《变量与函数》学案

1、变量与函数学案一、基础知识1变量和常量的概念在一个变化过程中，我们称数值 的量为变量，数值 的量为常量2函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 ，那么我们就说 是自变量， 是 的函数如果当xa时，yb，那么 叫做当自变量的值为 时的函数值二、自主探究1分别指出下列问题（1）（4）的变化过程中所涉及的量，在这些量中哪些量是发生了变化的？哪些量是始终不变的？（1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h填写下表，s的值随t的值的变化而变化吗？ （2）电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205

2、张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？ （3）你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？ （4）用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？ 2在问题（1）（4）的变化过程中，发生变化的量有限制条件吗？如何限制？ 3请给上述问题（1）（4）中发生了变化的量和始终不变的量起一个恰当的名称 4在一

3、个变化过程中，理解变量、常量的关键词是什么？ 5上面问题（1）（4）中是否各有两个变量？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？ ， 6由以上探究我们可以归纳这样的结论：上面的每一个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有 的值与其对应7其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？ （2）在

4、下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？ 8形成函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有 ，那么我们就说 是自变量， 是 的函数如果当xa时，yb，那么 叫做当自变量的值为 时的函数值据此可以认为：上面问题（1）中 是自变量， 是 的函数当t1时的函数值s ；当t2时的函数值s ；当t2.5时的函数值s ；同样地，在以上心电图问题中， 是自变量， 是 的函数；在人口数统计表中， 是自变量， 是 的函数当x2 010时，函数值y 亿从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都

5、存在函数关系9书写例题步骤例汽车油箱中有汽油50 L如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km（1）写出表示y与x的函数关系的式子；（2）指出自变量x的取值范围；（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？ ， ， 像y500.1x这样，用关于自变量的数学式子表示 之间的关系的式子，叫做函数的解析式，它是描述函数的常用方法三、反馈练习1在ABC中，它的底边长是a，底边上的高是h，则三角形面积，当a为定长时，在此式子中（ ）AS、h是变量，、a是常量 BS、h、a是变量，是常量Ca、h是变量，、S是常量 DS是变量，、a

6、、h是常量2在函数中，自变量x的取值范围是（ ）Ax1 Bx1Cx3且x1 Dx3或x13已知函数，当xm时函数值为1，则m值为（ ）A1 B3 C3 D14自变量的取值范围是的函数是（ ）A BC D5指出下列变化过程中的变量和常量：（1）汽油的价格是7.4元/升，加油x升，车主加油付油费y元； （2）小明看一本200页的小说，看完这本小说需要t天，平均每天所看的页数为n； （3）用长为30 cm的绳子围矩形，围成的矩形一边长为x cm，其面积为S 6下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？蚂蚁离起点的水平距离t是离地高度h的函数吗？为

7、什么？7下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变（2）秀水村的耕地面积是，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化8求下列函数中自变量x的取值范围（1）y3x1；（2）；（3）；（4）9每个同学购买一支钢笔，每支笔5元，求总金额y（元）与学生人数n（个）的函数关系，并指出关系式中的函数与自变量，写出自变量的取值范围10列出下列问题的函数关系式，并写出自变量的取值范围：（1）如图，直角三角形ABC，C90，锐角A的度数y与另一锐角B的度数x的关系；（2）某20层高的大厦底层高4.8米，以上各层高3.2米

8、，第n层楼顶的高度h（米）与n的函数关系11一水管以均匀的速度向容积为100立方米的空水池中注水，注水的时间t与注入的水量Q如下表：请从表中找出t与Q之间的函数关系式，且求当t5分15秒时，水池中的水量Q的值参考答案：一、基础知识1发生变化，始终不变2唯一确定的值与其对应，x，y，x，b，a二、自主探究1（1）涉及的量有：速度、时间和路程，其中时间和路程发生了变化，速度始终不变；（2）涉及的量有：票价、张数和票房收入，其中张数和票房收入发生了变化，票价始终不变；（3）涉及的量有：圆周率、半径和面积，其中半径和面积发生了变化，圆周率始终不变；（4）涉及的量有：矩形的周长、边长和邻边长，其中边长和

9、邻边长发生了变化，矩形的周长始终不变2变化过程中，发生变化的量要符合实际问题的意义如问题（1）中的时间t就不能为负数，问题（2）中票的张数x就只能为自然数3在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量4在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词分别是：发生了变化和始终不变5变化过程（1）有两个变量t、s，当t取定一个值时，s有唯一确定的值与其对应变化过程（2）有两个变量x、y，当x取定一个值时，y有唯一确定的值与其对应变化过程（3）有两个变量r、S，当t取定一个值时，S有唯一确定的值与其对应变化过程（4）有两个变量x、y，当x取定一个值时，y有唯一确定的值与其对应6唯

10、一确定7（1）心电图中，对于x的每个确定值，y都有唯一确定的值与其对应；（2）表格中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y8唯一确定的值与其对应，x，y，x，b，a时间t，路程s，t，60，120，150；时间x，心脏部位的生物电流y，x；年份x，人口数y，x，13.719解：（1）行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数行驶路程为x时耗油为：0.1x油箱中的油量为：500.1x所以函数关系式为：y500.1x（2）仅从式子y500.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶路程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油50 L，

11、即0.1x50，x500因此自变量x的取值范围是：0 x500（3）汽车行驶200 km时，油箱中的汽油量是函数y500.1x在x200时的函数值将x200代入y500.1x，得y500.120030即汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油函数与自变量三、反馈练习1A2C3B4D5（1）变量x，y；常量7.4（2）变量t，n；常量200（3）变量x，S；常量306蚂蚁离地高度h不是离起点的水平距离t的函数，因为在蚂蚁爬行过程中虽有两个变量t、h，但当t取定一个值时，h有多个值与其对应蚂蚁离起点的水平距离t是离地高度h的函数，因为在蚂蚁爬行过程中有两个变量t、h，当h取定一个值时，t有唯一确定的值与其对应7（1）正方形的边长x是自变量，正方形的面积S是x的函数函数关系式：（2）这个村人口数n是自变量，人均占有耕地面积y是n的函数函数关系式：8（1）x取任意实数；（2）x取任意实数；（3）x2；（4）x2点拨：一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上述的第（1）（2）两题，x取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第（3）题，(x2)必须不等于0式子才有意义，对于第（4）题，(x2)必须是非负数式子才有意义9y5n，