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1、第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数4.1 复数项级数4.3 泰勒级数4.4 洛朗级数4.1 复数项级数一、复数序列二、复数项级数一、复数序列1. 基本概念定义设 为复数，称 为复数序列。极限如果对任意给定的 e 0，相应地存在自然数 N，设 为一复数序列，又设 为一确定的复数，当 n N 时，总有 | zn - a | e 成立，或或称 a 为复数序列 的极限，收敛于复数 a，则称复数序列记作使得一、复数序列2. 复数序列极限存在的充要条件则 的充要条件是定理设证明必要性 “ ”若则当 时， P78定理 4.1 则 的充要条件是一、复数序列2. 复数序列极限存在的充要条件定理设

2、证明充分性 “ ”则当 时，若解由 或 发散，即得 也发散。已知故序列 收敛。附考察实序列 的收敛性。(其中 见上例)根据复数模的三角不等式有注(1) 序列 收敛序列 收敛；(2)例设讨论序列 的收敛性。解即序列 收敛。二、复数项级数1. 基本概念定义设 为一复数序列，(1) 称 为复数项级数，(2) 称 为级数的部分和；并且极限值 s 称为级数的和；(3) 如果序列 收敛，即则称级数收敛，(4) 如果序列 不收敛，则称级数发散。简记为二、复数项级数2. 复数项级数收敛的充要条件级数 和 都收敛。则级数 收敛的充分必要条件是定理设证明令 和 分别为级数和 的部分和，则级数 的部分和即得级数 收

3、敛的充要条件是 和 都收敛。由于序列 收敛的充要条件是 和 都收敛， P80定理 4.1 二、复数项级数3. 复数项级数收敛的必要条件则 收敛的必要条件是定理设等价于因此 收敛的必要条件是证明由于级数 收敛的充要条件是 和 都收敛，而实数项级数 和 收敛的必要条件是：P80 定理4.3 级数 收敛，解但级数 发散，因此级数 发散。(几何级数 时收敛)( p 级数 时发散)P81 例4.2 部分 解由于级数 和 均为收敛，(绝对收敛)故有级数 和 均收敛，即得级数 收敛。记为 在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？P81 例4.2 部分 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛二、复数项级数定义(1) 若 收敛，则称 绝对收敛。(2) 若 发散， 收敛，则称 条件收敛。由 收敛，证明收敛，定理若 收敛，则 必收敛。又根据正项级数的比较法可得，和 均收敛，和 均收敛，收敛。P81 P80 定理4.4 解由于即 绝对收敛，故 收敛。分析由于 发散，( p 级

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