接C厂,/ABEC是MBC中ZBAC的遥望角,/.Zfi4C=2ZBEC,c,AEAG.=jACCD.在RtAABG中，A8=8,ZA8G=45,AG=-AB=4-j2,2在RtAADE中，AE=y2AD,邑D4行/.=，AC5AD4/.=,AC5在RtAADC中，AD2+DC2=AC2,.设A=4x,AC=5x,则有(44+52=(5x),5x=一，3:.ED=AD=f335:.CE=CD+DE=，3BEC=ZFCE,，FC=FE,FMCE,35:.EM=-CE=.6:.DM=DE-EM=),6ZFDM=45,:.FM=DM=二，61

7、25；S：=%defm.3.(2019宁波)如图1,0O经过等边AA8C的顶点A,C(圆心。在AA8C内)，分别与Afi,C8的延长线交于点O,E,连接DE,BFLEC交AE于点、F.(1)求证：BD=BE.(2)当:所=3:2,AC=6时，求AE的长.Ap(3)设=x,tan/DAE=y.EF求y关于1的函数表达式；如图2,连接。/，OB,若AAEC的面积是。咕面积的10倍，求y的值.A图1走或把 97【答案】（1）见解析；（2） 2V13 ； （3）丫二4x+l【详解】证明：（1）AABC是等边三角形,ZfiAC=ZC=60,/ADEB=ABAC=60,ZD=ZC=60,.ZDEB=ZD,

8、/.BD=BE；(2)如图1,过点A作AGJ_8C于点G,AABC是等边三角形，AC=6,.BG=-BC=-AC=3922在RtAABG中，AG=4iBG=343，:BFA.EC，:.BF/AG9.AFBG=,EFEB,/AF:EF=3:2,：.BE=-BG=2,3EG=BE+BG=3+2=5,在RtAAEG中，AE=y/AG2+EG2=3厨+5。=2x/13；（3）如图1,过点E作EHLA力于点H,A图1NEBD=ZABC=60。,.,.在RtABEH中，=sin60=,BE2:.EH=BE,BH=-BE,22BGAF/=x，EBEFBG=xBE，:,AB=BC=2BG=2xBE,AH=AB

9、+BH=2xBE+BE=(2x+-)BE,在RtAAHE中，tan/LEAD=AH(2x+；)BE4x+I,1如图2,过点。作于点M，图2设BE=a，EBEF:.CG=BG=xBE=ax,:.EC=CG+BG-BE=a+2ax,:.EM=-EC=-a+ax,22:.BM=EM-BE=ax-a,2.BF/AG，:.AEBFsEGA,BFBEa1AGEGa+ax+x*/AG=/3BG=3ax, TOC o 1-5 h z Dr16axx+1x+l八上人的而加BF,BM1x/3arz1、22x+12AAEC的面积=、0AG=_L*gaxg+lax),22AAEC的面积是SOFB的面积的10倍，-xy

10、j3axci+2,iix)=10 xx(6txa)，22x+12.2X2-7x+6=0,解得：=2,x,=,日或，4.(2018宁波)如图1,直线/:y=-x+6与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点8,点C是线段。4上一4”动点(047的延长线于点G,设点8的用含f的代数式表示。炉.记S=DEEG,求S关于/的函数表达式.图1图2【答案】(1)45；(2)见解析；(3)DE2=i/2+2r+4；5=4产+r2-4【详解】(1)由点A的坐标知，OD=AD,则2040=45。=NA8,-,-AELAO,：.ZEAO=90P,则NE4D=90+45=135,则NDBE+NEAD=180,.ND应:

11、的度数为45。；(2).ZAQ8=ZA8+90=135。，.ZDAE=135=ZAOB,NABO=NAD,.MDEAOAB：-.-AADEAOABfADED*=,AOAB由点A的坐标知，AD=AO=2,则AO=2j,.点B的坐标为(f,0),则3。=f+2,AB=2?+2)2=J*+4f+8=即ED=AB=4t+4f+8，2V2AB22贝IDE?=-!/+2/+4：2过点B悴BMGF交0G的延长线丁点M,连接CD,.CFJ.EB,故点F是BE的中点，.GF/MB，故GF是AEBM的中位线，贝IEM=2GE,由(1)知ZEBD=45,则NECD=90,/.NDC=45,.FC/FG/BM,;.8

12、EC=DGF=ZM=45。=ZMBD,.EDB=ZMDB,ADEB/DBM,:.BD2=DE-DM=(ED+EM)DE=DE2+DEEM=DE2+IDEGE,/.S=DEEG=-(BD2-DE2)=-(t+2)2-(-r2+2t+4)=-t2+t.2224(2021宁波模拟)定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”.如图，A4BC中，点。是8C边上一点，连接AD,若AD?则称点。是AABC中8c边上的“奇点”.(1)关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有(填写正确的序号).1点：2点：1点或2点；1点或2点

13、或3点.(2)如图，AABC中，BC=ll,tanfi=-,tanC=，点。是5c边上的“奇点”，求线段3)的长.52(3)如图，AABC是OO的内接三角形，D是BC上一点,连接OE,AD,若O_LAD.求证：点。是AABC中8c边上的“奇点”；若AD是AA6c的角平分线，求上一的值.ABACC【答案】(1)：(2)2或口：(3)见解析，,22【详解】(I)若直角三角形为等腰直角三角形有一个“奇点”.若直角三角形非等腰直角三角形，则有两个：奇点.故直角三角形有1或者2个“奇点”.故答案为：.(2)作A_L8C于”.31由tanB=,tanC=,52可设A/=3x,贝ij8H=5x、CH=6x.

