优选教育函数的奇偶性与周期性课件

1、2.3函数的奇偶性与周期性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_对称f(x)f(x)y轴f(x)f(x)原点2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个_就叫做f(x)的最小正周期f(xT)f(x)最小最小正数【知识拓展】

2、1函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若T是函数的一个周期，则nT(

3、nZ，n0)也是函数的周期()【答案】 (1)(2)(3)(4)(5)1下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x| Dy2x【解析】 根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数【答案】 B【解析】 f(1)f(1)(11)2.【答案】 A4(2019全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_【解析】 方法一 令x0，则x0)f(2)2232212.方法二 f(2)f(2)2(2)3(

4、2)212.【答案】 12【解析】 当x0时，x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)；当x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)对于x(，0)(0，)，均有f(x)f(x)函数f(x)为奇函数【思维升华】 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断(2)函数f(x)loga(2x)，g(x)loga(2x)(a0且a1)，则函数F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x)g(x)的奇偶

5、性是()AF(x)是奇函数，G(x)是奇函数BF(x)是偶函数，G(x)是奇函数CF(x)是偶函数，G(x)是偶函数DF(x)是奇函数，G(x)是偶函数(2)F(x)，G(x)的定义域均为(2，2)，由已知F(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)F(x)，G(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)G(x)，F(x)是偶函数，G(x)是奇函数【答案】 (1)A(2)B题型二函数的周期性【例2】 (1)函数f(x)lg|sin x|是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为2的偶函数【解析】 (1)因为f(x)lg|sin

6、(x)|lg|sin x|，所以函数f(x)为偶函数因为f(x)lg|sin(x)|lg|sin x|，所以函数f(x)的最小正周期为.2函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期(2)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x)现有以下三个命题：8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线x2对称；f(x)是偶函数其中正确命题的序号是_(2)由f(x)f(x2)0，得f(x2)f(

7、x)，则f(x4)f(x2)f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期；由f(4x)f(x)，得f(x)的图象关于直线x2对称；由f(4x)f(x)与f(x4)f(x)，得f(4x)f(x)，即f(x)f(x)，即函数f(x)为偶函数【答案】 (1)C(2)【思维升华】 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：f(x)为偶函数f(x)f(|x|)若奇函数在x0处有意义，则f(0)0.跟踪训练3 (1)(2019山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)

8、f(x2)若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)【解析】 (1)f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.(2)因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R