数列1：数列基础和等差等比数列 复习讲义-2023届高三数学一轮复习（Word版无答案）

1、数列1：数列基础和等差等比数列目录TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc1165111437 【知识点总结】 PAGEREF _Toc1165111437 h 2 HYPERLINK l _Toc1272028313 【题型一】 根据数列的前n项写出数列通项公式 PAGEREF _Toc1272028313 h 3 HYPERLINK l _Toc780150706 【题型二】 等差数列的相关题型 PAGEREF _Toc780150706 h 4 【题型三】 等比数列的相关题型 7 HYPERLINK l _Toc1605250807 【题型四】 等差等比数列的证明 P

2、AGEREF _Toc1605250807 h 12【知识点总结】知识点一:数列的概念1.数列定义：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n项，. 数列的一般形式为：a1，a2，a3， ，an， ，简记作an.2.数列的通项公式定义：注意：an表示数列，an表示数列中的第n项，anf(n)表示数列的通项公式；同一个数列的通项公式的形式不一定唯一； 不是每个数列都有通项公式.3.数列的递推公式定义：如：数列“1，1，2，3，5，8，13， ”的递推公式是：a11，a21，anan1an2(n3)知识点二:数列的函数特性1.从函数观点看数列序号： 项

3、 ： 4 5 6 7 8 9如上图所示，每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射.从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N*（或它的有限子集）的函数f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1)，f(2)，f(3)， ，f(n)， .通常用an来代替f(n)，其图象是一群孤立点.通项公式反映了自变量n与函数an之间的关系，实质是一个函数解析式.由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质（单调性、最值等）.2.单调性和最值两种方法：（1）“函数法”：建立函数模型，利用函数性质来解决.（2）“定义法”：根据数列单调的定义，对

4、式子进行变换.单调性：an1an单调递增；an1an单调递减.最值：eq blc(avs4alco1(akak1,akak1)ak为最大值；eq blc(avs4alco1(akak1,akak1)ak为最小值.知识点三：数列的前n项和与通项的关系数列的前n项和通常用Sn表示，记作Sna1a2a3an，则通项aneq blc(avs4alco1(S1， n1,SnSn1，n2).注意：通常要检验a1是否适合当n2时得到的an：若适合，则将an用一个式子表示；若不适合，则将an用分段形式表示.【题型一】根据数列的前n项写出数列通项公式 【典例分析】例题1：写出下列数列的一个通项公式：（1）1eq

5、 f(1,2)，2eq f(2,3)，3eq f(3,4)，4eq f(4,5)，.（2）eq f(1,2)，eq f(1,6)，eq f(1,12)，eq f(1,20)，.（3）0，1，0，1，. （4）3，5，9，17，. （5） EQ R(,3)，3， EQ R(,15)， EQ R(,21)，.（6）1，eq f(3,2)，eq f(1,3)，eq f(3,4)，.（7）8，88，888，8888，.（8）0.9，0.99，0.999，0.9999，. 例题2：数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55， 中x的值为_例题3：已知数列an的前4项分别为2，0，2，0，则下列各式

6、不可以作为数列an的通项公式的一项是（ ）an1(1)n1 Ban2sin（eq f(n,2)） Can1cos（n） Daneq blcrc (avs4alco1(2，n为奇数,0，n为偶数)例题4:将自然数的前5个数：（1）排成1，2，3，4，5；（2）排成5，4，3，2，1； （3）排成2，1，5，3，4；（4）排成4，1，5，3，2. 那么可以叫做数列的只有 ( ) (A)（1） (B)（1）和（2） (C)（1），（2），（3） (D)（1），（2），（3），（4）例题5：按规律填空（ ）(1)2，5，8，( )，( )； (2)2，7，12，17，22，( )，( )；(3)5，1

7、0，15，20，( )，( )； (4)( )，( )，13，19，25，31，37；例题6：数列2,3,4,5，的一个通项公式为()Aann Bann1 Cann2 Dan2n例题7:数列的一个通项公式是（ ）A. B. C. D. 例题8:写出以下各数列的通项公式： 【提分秘籍】基本规律 这个就看看就好，了解一下不是重点。 想了一想此处省一些内容。先上重点内容。【题型二】 等差数列的相关题型【典例分析】等差数列的基本量计算例题1：在等差数列an中，a78，前7项和S742，则其公差是为_ _ 例题2：已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ） （A） （B） （C） （D）例题3：

8、已知为等差数列的前项和，若，则的值为 （ ）ABCD 例题4：在等差数列an中，S10120，那么a1a10的值是( ) A.12 B.24 C.36 D.48例题5：设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于( )A13 B35 C49 D63例题6：在等差数列中，若前项的和，则（ ）A4 B-4 C5 D-5例题7：设等差数列的前项和为，已知，则 ( ) A2008 B2008 C2010 D2010 例题8：设是等差数列的前n项和，若（ ） A B C D【变式演练】若等差数列满足 QUOTE a1+a2+a2015+a2016=3 a1+a2+a2015+a201