14、,BC=x=.x1,.BH=5、CH=6、AH=3.设DH=a.如图，当点D在点H左侧时，由点。是8C边上的“奇点”，有：AD2=BDCD.a+9=（5a）（6+ci）.7解得：a=3或a=（舍）2BD=5=2.如图，当点D在点H右侧时,-AD2=BDCD.a+9=(5+a)(6cj).7解得：a=或=一3（舍）.217BD=5+。=2综上：的长为2或2（3）证明：如图，延长AD叫OO于点E,连接3E.OD.LAD.AD=ED.NE=NC,ABDE=ZADC.:ZDEsZDC.BP：ADED=BDCD.ADCD.AD2=BDCD.点D是AABC中边3C边上的“奇点”.AD是角平分线.ZBAE=

15、ZCAD.；NE=NE.ABAE=.ADAC:.ABAC=ADAE=2AD1.AD2AD21ABAC2AD2-2-7.（2021郸州区模拟）【提出问题】如图1,直径AB垂直弦CD于点E,AB=O,8=8,点P是CD延长线上异于点。的一个动点，连接AP交OO于点。，连接C0交于点尸，则点尸的位置随着点P位置的改变而改变.图1图2【特殊位置探究】(1)当)P=2时，求tanNP和线段AQ的长;【一般规律探究】(2)如图2,连接AC,DQ,在点P运动过程中，设P=x,丝=丫.B卜求证：ZACQ=ZCPA；求y与x之间的函数关系式；【解决问题】(3)当OE=1时，求AACQ和ACDg的面积之比.(直接

16、写出答案)【答案】(1)8；(2)见解析，丫=旦：(3)之或1x+422【详解】(1)连接8,图1宜径ABJLCD,.DE=-C=4.2.OE=3,AE=8.DP=2,/nAE84/.tanNP=.PE63连接BQ,则乙4Q8=90。，Q在RtAABQ中，AQ=ABcosZBAQ=Ox=S.(2)证明：连接BQ,图2.AQ=AQ,:,ZACQ=ZABQ,AB为直径，N4+NA8Q=90。，/ABCP.*.NP+NHAP=90,，ZACQ=ZDPQ.连接8C，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N，图3/ZACQ=NDPQ,/.CBS.NA.FBBCFAAN4石x8ANACxtanNACQACx

17、tanZP*t+4_16-)=正=而=2邪不(3)当0尸=1时，AF=6或4.当AF=6时，y=-，解得x=-.”23/ZACQ=ZP,ZCAQ=ZPDQ,APDgAACe.20.为巧=$)2=9.59AC4有920.SDQ_PD_工_2vS；=CD-T-6Smcq二9二3Sacdq62当AF=4时，y=,3解得x=20.同理可得也丝=q9*ACDQ431当。尸=1时，ACDQ与A4CQ的面积之比为一或一.228.（2021慈溪市模拟）定义：从三角形一个角的顶点引一条射线与对边相交，把这个角分成两个角，如果其中一个角与这条射线另一侧的原三角形的内角互余，那么这条射线上三角形顶点到对边交点的线段

18、称为这个三角形的“交互线”.图1（1）判断下列命题是真命题还是假命题？直角三角形的斜边上的高是它的交互线；若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形.（2）如图1,已知班为锐角AA8C的交互线.求证：BE过AABC外接圆的圆心O.若=交互线BE=25,0O的半径为16,求4?的长.（3）如图2,已知，在4WC中，NC=45。，它的两条交互线4）,能相交于点/，且=BE=n,求AABC外接圆的面积（用含m,的代数式表示）.【答案】（1）假命题：真命题；（2）见解析；四：（3）理巴32【详解】（1）假命题，如图：ZACB=90.C_LAfD,.ZBCD=9GP-ZACD=ZA,.-.

