三角多项式逼近与多项式逼近

1、闭区间上连续函数的 Weierstrass三角多项式逼近与多项式逼近、按下面的步骤探索闭区间上连续函数的 Weierstrass三角多项式逼近1、三角多项式函数形如A0 nTn (x)0Ak coskx Bk sin kx ，2 k 1的函数称为以 2 为周期的三角多项式函数； 形如Tn b aA( x a )0Ak cos2 k 1 k(x a) Bk sin( x a) ，b a b a的函数称为以 2( b a) 为周期的三角多项式函数。2、傅里叶级数的一致收敛性设 f (x)是以 2 为周期的连续函数(或 f (x)是 , 上的连续函数，且 f ( ) f ( )，且在 , 上按段光滑

2、，则 f ( x)的傅里叶级数a0an cosnx bnsin nx ，2 n 1或 , )上一致收敛于 f ( x) ，其中，a01f (x)dx ， an11f ( x) cosnxdx ， bnf (x)sin nxdx，n 1,2, )。提示：首先，导出 f (x)与 f ( x)的傅里叶系数的如下关系：记A0， An，Bn(n 1,2, )为 f ( x)的傅里叶系数，则注意到f( ) f ( )可得，1A0An 1Bn 1n11f (x)dx 1 f (x) 1 f( ) f( ) 0，f ( x)cos nxdx 1 f (x )cos nxf ( x)sin nxdx 1n f

3、 (x)sin nxdx nbn ，f ( x)sin nxnf ( x)cos nxd xnan。其次，注意到，11 1 211An( 2 An ) ，anBn(n2 n2 nn2bnn12 Bn2) ，n以及贝塞尔不等式A20 n 1 An2 Bn21 f 2(x)dx，推出an bn 收敛。f (x) 的傅里叶级数n1最后，利用傅里叶级数的收敛定理和优级数判别法可得，a0an cosnx bnsin nx ，2 n 1在 ( , ) 上一致收敛于 f (x)。3、以 2 为周期的连续函数的三角多项式逼近设 f (x) 是以 2 为周期的连续函数，则对任意0，存在以 2 为周期的三角多项式

4、函数Tn (x) ，使得，对任意 x ( , ) ，有f ( x) Tn (x) 。提示：由周期函数的特点，只须在 , 探索上述结论；首先，注意到 f (x)在 , 上连续，可得 f (x)在 , 上一致连续，且f ( ) f( )，从而导出：对任意 0，存在 , 上连续的折线函数 L( x) ，使得，1f (x) L( x) ，且 L( ) L( ) ；2其次，利用傅里叶级数的一致收敛性，导出：存在三角多项式AnTn (x) 0 Ak coskx Bk sin kx ，n2 k 1 k k使得，对一切 x , ，1Tn(x) L( x) 2 。综上所述，f (x) Tn(x)f (x) L(

5、x) L(x) Tn(x)。4、0, 上连续函数的三角多项式逼近设 f (x) 是0, 上的连续函数，则对任意 0，存在以 2 为周期的三角多项式函数 Tn(x)， 使得，对任意 x 0, ，有f ( x) Tn ( x)。提示：先将函数 f(x)延拓成 , 上的连续的偶函数；再将f ( x)延拓成以 2 为周期的连续的偶函数；最后，利用 2 的结论。5、闭区间上连续函数的三角多项式逼近设 f (x) 是a,b 上的连续函数，则对任意0，存在以 2(b a) 为周期的三角多项式函数使得，对任意 x a,b ，有提示：首先，令 x a b a t ，可得f (x) f (a b a t) F (

6、t)是 0, 的连续函数； 然后，利用 3 的结论。二、利用“一”中得到的结论探索闭区间上连续函数的多项式逼近设 f (x) 是a,b 上的连续函数，则对任意 0 ，存在多项式函数 Pn(x) ，使得，对任意x a, b ，有f (x) Pn (x)。提示：首先，利用“一”中第 4 步的结论推出，对任意0 ，存在三角多项式函数使得，对任意 x a,b ，有f (x) Tm b a( x a)其次，对 Tm( x a) 用泰勒定理，并注意到幂级数的内闭一致收敛性：ba(x a) 在x 0处的泰勒级数anxn 在 a,b上一致收敛”b a n 0注意 ：易见， Tm(x a) 在 x 0处的泰勒级数anxn 的收敛半径为，因