9、6=3，则的前2016项之和 QUOTE S2016= S2016=（ ） A1506 B1508 C1510 D1512设等差数列的前项和为，若，则（ ）A2 B3 C4 D5在等差数列中，若，则的值为（ ）在等差数列中，则为（ ）若等差数列中，则已知等差数列的前项和味，.（1）求数列的通项公式；设为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；8已知等差数列前9项的和为27，则（ ）（A）100 （B）99 （C）98 （D）979在等差数列中，首项0，公差0，若，则( )A、22B、23C、24D、2510数列是等差数列，则_11在等差数列an中，a3a7a108, a11a44, 记Sn

10、a1a2a3an，则S13等于 。12在等差数列中，已知，公差，求 13 已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；14 已知正项等差数列的前n项和为，且满足，。（I）求数列的通项公式；等差数列的性质（重点 中项，等和性）在等差数列an中，a3a737，则a2a4a6a8_已知等差数列，满足，则此数列的前11项的和( ) A44 B33 C22 D11已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ） A B C D在等差数列an中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（ ）(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24在等差数列中，则此数列前30项和等于（ ）A810 B840

11、 C870 D900等差数列的公差是正数,且,求它的前20项的和.美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元问： 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？【变式演练】1.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加

12、50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?用火柴棒按下图的方法搭三角形：2. 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=45，a4=41，则Sn取得最小值时n的值为（） A23 B24或25 C24 D25在首项为81，公差为7的等差数列中，最接近零的是第( )项已知等差数列an中，aeq oal(2,3)aeq oal(2,8)2a3a89，且an0，S130.

13、(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由【题型三】 等比数列的相关题型（1）等比数列的基本量计算设首项为1，公比为的等比数列的前n项和为Sn，则( )ASn21 BSn32 CSn43 DSn32设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则eq f(S5,S2) 等于( ) A.11 B.5 C.8 D.11设等比数列an的前n项和为Sn，a11，S64S3，则a4_.记等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则eq f(S10,S5) 等于( ) A.3 B.5 C.31 D.335. 已知等比数列的前项和为，且，则（ ） A B C D6. 数列中为的前n项和

14、，若，则 .7. 设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则eq f(S4,a2) 等于( )A2 B4 C.eq f(15,2) D.eq f(17,2)8. 在等比数列an中，已知S448，S860，则S12_.【变式演练】设公比为的等比数列的前项和为，若，则（ ） A.-2 B.-1 C. D. 已知等比数列an前n项和为Sn，且S3=8，S6=9，则公比q= 设等比数列的前项和为，若，则（ ）A1:2 B2:3C3:4 D1:3数列2n的前n项和Sn等于( ) A2n1 B2n2 C2n11 D2n12已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )A31 B33 C

15、35 D37等比数列前项和为，若,则（ ）(A) (B) (C) (D) 已知等比数列an的前n项和为Sn， a1a3eq f( 5 ,2)，且a2a4eq f( 5 ,4)，则eq f(Sn,an)（ ） （A）4n1 （B）4n1 （C）2n1 （D）2n1 设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a41，S37，则S5等于()A.eq f(15,2) B.eq f(31,4) C.eq f(33,4) D.eq f(17,2)在等比数列an中，公比q是整数，a1a418，a2a312，则此数列的前8项和为() A514 B513 C512 D510在等比数列中，则公比等于

16、（ ）A. 4 B. 2 C. D. 或4（2）等比数列的性质（重点 中项及等和性）已知等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求项数n和公比q的值已知各项为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6等于( )A5eq r(2) B7 C6 D4eq r(2)已知等比数列an中，a1a964，a3a720，则a11 在等比数列an中，（1）若，则_ ； （2）若，则_。5.在等比数列中，求6. 在正项等比数列an中，an10，a1a100100，则lg a1lg a2lg a3lg a100_.【变式演练】等比数列an各项均为正数，则已知数列an

17、为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（）A1B2C3 D4一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折（沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为（ ）A. B. C. D. 已知等比数列满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 设xR，记不超过x的最大整数为x，令xxx，则eq blcrc(avs4alco1(f(r(5)1,2)，eq blcrc(avs4alco1(f(r(5)1,2)，eq f(r(5)1,2)( )A是等差数列但不是等比数列 B是等比数列但不是等差数列C既是等差数列又是等比数列 D既不是等差数列也不是等比数列已知公比为

18、的等比数列的前项和为，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 设是各项均为正数的等比数列，求。在等比数列中，且数列的前项和，则此数列的项数等于（ ）A4 B5 C6 D7在等比数列an中，已知a4a7512，a3a8124，且公比为整数，求a10九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，为前天两只老鼠打洞长度之和，则 尺已知等比数列中有，数列是等差数列，且，则（