19、ZBCD=ZA,:.BCD+ZA不应定为90。，同理NAC)=NB,ZACD+NB不应定为90。，根据“交互线”定义，CD不一定是AABC的“交互线”,“直角三角形的斜边上的高是它的交互线”是假命题;真命题，如图：.A。是AABC角平分线，：.ZBAD=Z.CAD,.4)是AABC的“交互线”，二ZBAD+NC=90或NC4D+=90,若N84)+NC=90。，根据三角形内角和定理可得：ZCAD+ZB=90.又ZBAD=ZCAD,.-.ZB=ZC,.A4BC是等腰三角形，若NC4)+NB=90。，同理可得AABC是等腰三角形，“若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形”是真命题

20、;(2)延长8交O。于N,连接C7V,如图：ABE为锐角MBC的交互线，：.ZABN+ZACB=9(r,ZABN=ZACN,ZACN+ZACB=90,H|JZNCB=90,r.BN为直径，/.BE过AzABC外接圆的圆心O；连接并延长AO交BC于。，如图：A.AB=AC,AABC外接圆为0O,由对称性可得：A3平分ABAC,：.ADBC,.BE为A4BC的交互线，.ZABE+ZACD=90P,.ZZMC+ZAC=90,:.ZABE=ZDAC,又NAEO=NBE4,.AEEB=,EOAE.BE=25,QO的半径为16,:.EO=9,AE25/.=,9AE解得AE=15，/AEOABEA，AO_O

21、E9ABAE15,An80AB=；3(3).两条交互线AD,BE相交于点尸,，厂为AABC外接圆圆心，设AF=r,则8/=八.NC=45。，.ZAFB=2NC=90,ZABF=zLBAD=Z.C=45.AB=&r,ZABE=ZACB,iLZfiAE=ZC4B.AABEAACB,AEABBEBr1AE&.=f即一=-=,ABACBCV2rACBC2r2=AE-AC,Om=AE-BC,同理可得：/ABDACBA,：.2r2=BD-BC,y/2rm=BDAC,x得4/=AE-AC-O3-BC,x2mnr2=AEBCDBAC,4r4=2r2mn,2（2021宁波模拟）如图，己知是0O的直径，弦CCA3

22、于点E.点P是劣弧AO上任一点（不与点A,。重合），CP交AB于点例，AP与8的延长相交于点F.B备用图(1)设NCPF=a,ZBDC=p,求证：a=Q+90。；(2)若OE=BE,设tanZAFC=x,=y.求NAPC的度数；求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）6（F,y=（0 x而AM+BM=2r即：-=1+y,BMMB1+V3x=1+y,即：y=,(0 x中，ZA=100,NZ)=140。，请直接写出NB的度数；(2)如图1,在AABC中，边AB,上分别取点O,E,使得。E=Z)B,AADE的外接圆0O交边AC于点F,连接EF.求证：四边形是外倍角四边

23、形；(3)在(2)的条件下，如图2,若AD是OO的直径，ZACB=90,CF=BD,当但_=3.4S岫pg2求cosNCFE；若DE=1,求AF-3E的值.图1图2【答案】8/或2。；见解析；!，而【详解】(1)依题意画出图形如下:BC.ZE4Z)=100,.ZE4D=8O.;四边形A5CD为外倍角四边形，NC/EW=40。.2/.Zfi=360o-ZmD-ZAZX，-ZC=360o-100-14(r-40p=80o；vZADC=140,/.ZADF=180-140=40.;四边形45co为外倍角四边形，Z5=-ZADF=20.2综上，=80。或20。.(2)DEuDB,.ZDEB=ZB.ZE

24、D4=ZDEB+ZS=2Zfi.NCFE为圆内接四边形AFED的外角，；.NCFE=ZADE.,.NCFE=2/B.二四边形AB斯是外倍角四边形.(3)过点石作W_L4B于H,EH=DEsinZEDA.,q?ARDE乙-CFEF-sinZ.CFE.2_312-EDBDsinZEDA乙2NCFE=ZADE,.sinZ.CFE=sinZADE.DE=BD,.CFEF3BD2-2-,CF=BD,4.设CF=疯，则8=4.庭a,EF_3161-5.-.EF=4j6a.CF1/.cosZCF=-.EF4连接AE,则NAED=90。.AEAD+ZADE=90.vZACB=90,.NCEF+NCFE=9(r

25、.ZCFE=ZADE,:.NCFE=ZADE.vcosZ.CFE=cosZADE=-.4在RtAAED中,DF1vcosZADE=一，DE=,AD4.AD=4.AE=ylAD2-AE2=x/T5./BED+/CEA=90,ZC4E+ZCE4=90,:.ZCAE=ZBED.又；ZBDE=FA,NBDEsgFA.AFAEDEBE:.AFBE=DE-AE=岳.11.（2021宁波一模）定义：三角形内部有一小三角形与原三角形相似，其中小三角形的三个顶点在原三角形的三边上（顶点可重合），则称这两个三角形是星相似三角形.例如：如图1,RtAABC中,ZBC4Z=CE4=90,AACE和AABC是星相似三角

26、形.如图2,。是的中点，以C为直径画圆，交,BC于点E,F.AC=.（1）若BC=2,求E的长.设8C=x,=y,试写出y与x的函数关系式.GO-（2）若CG=CE,则ACEG与哪个三角形星相似，并证明.（3）在（2）的条件下，求3c的长.【答案】卷尸者见解析；凤】【详解】（1）RtAABC中，AC=,BC=2,AB=VfiC2+AC2=VF+l7=石,.。是M的中点，:.CD=AD=BD=-AB=，22.ZEC4=ZCE4=90o，在RtAABC中，Sunr=-ACBC=-ABCE,zviz=C),:,ZDCB=NB,4OFC=ZB，FOGNEDG,GDDE/.=,GOFO.CB=x,CD=

