第二型曲面积分论文

1、PAGE PAGE 18目录 TOC o 1-2 h z u HYPERLINK l _Toc292723941 1 引言 PAGEREF _Toc292723941 h 1 HYPERLINK l _Toc292723942 2 文献综述 PAGEREF _Toc292723942 h 1 HYPERLINK l _Toc292723943 3预备知识 PAGEREF _Toc292723943 h 1 HYPERLINK l _Toc292723944 3.1 第二型曲面积分的定义 PAGEREF _Toc292723944 h 1 HYPERLINK l _Toc292723945 3.

2、2第二型曲面积分的性质 PAGEREF _Toc292723945 h 2 HYPERLINK l _Toc292723946 4常用计算公式 PAGEREF _Toc292723946 h 2 HYPERLINK l _Toc292723947 5 Mathematica相关知识 PAGEREF _Toc292723947 h 4 HYPERLINK l _Toc292723948 6第二型曲面积分的计算 PAGEREF _Toc292723948 h 5 HYPERLINK l _Toc292723949 6.1 用mathematica计算 PAGEREF _Toc292723949 h

3、 5 HYPERLINK l _Toc292723950 6.2分项投影法 PAGEREF _Toc292723950 h 6 HYPERLINK l _Toc292723951 6.3 参数法 PAGEREF _Toc292723951 h 8 HYPERLINK l _Toc292723952 6.4利用高斯公式 PAGEREF _Toc292723952 h 8 HYPERLINK l _Toc292723953 6.5定义法 PAGEREF _Toc292723953 h 12 HYPERLINK l _Toc292723954 6.6 解题技巧轮换对称性 PAGEREF _Toc29

4、2723954 h 14 HYPERLINK l _Toc292723955 7结论 PAGEREF _Toc292723955 h 15 HYPERLINK l _Toc292723956 7.1 主要观点 PAGEREF _Toc292723956 h 15 HYPERLINK l _Toc292723957 7.2 启示 PAGEREF _Toc292723957 h 15 HYPERLINK l _Toc292723958 7.3 局限性 PAGEREF _Toc292723958 h 15 HYPERLINK l _Toc292723959 7.4 努力方向 PAGEREF _Toc

5、292723959 h 16 HYPERLINK l _Toc292723960 参考文献 PAGEREF _Toc292723960 h 171 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成局部，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，因而显得更加复杂，繁琐。在第二型曲面积分的学习过程中，学生必须在理解概念的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。由于第二型曲面积分的的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定难度，本文就第二型曲面积分的的计算方法进行了归纳和总结，并用计算机辅助求解.2 文献综述众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲面

6、积分的计算.刘玉琏在文献?数学分析讲义?中介绍了第二型曲面积分的概念、性质，并且给出计算第二型面积分的定理.在文献?数学试题精选与大体技巧?中概括了第二型曲面积分被积函数的类型.薛嘉庆在文献?高等数学题库精编?总结了根据被积函数类型的不同，有不同的计算方法，并且列举了相应的例子.在文献?数学分析简明教程?中探究第二型曲面积分可以化为定积分来计算公式并给出相应的证明.在文献?华东师范大学教学系?介绍了在第二型曲面积分的计算中将路径的参数方程表示出来，在文献?高等数学解题方法与技巧?简述了做题常用的技巧.阳明盛.林建华在文献?Mathemactica根底及数学软件?中给出了用数学软件Mathema

7、ctica解题的调用格式.3预备知识3.1 第二型曲面积分的定义设S为光滑的有向曲面，Px,y,z,Q(x,y,z),R(x,y,z) 在S上有界，把S任意分成n块有向曲面，S，i=1,2，n，记S在xy平面上的有向投影为S，(，)为S上任取定的一点, 为每个S的直径中的最大者,作和数， (，)S.如果 (，)S总存在，那么称此极限值为R任有向曲面S上沿xy平面的第二型曲面积分，记为.类似可定义= (，)S,= (，)S,分别为P在有向曲面S上沿yz平面的第二型曲面积分，Q在有向曲面S上沿zx平面的第二型曲面积分，并且称+=为P,Q,R在有向曲面S上的第二型曲面积分.3.2第二型曲面积分的性质