19、） A2 B4 C8 D16 已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列eq f(1,an)的前5项和为()A.eq f(15,8)或5 B.eq f(31,16)或5 C.eq f(31,16) D.eq f(15,8)在等比数列an中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为 ( ) A2 B2 C2或2 D2或1计算_.差比混合计算（注意区分原有数列是等差还是等比）已知各项均不相等的等差数列 QUOTE 的前四项和 QUOTE 成等比数列.（1）求数列 QUOTE 的通项公式；已知各项均为正数的等比数列的首项，为其前项和，若，成等差数列，求数

20、列的通项公式；已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列（1）求数列an的通项公式；已知等比数列的公比，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；已知公差不为0的等差数列的首项（）,该数列的前n项和为，且，成等比数列,（）求数列的通项公式及；等比数列的前项和为，已知成等差数列.（1）求的公比；（2）若，求.【变式演练】设，数列的前项和为，已知，成等比数列.（）求数列的通项公式；已知是公差的等差数列，成等比数列，；数列是公比为正数的等比数列，且，（I）求数列，的通项公式；已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，eq f(1,2)a3,2a2成等差数

21、列，则eq f(a9a10,a7a8)等于()A1eq r(2) B1eq r(2) C32eq r(2) D32eq r(2)已知数列是递减等比数列，且,成等差数列（1）求数列的通项公式；若是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列。（I）求数列的公比q； （II）若4，求数列的通项公式。单调递增的等差数列成等比数列.(1)求数列的通项公式；等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则an的公比为_在公比为的等比数列中，与的等差中项是.求的值；【提分秘籍】基本规律该部分内容为基础公式熟悉部分，知识点简单，计算问题是重点，等比多用除法。以上内容为增强公式的记忆及相关

22、计算的技巧。多练多做提高正确率和做题速度。【题型四】 等差等比数列的证明【典例分析】(2022全国甲理文) 记Sn为数列an的前n项和已知eq f(2Sn,n)n2an1(1)证明：an是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值。2. 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a37，a5a726(1)求an及Sn；(2)令bneq f(Sn,n)(nN*)，求证：数列bn为等差数列3. 已知数列an中，a1eq f(3,5)，an2eq f(1,an1)(n2，nN*)，数列bn满足bneq f(1,an1)(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和

23、最小项，并说明理由4. 在数列an中，a14，nan1(n1)an2n22n(1)求证：数列eq blcrc(avs4alco1(f(an,n)是等差数列；(2)求数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)的前n项和Sn5数列an满足a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*(1)求证：数列eq blcrc(avs4alco1(f(an,n)是等差数列；(2)设bn3neq r(an)，求数列bn的前n项和Sn6若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1eq f(1,2)(1)求证：eq blcrc(avs4alco1(f(1,Sn)成等差数列；(2)

24、求数列an的通项公式7已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn3an3n13(nN*)(1)设bneq f(an,3n)，求证：数列bn为等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)设cneq f(an,n)eq f(an,3n)，Tnc1c2c3cn，求Tn8(2021全国乙)设Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知eq f(2,Sn)eq f(1,bn)2(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式9(2014全国)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由10设数

25、列an的前n项和为Sn，且满足an eq f(1,2)Sn10(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在实数，使得数列Sn(n2n)为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由11若数列bn对于任意的nN*，都有bn2bnd(常数)，则称数列bn是公差为d的准等差数列如数列cn，若cneq blcrc (avs4alco1(4n1，n为奇数，,4n9，n为偶数，)则数列cn是公差为8的准等差数列设数列an满足a1a，对于nN*，都有anan12n(1)求证：an是准等差数列；(2)求an的通项公式及前20项和S2012已知数列an的首项a10，an1eq f(3an,2an1)

26、(nN*)，且a1eq f(2,3)(1)求证：eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)1)是等比数列，并求出an的通项公式；(2)求数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)的前n项和Tn13已知数列an的前n项和为Sn，nN*，a11，a2eq f(3,2)，a3eq f(5,4)，且当n2时， 4Sn25Sn8Sn1Sn1(1)求a4的值；(2)证明：eq blcrc(avs4alco1(an1f(1,2)an)为等比数列14已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n(nN*)(1)求数列an的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列eq blcrc(av

27、s4alco1(anf(2,3)1n)为等比数列，并求出an的通项公式15已知在正项数列an中，a12，点An(eq r(an)，eq r(an1)在双曲线y2x21上，数列bn中，点(bn，Tn)在直线yeq f(1,2)x1上，其中Tn是数列bn的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列16已知数列an满足：a11，an1eq blcrc (avs4alco1(an1，n为奇数，,2an，n为偶数)(nN*)，设bna2n1(1)求b2，b3，并证明bn12bn2；(2)证明：数列bn2为等比数列；若a2k，a2k1,9a2k2成等比数列，求正整数k的值17(2019全国)已知数列an和bn满足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式18(2018全国)已知数列an满足a11，nan12(n1)a