27、BD阡,小但手x BE ll + X2 XnBCBE0n TOC o 1-5 h z /.cosB=,即ABBCBE=,VJl+x2DE=BE-BD=,-2X2yJl+X2GDDEY22x2-2,、八GOFOTl+x7x+14ACG与AFE。相似.由(1)可知，OFIICD,O为C的中点，.OF为似出。的中位线，尸为3。的中点,.NCE8=180。-NCE4=90,；.ef=cf=bf=Lbc,2:,以CE=/FEC，GE=CE,:.4CGE=ZFEC、;“CE=NCGE,：/FEC=NFEC，:.FECCEG，.CEG与AFEC相似；(3).CD=BD,BF=EF,：.ZB=ZFCD=ZDE

28、G,ZFCE=ZFCD+NGCE,ZCGE=ZDEG+ZGDE,：/GCE=/GDE,；.EC=ED,设CE=m,则E=m,CD=6m,BD=6m,nCEAC日口2m + m BC/.tanB=,即BEBCBC=V2+1.12.（2021宁波模拟）如图，圆O为锐角A4BC的外接圆，点。为弧BC的中点，过点。作AC的平行线交AB于点E,连接O并延长交AC边于点尸.（图1）（图2）（1）如图1,求证：DE=AE；判断四边形血下的形状，并说明理由.（2）如图2,当NA=60。时，DE,。尸分别交于点，N.设AB&0,ADMN,AC7W的面积分别为，S2,S3.求证：FC=OE；若FO=2OE=4,求

29、鸟的值；S?若，=$2+5，圆。的半径为I，求A8的长.【答案】（1）见解析：（2）见解析，竺；（3）0+492【详解】（1）如图1,连接4）,D（图1）是3C的中点,.ZE4D=ZE4D.DE/AC,：,ZEDA=ZFAD.ZEm=ZE4D.DE=AE.理由：如图1,连接。4、OD,在AEOA和AEOD中，0E=OE,：=4()。，求NAD8的度数;若A3=5,BC=12,求比)的长.图1图2图3【答案】（I）见解析；（2）拽或；（3）3日或1224【详解】(1)证明：.=AC,:.ZACD=ZADC.NAC3=90,.ZBCD=90-ZACD,vZBZX?=180-ZACD,/.ZBDC-

30、ZBCD=(180-ZAC)-(90-ZACD)=90,.ADC8是“准直角三角形”.(2)解：N8AC为钝角，若AA8C为“准直角三角形”，当44C-NAC5=90时，如图2,作8_LA4交的延长线于点。，AH_L3c于点，图2.BAC-ZACD=90,:.ZACD=ZACB3vtanB=-,BC=5,4CD=3，BC=5，NAHC=ND=90。，AC=AC,/./ACD=MCH(AAS),.AD=AHf设AW=AD=x,HC=DC=3,:BH=2,X2+22=(4-x)2,解得x=3,2AC=VCD2+AD2=m+g)2=孚，当44CNB=90。，如图3,作交84的延长线于点O,D4S3v

31、zmc-ZACD=90,/.ZACD=ZB,.ZD=ZD,/.ACZMABDC，：.,即四=3,CDBD349.A)=一，4.AC=JCD?+必=*+()2=?,综合以上可得AC的长为主叵或空;24(3).AC为G)O的直径，:.ZADC=ZABC=90,.A4BD为“准宜角三角形”，.A43D是钝角三角形，且NB4O为钝角，yZABD=ZACD=40,/.ZR4r)=140o-ZADB,由题意得，NBA。NAB=90。或NB4NAQ8=90。，.140。-ZAD3-ZABD=90或140。-ZAD5-ZAD3=90。，解得ZADB=10或25。；.A8=5,8c=12,ZABC=90,:.A

32、C=yAB2+BC2=13,:AABD为“准直角三角形”,当Nfi4-=900时，.NDCB+NBAD=180,NDCB=1800-ZBAD=180-(ZABD+90。)=90。-ZABD=NDBC，DB=DC,如图4,连接DO并延长交BC点E,则DEYBC,D图4,.BE=CE=6,13.OA=OC=OD=,2：.OE=-AB=-,22.DE-+-9,22BD=dBE?+DE。=V62+92=3而，当-NADB=90。时，,ZBCD+ZBAD=l80,：./BCD=180-ZBAD=180-(ZADB+90)=90-ZADB=ZBDC,.BD=BC=12,综合以上可得比)的长是3万或12.1

33、4.(2021江北区模拟)定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形.如图1,在AABC和ADEF中，若NA+NE=NB+N=90。，且则AABC和ADE厂是余等三角形.(1)图2,等腰直角A4BC,其中NACB=90,AC=3C,点。是AB上任意一点(不与点A、8重合)，则图中和4是余等三角形，并求证：AEt+BDz=2CD(2)图3,四边形ABCD是0。的内接四边形，0。的半径为5,且4犷+802=100,求证：AA8C和AA0C是余等三角形.图4,连接班交AC于点/,连接。，E为加上一点，连接EO并延长交8/于点F,若NADB=67.5。,1E=1F,设Q/

