《均值不等式》教学课件2

1、3.2均值不等式第1页，共36页。3. 注意：两个不等式的适用范围不同;第2页，共36页。应用 求最值时,注意验证：一正 、二定 、三相等第3页，共36页。例2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其 容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造 价为150元，池壁每1m2的造价为120元， 问怎样设计水池能使总造价最低？ 最低总造价是多少元？第4页，共36页。 练习: 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池

2、的长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。分析：设污水处理池的长为 x m,总造价为y元，（1）建立 x 的函数 y ； （2）求y的最值.第5页，共36页。 解答设污水处理池的长为 x m, 总造价为y元，则解：y=400 (2x+200/x2)+248(2200/x)+80200=800 x+259200/x+16000.当且仅当800 x=259200/x, 即x=18时，取等号。答：池长18m，宽100/9 m时， 造价最低为30400元。第6页，共36页。练习： 函数有最值，并求其最值。2、求证：在直径为d的圆的内接矩形中，面积最大的是 正方形，这个正方形的面积等于第7页，共36页。课

3、后练习：课本P71 练习A P72 练习B 小结第8页，共36页。学习目标1.掌握算术平均值、几何平均值的概念。2.理解均值定理和重要不等式 几何意义。3.会用定理解决有关比较大小、证明、 求最值等问题。4.重点：两个不等式的证明和区别5.难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的 数学内涵 第9页，共36页。自学提纲1.算术平均值、几何平均值的概念2.基本不等式的内容及成立的条件3.基本不等式的证明4.基本不等式的几何意义5.基本不等式有哪些方面的应用第10页，共36页。基础知识1. 均值定理： 如果 ，那么 当且仅当 时，式中等号成立2. 均值定理的几何意义：即两个正实数的算术平均值大于或等于

4、它的几何平均值第11页，共36页。（当且仅当a=b时，取“=”号）几何解释：半径不小于半弦第12页，共36页。熟悉运算结构我们把 叫做a,b的算术平均数，把 叫做a,b的几何平均数。从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系。回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出现过“和”与“积” 的结构？ 第13页，共36页。 请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个“风车”图案？赵爽弦图第14页，共36页。 a2+b22ab该结论成立的条件是什么 ？ 若a,bR，那么形的角度数的角度 a2+b22ab=(ab)20a0,b0第15页，共36

5、页。 a2+b22ab公式中等号成立的条件是什么？是否仅仅当a=b时等号才成立？ 若a,bR，那么（当且仅当a=b时，取“=”号）形的角度数的角度 当a=b时a2+b22ab=(ab)2=0a=b第16页，共36页。 若a,bR，那么a2+b22ab（当且仅当a=b时，取“=”号）公式两边具有何种运算结构？数的角度:平方和不小于积的2倍 a2+b22ab第17页，共36页。若a,bR，那么a2+b22ab（当且仅当a=b时，取“=”号）以下不等式是否成立？ a2+b22ab，a2+b22|ab|第18页，共36页。基础知识3. 定理：(重要不等式） a2+b22ab 若a,bR，那么（当且仅当

6、a=b时，取“=”号）4.定理的几何意义：第19页，共36页。基础训练1试判断 与 2 的 大小关系？2试判断 与 1 的 大小关系？第20页，共36页。基础训练3试判断 与 7的 大小关系？解：第21页，共36页。基础训练4. 求函数的值域：第22页，共36页。能力训练5. 已知 求函数 的最大值及相应的x值。6. 求 时， 的值域：第23页，共36页。能力训练7.已知时，函数有最_值是_ 8.已知求证：第24页，共36页。课堂小结知识要点：（1）重要不等式和基本不等式的条件及结构 特征（2）基本不等式在几何、代数及实际应用三 方面的意义 思想方法技巧：（1）数形结合思想、“整体与局部” （

7、2）配凑等技巧第25页，共36页。基础知识（6）不等式的变形：注意式中等号成立的条件的取值范围第26页，共36页。基础知识5.最值定理：（1）若a,bR+且ab=p（p为常数）则（当且仅当a=b时取等号）（2）若a+b=S(a,bR+,则 （当且仅当a=b时取等号） 求最值要注意三点：正数定值检验等号是否成立 第27页，共36页。基础训练1.设x+3y2=0，则函数z=3x+27y+3的最小值是DA. B.3+2 C.6 D.92.若t(0,1,则有最小值 B第28页，共36页。3.已知a,b是正数且a+b=1，求 的最小值解：（法一）当且仅当 ，即 时，第29页，共36页。当 时，ymin=

8、9 （法二）当且仅当 时取等号第30页，共36页。4.求下列函数的最值 的最小值 的最小值 的最大值第31页，共36页。(1) 的最大值(2) 的最小值(3) 的最小值能力训练第32页，共36页。(4).若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围能力训练ab9解：第33页，共36页。(5).某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台 (xN*)且每批需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当按排每批进货的数量，使资金够用？ 第34页，共36页。解：设每批购入电视机x台，全年费用为y元，保管费与每批电视机总价值的比例系数为k，则 ，当x=400时，y=43600代入上式得(x-120)