高二数学《曲线上一点处的切线》导学案

1、江苏省宿迁中学高二数学（选修2-2）导学案 PAGE PAGE 41.1.2 曲线上一点处的切线一、学习目标1. 理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的概念、求法及切线方程的求法.2. 掌握“局部以直代曲”和“用割线的逼近切线”的思想方法.二、教学难点、重点重点：理解曲线在一点处的切线和切线的斜率的定义，掌握曲线在一点处切线斜率的求法.难点：理解曲线在一点处的切线的定义，特别是对“无限逼近”、“局部以直代曲”的理解.三、课前预习1. 在下列曲线中,可以用割线逼近切线的方法作出过点P的切线的有.(填序号)2. 求曲线y= QUOTE 在点(1, QUOTE )处的切线的斜率.3. 已知抛物线y=a

2、x2+bx-7过点(1,1),过点(1,1)的抛物线的切线方程为y=4x-3,求a,b的值.4抛物线yeq f(1,4)x2在点Q(2，1)处的切线方程是_5在曲线yx2上切线倾斜角为eq f(,4)的点是()A(0,0) B(2,4) C(eq f(1,4)，eq f(1,16) D(eq f(1,2)，eq f(1,4)6、已知，求曲线在处的切线斜率是多少？四、教学过程（一） 问题情境平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势,如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?(点P附近的曲线的研究)提出“放大图形”的方法.(图1)(图1)（二） 数学建构问题1观察“点P附近的曲线”,随着图

3、形放大,你看到了怎样的现象?解曲线在点P附近看上去几乎成了直线;继续放大,曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l,这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线.问题2“几乎成了一条直线”,这么一条特殊的直线有明确位置么?又为什么说是“几乎”呢?(图2)解点P附近可以用这条直线l代替曲线,用直线l的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势.问题3怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢?以右图为例.解随着点Q沿曲线向点P运动,直线PQ在点P附近越来越逼近曲线.4动画演示：观察点Q的运动,直线PQ的运动,直线PQ斜率的变化,从而生成概念.(图4)(图5)Q为曲线上不同于点P的一点,这时,直线PQ

4、称为曲线的割线;当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l就称为曲线在点P处的切线.5问题4对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化率表现为什么?我们又用怎样的数学模型来刻画曲线上P点处的变化趋势呢?由切线的概念来求切线斜率,割线斜率无限逼近即成切线斜率.当x无限趋近于0时, QUOTE 无限趋近于点P(x,f(x)处切线的斜率.(三)例题分析例1 已知，求曲线在处的切线的斜率.例2 曲线 的一条切线的斜率是，求切点的坐标.例3 求曲线在点处的切线方程.例4 已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设s时的速度为，求当s时轿车的瞬时加速度.五、 课堂小结1. 知识层面:主要学习了曲线上一点处的切线.2. 思想方法层面:利用“局部以直代曲”和“无限逼近”的思想,用割线来逼近切线.3. 总结我们经历过的“以直代曲”“无限逼近”的生活实例和数学实例六、课后练习1.求曲线在点处的切线的直线方程.2.求曲线在点处的切线方程.3.求曲线在处的切线的倾斜角.4. 在点处的切线斜率为，求点的坐标.5.求下列曲线在指定点处的切线斜率.（1）,处（2），处6.求曲线在点处的切线方程.7