34、=x,S.=y,求y关于x的函数关系式.【答案】（1）ACD,BCD;（2）见解析，（3）y=、一-4【详解】（1）.AA8C是等腰直角三角形，.-.ZA+ZB=90,ZACD+ZBCD=90,AC=BC./ACD和ABC7）是余等三角形，过。作。EJ_AC于E,过。作F_L8C于F,如图:.AABC是等腰直角三角形，.-.ZA=ZB=45.-.AADE和MDF是等腰直角三角形，.OE=华，DF=半,V2V2-.-DEAC,DFJ.BC,ZACB=90,：.四边形CED尸是矩形，：.CE=DF=r,V2RtADCE中，DE2+CE2=CD2,.啜+（贵，.-.AD1+BD2=2CD2；(2)连

35、接力。并延长交OO于E,连接AE、CE,如图:是O。直径，.ZEW=90，在RtAEAD中，AD2+AE2=DEr=100,/AD2+BC2=100,/.AE=BC，.ZACE=ZBAC，ZAEC=ZCBA,AC=AC,:.AEC=ACBA(AAS),:.ZEAC=ZBCA，ZEAC+ZCAD=90.ZBCA+ZCAD=90，同理可得：ZBAC-bZACD=90而AC=AC，/.ZABC和AADC是余等三角形；连接。4、OB,过O作于M,过。作QVd4c于N,如图:A由知：NH4C+ZACD=90,又NACD=N4BD,/.ZR4C+Z4D=90，ACBD,.IE=IF,.AE灯是等腰直角三角

36、形，OMBD,.AMOF是等腰百角三角形，：.OM=FM，&是等腰直角三角形，.ZAEO=ZBFO=135,.ZADB=67.5,ZAOB=2ZADB=135,ZAOE=45-ZJ8OF=Z.OBF，且。4=03,/.MOEAOBF(A45),:.OE=BF,J2设OE=BF=a,OM=FM=b,则ON=M/=J。，OF=AE=,2在RtAOlM中，(也a)?+从=f,化简得/+抄2=2f,在RtAOBM中,(4+6尸+从=52,化简得+32+2=25,/.2ab=25-2.JC,(旦+入“+0)+也即匕+小口=生电.,2224224415.(2021镇海区模拟)己知AABC,经过点A、8作圆

37、交AC边于点O,交BC边于点E,点P是圆内一点，且满足NA叨=乙灯石=90,ZADP=PBE,连接/IE和比)交于点尸.(1)求证：MPDAEPB；(2)探索AE和班的位置关系，并说明理由：(3)若BD=4,且AB=6DE,当=时，求所的长度；当EE最小时，请直接写出tanNAZ尸的值.【答案】（1）见解析；（2）见解析：（3）6-及；盘.2【详解】（1）NAE9=N8PE=90。，ZADPZPBE,:2P4PB；APDEPB.PAPE，=,PDPB.，ZAPE=ZAPD+ZDPE=PB+ZDPE=ZDPB,MPEs/dpb,.ZPAE=ZPDB,：.ZAFD=ZAPD=900,AEBC；（3

38、）ZABFmZDEF,ZBAF=ZEDF,.BEAB/-.=75,EFDE设EF=x,则8尸=瓜，DF=4-6x,在RtADEF中，DF2+EF2=DE2,即（4-瓜）2+/=（26）2,解得了=后+血（舍去）或6-血,:.EF=8-四；由知，设EF=x,则=DF=4-y/3x,在RtADEF中，DF+EF1=DE2,则DE-=(4-+/=45-6)2+4,.当x=J5时，DE最小,此时AE=2石，则tanZAOP=MPDBD216.(2021海曙区模拟)如图，在RtAABC中，ZABC=9Q,AB=,AC=右，点”是线段C4上的动点(M不与点A、C重合)，作的外接圆O。，过点A作AN8C,交

39、于点N.备用图(1)tanC的值为.(2)若MNMsCMB(其中点A与点C对应，点用与点5对应)，求AA/的长.(3)若4M为等腰三角形，求线段MC的长.若S.n=SMC,请直接写出此时BMN的面积【答案】(1)；(2)I；(3)型；2或2.255【详解】(1).ZABC=90。，AB=.AC=0：.BC=y/5l=2,AB1tanC=,BC2故答案为：;2(2)连接BN,.NAIIBC,:.ZNAC=/BCA，N246+NABC=180。，.ZiVAB=180。-ZABC=180。90。=90。，.8N为OO的直径，.NBMN=90。,.ZNAC=ZNBM,.ZNBM=ZBCA，宜角三角形B

40、MN中,tanZZVBM=tanZC=-,2即tanNAM=d=，MB2/ANMCMB,.NM_AM1MB-CB-3即州=1,22.AW=1；(3)若A4MN为等腰三角形，则A/V=MV,：.=NMA=4MBN=/NBA,NAB=ZABC=90,:.小BA=AMBN=NC,:.NABsABC.ANABABBC3BC在AAB/V和AM8V中,/NAB=ZNMB4NBA=ZNBM,NB=NBAABN二AM3MA4S),:.AN=MN=-,AB=BM=l,2/.AN=MN,:.BNtAM,:.BN=NBMrMN2MD ，.MD =2亚t5.-.AAf=2A/D=2x5=；/.MC=AC-AM=石一=