8、第二型曲面积分除曲面可加性外，还具有有向性，即= ,+Rdz= +Rdz,= .3.3第一、第二型曲面积分的关系设空间有向曲面S上任一点的法线正向的方向角为，那么=.4常用计算公式4.1 投影法设P,Q,R是定义在光滑曲面上S上的连续函数，且S的方程z=z(x,y) (x,y)DD为S在xy平面上的投影，那么.zdxdy，dxdy，dxdy.其中S取上侧同理，当S的方程为x=x(y,z)时,dydz,dydz.4.2参数法常用球面参数和柱面参数：球面参数：，可推广到椭球面.柱面参数；,其他参数由于计算复杂使用不多.4.3单一坐标平面投影法 设以Oxy平面为投影面,以Oyz,Ozx平面为投影面情

9、况类似.4.4分项投影法分项投影法是利用第二型曲面积分的线性性：,分别将右式三项投影到Oyz,Ozx,Oxy平面上，由于，.分别投影直接计算二重积分，防止投影到一面上求偏导的计算，此法非常实用，看似复杂，实那么简单，非常实用.计算中要注意原曲面与投影曲面一一对应，假设不一一对应要分片投影，如一个完整的球投影到xoy平面上，上下半球曲面要分别投影计算.计算中注意利用方向性等性质以简化计算.4.5奥高公式设空间有界去区域V的边界为S，函数P,Q,R在V及S上具有一阶连续偏导数.那么=,其中S取正向.5 Mathematica相关知识5.1曲面表示法(1)直角坐标显式：z=z(x,y);(2)直角坐

10、标隐式：Fx,y,z;(3)参数形式：x=x(u.v),y=(u,v),z=(u.v);(4)数据形式：即将曲面上的点表示为, ,;.5.2曲面绘制法显示曲面z=f(x,y)绘图函数的调用格式：Plot3Df(x,y),x,x1,x2,y,y1,y2,可选项例1 绘制函数z=x+y18(x+y)在区域-4x4，4y4上的图形 图1-4-2024-4-20240200400-4-20245.3 隐式曲面Fx,y,z=0绘图函数的调用格式：ContourPlot3DF(x,y,z),x,x1,x2,y,y1,y2,z,z1,z2,可选项5.4 Integratefx,y,x,a,b,y,c,d:计

11、算累次积分6第二型曲面积分的计算6.1 用mathematica计算例2 求曲面积分，其中S是球面，被平面z=h(0h Identity;a2 = Plot3D1, x, -2, 2, Y, -2, 2, DisplayFunction - Identity;Showa1, a2, AxesLabel - x, y, z, AspectRatio - Automatic, DisplayFunction - $DisplayFunction图2易知，曲面S在xoy平面上的投影区域D是，根据被积函数和积分区域的特点，采用极坐标计算曲面积分：zx_, y_ := Sqrtb2 - x2 - y2;

12、d = 1/zx, y*Sqrt1 = Dzx, y, x2 + Dzx, y, y2/x - r*Cost, y - r*SintIntegrated*r, t, 0, 2pi, r, Sqrtb2 - h2.6.2分项投影法例3 计算积分，为球面x取外侧. 解：对积分，分别用记前半球面和后半球面的外侧.那么有： ,D: y,: ,D: y,因此, = . 对积分, 分别用和记右半球面和左半球面的外侧, 那么有: ;: .因此, += . 对积分, 分别用和记上半球面和下半球面的外侧, 那么有: ;: .因此, =+ = .综上, =.例4 计算积分I=，其中S是三个坐标面与平面x+y+z=

13、1围成的四面体的外外表.解：分析：S由四面光滑曲面S, S， S， S组成，其中S, S， S分别是xoy,zox,yoz平面上的三角形，S是平面x+y+z=1围成在第一卦线中的局部.于是I=(+)x=I+ I+ I+ I解法1：由于S在yoz和zox两个坐标面上的投影为线段I= 又由于S在xoy平面，于是I=0同理可得I，I=0I= =4 = =.于是I= I+ I+ I+ I=.6.3 参数法例5 计算积分 ，其中S是球面x在x局部取外侧解：对S：x 在x局部取上下侧得z=D=(x,y),于是令 =图36.4利用高斯公式Gauss公式： 注意公式只对闭合曲面成立，Gauss公式将第二型曲面

14、积分转化为三重积分，被积函数向量场散度容易求得，有时十分方便求解.如果空间曲面较为复杂但只差一个简单曲面或平面即可构成闭合曲面，那么可利用补面法进行计算，此时也应特别注意方向的判断.例6 计算,其中是边长为b的正立方体外表并取外侧解 应用高斯公式，所求曲面积分等于图4o=例7 设空间区域由曲面与平面围成，其中为正常数.记外表的外侧为的体积为证明分析：由于求证的是给定的曲面积分等于某个区域的体积值，而高斯公式给出了曲面积分与该曲面包含的区域上的某个三重积分间的关系，考虑到体积值可用相应的三重积分表示，应选用高斯公式进行证明.证明：设 那么由高斯公式知 由于 那么.例8计算曲面积分I=，其中为曲面