41、如图所示，过M作于H,在直角三角形8MN中，,/tan4NBM=tanC=,2设MN=x,则BM=xtanC=2x,BN=4BM，+MN。=+(2x)2=3,Sa=-BMMN=-2xx=x ,-x2MH=x2,MH = x2 ,在直角三角形助0中，bh2+hm2=bm-,.(2-2x2)2+x2 =(2x)2,化简得，5x4-12x2+4 = 0,令y =彳2,LDMli22.Sc=-BCMH=,Zi/jwC27解得，y=2或y=_2SgMN=2或g故答案为：2或2.517.(2021宁波模拟)定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.(1)如图1,在11x7的网格中，点A,B,。都是网格

42、的格点，请你确定所有格点C,使得四边形A8CD是对余四边形.(2)如图2,即是OO的直径，点A,D,C在OO上，AF,CE相交于点8.求证：四边形A88是对余四边形.(3)已知四边形ABCD是对余四边形.如图3,若=BC=2,CD=4,AC=6,求NZMB的度数;在平面直角坐标系中，设点A(-l,0),8(3,0),C(l,2),求线段)0长度的取值范围.D图3图1图2【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)45。，1,2+石【详解】(D由对余四边形的定义，点C满足NA+NDCB=90。,如图1所示,点C2,C,即为所求的点:B图1(2)证明：万是OO的直径,二.EDF为半圆，即EDF的度数

43、为180.圆周角的度数等于它所对的弧的度数的-半，NA的度数=L。尸的度数，NC的度数=，)：的度数.22/.ZA+ZC=-DF的度数的度数=EDF度数=4*180。=90。.2222四边形ABCD是对余四边形.(3)如图3,以。C为腰作等腰三角形QCK,使DK=ZC,NCDK=ZADB,图3则ZADB+ZBDC=ZCDK+ZBDC.:,ZADC=ABDK.；DK=DC,4DKC = 4DCK =180。一 NCDK2.DA=DB，:,ADAB=/DCK.在AAZX?和ABDK中,AD=BDC+ZA6C90。，.ZDAB+ZDCB=90.ZDCK+ZDCB=90.即NKCB=90。.:.CK=

44、yjKB2-BC2=V62-22=472.DK=DC=4,:.DK2+CD232.-CK2=32,DK2+CD2=CK2.ZKDC=90.：.ZADB=ZKDC=.“叱/的=侬一加点A(L0),5(3,0),C(l,2),:.OA=1,OE=1,05=3,CE=2.BE=OBOE=2,AE=OA+OE=2.:.BE=CE,CEJ_BE，.ZABC=ZECB=45.丁四边形ABCD是对余四边形，/.ZADC+ZABC=90.:.ZADC=-45.点Q在以AC为弦，对AC张开的角度为45。的优弧上运动.设这条弧所在圆的圆心为M,连接M4,MC,则NAAfC=2N4DC=90。.-.MA=MC.ZM

45、4C=ZA/C4=45.CE=AE=2,CEA.AB,：.ZEAC=ZECA=45,.NM4=90.四边形MAEC为正方形.：.OM=yJOA2+MA2=6.当。）经过圆心M时最大，。）的值最大，此时OO=A/D+MO=2+石，当点。与点A重合时，OD最小，。=。4=1,但此时不能组成四边形，.。）的取值范围为1EC=45。，求证：是RtAABC的中分线；（2）如图2,在RtAABC中，ZABC=90,花是RtAABC的中分线，BF平分ZABC,求证：ED/BF；（3）如图3,在（2）的条件下，AEDC的外接圆与防相切，切点为G,若AC=6,求中分线DE的长.（图1）（图2）（图3）【答案】（

46、1）见解析；（2）见解析；（3）返5【详解】证明：（1）如图1,作叱_L8C,ED.ZC=30.CD=AD=2,:.DF=,CF=拒，又NDEC=45,:.EF=DF=.CD=AD=2,ZC=30,：.AB=2.BC=2/3.BF=g，BE=6-1,.-.AB+BE=+l=CF+EF,DE为RtAABC的中分线(2)如图2,过点。作ZWL3C，图2.DE为RtAABC的中分线，:.2(CD+CE)=AC+8C+A8，-,DH/AB.D是AC的中点,.2(8+O+C”)=AC+8C+AB,:.CE=DH+CH,:,DH=EH,ZD7/=45。，BF平分NAB。，/.ZraC=45,；.ZDEH=

47、NFBC=45。,.DE/BF；(3)如图3,连接Q,OC,OE,OG,交小于点”,图3vBF切G)O于点G,1.OG上BF,又.DEIIBF,OGLED.2ZGOD=Z.EOD=2ZECD,:.ZHOD=ZECD,AOH4ACBA,.OHOPHDCBCABA/DOC=2/DEC=90,:.CD=y/2OD,设AC=4/7,AB=4c,BC=4a,OD=&,OH=41a,DH=j2c,.-.GH=y/2(b-a),.ZFBC=45,/.BE=2b-2a.D是中分线，.-.BE+AB+AD=(AB+BC+AC),2b-2a+4c+2b=2a+2h+2c,2a=b+c,X/a2+c2=b2,3b=

48、5ci,.4Z?=6,39:.b=-c=,210OE=2DH=2缶，.DE-晅519.(2021宁波模拟)如图，线段AB,CD交于点O,连接AC和50,若ZA与ZB,NC与ND中有一组内错角成两倍关系，则称AAOC与MOD为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角.(1)如图，在四边形A8C。中，对角线AC,即交于点O,已知AB_L8,ACO。为等边三角形.求证：AAOB,ACO。为倍优三角形.(2)如图，已知边长为2的正方形ABCD，点尸为边CD上一动点(不与点C,。重合)，连接AP和BP,对角线AC和8P交于点O,当AAOP和AflOC为倍优三角形时，求NZMP的正切值.(

49、3)如图，四边形他CD内接于(DO，MCP和AADP是倍优三角形，且“*为倍优角，延长4),BC交于点、E.若AB=8,CD=5,求OO的半径；记ABCD的面积为号，AABE的面积为S?,=y，cosE=x,当应：=33C时，求y关于x的函数表达式.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）“生，y=26-8x2【详解】（1）证明：ACOD是等边三角形，Z.COD=NOCD=60,ZAO8=NC8=60,又.A3_L3。，ZL4O=30,.ZOCD2ZBAO,MOB与XCOD为倍优三角形.（2）由题意，ZBCOZPAO,ZAPOZCBO.若ZBCO=2NPAO,则NZMO=2ZB4O,.AP平分N

50、ZMC.过点P作_LAC于，DPCB得PD=PH,不妨设PD=PH=m,则PC=2-m.则PC=y2PH,m=2(72-1),DPi-：.tanZDAP=J2-1.AD若ZAPO=2NCBO,过点P作/7/3C交回手/,DPCA/B则ZBP/=NCBO.又；ZAPO=2NCBO,:.ZAPO=2/1BPI,则Z.DAP=NAP/=NBPI=NCBP,故DP=CP=1,DP1.tanAP=AD2综上，NZ14P的正切值为0-1或1：2(3)过O作于点N,交0。丁点M,连接AM,OA./4DP为倍优角，：.ZADP=2ZCBP,AB=2CD.；OM工AB,.AB=2AM,.AM=CD,：.AM=C

51、D=5.OMLAB,AB=8,，AN=BN=4,:.MN=3.设OO的半径为r,.r2=(r-3)2+42,解得广=竺6.oo的半径为”.6；ZADP=2NCBP,ZADP=CBP+ZE,，NE=NCBD.CD=BM,.ZBAM=Z.CBD=NE,/.cosZEAM=cosE,AN.=x,AMBE=3BC，:.CE=2BC,ZDCE=NBAE,ZE=ZE,/.ACDEAABE,则CDE=(CD)2=(也)2=I,SmbeAB2AN4x2.2S,bci,_Swe4/S.IBn1=-y即y=rS28rSx220.(2021宁波模拟)如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x

52、轴，y轴的正半轴于A,B两点,且M是的中点.以OM为直径的OF分别交x轴，y轴于C,。两点，交直线尸点E(位于点M右下方)，连接止交OM于点K.(1)若点M的坐标为(3,4),求A,8两点的坐标；求ME的长.(2)若如=3,求NO8A的度数.MK(3)设tanNO8A=x(0 xOB2+OA2=10.:.BM=-AB=5.2NOBM=ZEBD,ZBOM=ZBED,:.OBMsgBD、.BMBOBDBE58一=，4BE32BE=5327=-5=（2）连接。P、PE,如图2.OK=3,MK；.OK=3MK,:.OM=AMK,PM=2MK,:.PK=MK.;OD=BD,OP=MP,DP!IBM,:.

53、ZPDK=ZMEK,ZDPK=ZEMK.在A/*K和中，ZPDK=NMEK8-9时或1-22-9=Xy(2020余姚市模拟)如图1,直线/:)，=-：k+4与x轴交于点A,与y轴交于点5,以为直径作OM,点尸为线段。4上一动点(与点O、A不重合)，作PC，AB于C,连接8P并延长交OO于点O.(1)求点A,B的坐标和tanZBAO的值；(2)设生=x,tanZBPO=y.CA当x=l时，求y的值及点)的坐标；求y关于x的函数表达式；(3)如图2,连接OC,当点P在线段上运动时，求的最大值.图1图2备用图【答案】三（g,一5尸翳：学【详解】（1）对直线I:y=-;x+4令x=0,则y=4,令y=