15、z=1-x的上侧解：添加平面，取下侧那么是一个封闭曲面，取外侧，设所围成的空间区域为P=xz,Q=2yz,R=3xy由奥高公式I=图5注：1Gauss公式的条件是：封闭、外侧、片倒是连续，三者缺一不可. 2正确确定P,Q,R三个函数，并注意分别对那个变量求偏导数曲面积分计算技巧. 假设积分曲面关于想，x,y,z具有轮换对称性，那么,例9 计算曲面积分，其中s是球面.解：分析：假设按照常规方法来解，计算量相当大，如果用对称函数的特性就非常简捷. 球面关于x,y,z具有对称性=图66.5定义法 当单位法向量容易求得，易于表达时可考虑用定义法.例10 计算，其中S是椭球面，外侧. 此题可利用参数法，

16、单一坐标平面投影法，分项投影法等多种方法计算，难度不大，答案是.例11计算I=，其中是锥面x (0 ),cos为锥面的外法线的方向余弦.解：(解法1)如图：图7：z=(0 )，下侧在xoy面上的投影D：x,dS=.zcos,I=解法2利用第一、第二型曲面积分的关系设空间有向曲面S上任一点的法线正向的方向角为，那么=.I= =.例12计算1为锥面z=在0局部的下侧；2为锥面z=与平面z=1所围曲面的内侧.解：如下列图图8(1)：z=，0，下侧 D：,=-,=-=.2=+ ：z=，0，上侧, ：，下侧,图9D：.=-=-.小结：将第二型曲面积分化为二重积分的方法一代：将曲面的方程代入被积函数;二投

17、：将曲面投影到坐标平面;三定号：由曲面的侧来决定取正号还是负号;四换域：改变积分域，曲面变为投影域.6.6 解题技巧轮换对称性例13计算I=，其中是球面的外侧解：由轮换对称性I=,=4.例14 计算曲面积分，其中s是球面.解：分析：假设按照常规方法来解，计算量相当大，如果用对称函数的特性就非常简捷球面关于x,y,z具有对称性, =.7结论7.1 主要观点第二型曲面积分的被积函数类型有多种，学生在做题的时候学生容易受思维的局限，对于哪一种的类型不知用何种方法，此外，对于有些类型的题可以一题多解，虽然用其中一种能解决，但有时显得繁琐，这是可以思考它其它种解法，这样使解题变得简单.随着技术的开展，我

18、们还可以借助数学软件Mathematica进行求解使得计算简单.7.2 启示文章对第二型曲面积分中被积函数类型做了一个系统的归纳，这对在做题时容易辨析用何种方法计算及灵活使用计算技巧，从而能进一步提高学生的解题能力，对公式定理的记忆也有较大的帮助.7.3 局限性由于第二型曲面积分计算灵活性较大，在文章中解题技巧不能一一归纳出.另外，Mathematica在例题中的应用没能一一写出，本文仅针对几个典型例题进行了分析.7.4 努力方向除了文中所述的理论知识外，由于第二型曲面积分的解题方法技巧是复杂多变的，而且要有一定的实践经验为根底.在今后的学习和实践中将不断的深入研究，结合具体的实践经验，以弥补

19、文章中的许多缺乏之处.参考文献1刘玉琏.数学分析讲义M. 北京：高等教育出版社，2022:11-19.2富景龙.数学试题精选与大体技巧 M.北京：高等教育出版社，2000:89-99.3薛嘉庆.高等数学题库精编理工类M.沈阳：东北大学出版社，2000:198-200.4刘国均，陈绍业.数学分析简明教程M.北京：高等教育出版社，2002:111-119.5丁晓庆编.21世纪高等院校教材工科数学分析M. 北京：科学出版社，2022:61-75.6刘莲芬.曲线积分和曲面积分的教学探索J.重庆交通学院学报，1988,(7):3-4 7余孝华.一类可直接化为累次积分的曲面积分J.大学数学，1999,(5):2-6.8王景克. 高等数学解题方法与技巧M. 北京：中国林业出版社，2002:111-119.9线积分与曲面积分解题技巧J.有色金属高教研究，1