54、0,则x=8,故点A、区的坐标分别为：（8,0）、（0,4）；.而。啜4（2）由点A、8的坐标得：AB=V42+82=4x/5,则圆的半径r=2行,如图1,当x=l时，则8C=AC,图1又AB,.-.AM=BM=-AB=2y/52.tanZBAO=-=-,则cosN8AO=，OA82V5PB=PA=芈=5,cosZBAO2忑OP=OA-AP=8-5=3,故点P(3,0),在RtABOP中，y=tanZBPO=-；OP3设直线5P的表达式为:y = kx-b ,则k-3，b=4故直线BP的表达式为：y=-x+4,-3一4设点D的坐标为：(?w,-/h+4)点M是AB的中点，则其坐标为：（4,2）

55、,DW是圆的半件,MD=(m-4)2+(-m+4-2)2=(245)2,解得：m=0或(舍去0),%24rvLm=5 TOC o 1-5 h z M上r2412故点)(,)；55故y=,点。的坐标为(竺，)；355PA,2在RtAACP中，AC=PAcosZBAO=-=V5/=x,则8C=xAC,CA.AB=ACBC=-=PA+PAx=4，V5V5-OP=OA-PA=S-,1+x八OB42x+2y=tanZ.BPO=OPQW4x-lo1+X(3)如图2,连接。)、OC,图2.,04=90。，ZBCP=90,：.O.P、C、8四点共圆，.-.ZCOP=ZCBP,而NCBP=NA。，./COP=Z

56、AOD,而.OACs&ODP、.2=生，即ocpz)=acop,OPPD设=x,则OP=8-x,92/5在RtAACP中，AC=AP-cosZBAO=-x=：.OC-PD=ACOP=x(8-x)=-x2+1-x,555叵0,故OOP。有最大值,5当x=4时，OCP。最大值为乌叵.5723.(2020慈溪市模拟)如图，抛物线y=-五Y+fer+c,经过矩形。4BC的A(3,0),C(0,2),连接08.D为横轴上一个动点，连接CD,以曲为宜径作OM,与线段08有一个异于点。的公共点,连接。.过。作/_1_匹，交OM于F.(1)求抛物线的解析式;(2)tanNC的值;(3)当点。在移动过程中恰使尸

57、点落在抛物线上，求此时点。的坐标;连接5尸，求点。在线段。4上移动时，BF扫过的面积.备用图 TOC o 1-5 h z 759【答案】(1)y=-x2+x+2；(2)-；(3)(L0)；32424347f5x9+3+c=0h=【详解】(1)将点A、。的坐标代入抛物线的表达式得：24，解得:24,c=2c=2故抛物线的解析式为：y=X24-x+2；2424(2)如图1,连接CE、CF、FO,图1.C是直径，/.NCED=90,即CEA.DE,又，：DFIDE,ZFDC=ZCD=ZEOD=ZBOA,AB2/.tanZ.FDC=tan/BOA=；AO3(3)如图2,连接尸O,则NFOG=NFCD,

58、.8是直径，NCFD=90。,.DFtDE,:.NFDE=90。FCIIDE,ZFCD=ZCDE=NCOE,/FOG=4FCD=Z.CDE=4COE,3tanZ.FOG=tanZ.COE=tan/COB=一，故直线O尸的表达式为联立并解得故点过点F作y轴的平行线GH解得故点D的坐标为如图3OD过点尸作y轴的平行线HG由知tanNFOG轴于点G ,交过点C与x轴的平行线于点H轴丁点G ,交过点C与x轴的平行线于点HZLHCF = NGFD则BF扫过的面积为ABQF的面积，ZCFO=90在RtAFOG中，FO=jFG2+OG2=413a=-,13同理在RtAAOB中，OB=V13,.OFYOE,B

59、F扫过的面积=SOF=xBOxFO=xVI3x)=3,尔2213故8b扫过的面枳为3.24.(2020江北区模拟)如图1,平面直角坐标系中，AOAB的边。4在x轴的正半轴上，点8在第二象限，且乙4。8=135。，04=2,OB=2y/2,抛物线y+bx+c,经过点8,并与y轴交于点C(0,5),点P4在抛物线的对称轴上.(1)求6、c的值，及抛物线的对称轴.(2)求证：以点M(2,5)为圆心，半径为26的圆与边AB相切.(3)若满足条件NAO3+NPO=180。与OB:OD=04:QP的点。恰好在抛物线上，请求出此时点P的坐1a iv.7rv7rv/标. 图1备用图【答案】(1)? = 1 ,

60、 x =二一=2； (2)见解析；( 卜=52x(-1)【详解】(1)解：如图1中，作轴丁 ” .1V/Ho A图1vZAOB = 135,：.ZBOH=45,ZOHB = 90。，OB = 242 ,vFop备用图3) (2,-2 + 2石)或(2,-2 - 2亚)或(2,-8)或(2,4):.BH = OH = 2 ,.5(-2,2),抛物线y=+法+c经过点8，并与y轴交于点C(0,5),4fc=5一-2bc=2,解得,c=5抛物线的解析式为y=+工+5,4抛物线的对称轴x=匚=2.2x(-)4(2)证明：如图2中，作M/_LA8于/.图2A(2,0),8(-2,2),直线的解析式为y=