应力状态分析强度理论材料力学第五版解析课件

1、第七章 应力状态分析 强度理论17-1 应力状态概述一、应力状态的概念请看下面几段动画 低碳钢 铸铁1、低碳钢和铸铁的拉伸2脆性材料扭转时沿45螺旋面断开 低碳钢和铸铁的扭转 低碳钢 铸铁7-1 应力状态概述3 （1）拉中有剪,剪中有拉; （2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力; （3）同一面上不同点的应力各不相同; （4）同一点不同方向面上的应力也是各不相同 3.重要结论 4.一点的应力状态过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状态,亦指该点的应力全貌.哪一点？哪个方向面？应 力哪一个面上？哪一点？7-1 应力状态概述4二、应力状态的研究方法 1. 单元体 （2）任意一对平

2、行平面上的应力相等 2. 单元体特征 3. 主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体 （1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布3122317-1 应力状态概述5 4.主平面 切应力为零的平面 5.主应力 主平面上的正应力 说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按代数值大小的顺序来排列, 即1237-1 应力状态概述6 三、应力状态的分类 1.三向应力状态 三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零2.二向应力状态 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零3.单向应力状态 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不

3、等于零3122312211117-1 应力状态概述7例题 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pDyz 薄壁圆筒的横截面面积pDnn（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为Fmmnn7-1 应力状态概述8直径平面（2）假想用一直径平面将圆筒截开,并取下半环为研究对象pyFNFNd7-1 应力状态概述9平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx7-2 二向应力状态分析-解析法xxyzyxyyxxyxyyx10一、斜截面上的应力1.截面法 假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下单体元的左边部分eaf 作为研究对象xyaxxyxxyefnefaxxyyxyn7-2 二向应力状

4、态分析-解析法11xyaxxyxxyefn （1）由x轴转到斜面外法线n,逆时针转向时为正 （2）正应力仍规定拉应力为正 （3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正2. 符号的确定efaxxyyxynt7-2 二向应力状态分析-解析法12 设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为dAsinefaxxyyxynefadAdAsindAcos3.任意斜截面上的应力 对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得t7-2 二向应力状态分析-解析法13化简以上两个平衡方程最后得不难看出即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数7-2 二向应力状态分析-解析法14二、最大正应力

5、及方位1.最大正应力的方位令 =0 时 0 和 0+90确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.7-2 二向应力状态分析-解析法152.最大正应力 将 0和 0+90代入公式 得到max和min (主应力） 下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角7-2 二向应力状态分析-解析法16 （1）当x y 时,0 是x与max之间的夹角 （2）当xy 时,0 是x与min之间的夹角 （3）当x=y 时,0 =45,主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来 则确定主应力方向的具体规则如下 若约定 | 0 | 45即0 取值在45范围内7-2 二向

6、应力状态分析-解析法17二、最大切应力及方位1.最大切应力的方位 令 1 和 1+90确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.7-2 二向应力状态分析-解析法182.最大切应力 将1和 1+90代入公式 得到max和min 比较和可见7-2 二向应力状态分析-解析法最大和最小切应力所在平面与主平面夹角为4519例题 简支梁如图所示.已知 m-m 截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为 =-70MPa, =50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.AmmalA解：把从A点处截取的单元体放大如图7-2 二向应力状态分析-解析法20因为 x y ，所以 0=

7、 27.5与min对应xAA013137-2 二向应力状态分析-解析法21xyxy例题 图示单元体,已知 x =-40MPa,y =60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30ef解:（1）求 e-f 截面上的应力7-2 二向应力状态分析-解析法22（2） 求主应力和主单元体的方位因为x 0例题 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.xy所以0=-45与max 对应45 （2）求主应力1 = ,2 = 0 , 3 = - 137-2 二向应力状态分析-解析法247-3 平面应力状态分析-图解法一、莫尔圆 将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号

8、两边平方,然后相加便可消去,得25 因为x ,y ,xy 皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的圆周方程.当斜截面随方位角 变化时,其上的应力 , 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆. 1.圆心的坐标 2.圆的半径此圆习惯上称为 应力圆 , 或称为莫尔圆7-3 平面应力状态分析-图解法26 （1）建 - 坐标系,选定比例尺二、应力圆作法1.步骤xyxxyxxyyy7-3 平面应力状态分析-图解法27DxyO （2）量取OA= xAD = xy得D点xyxxyxxyxAOB= y （3）量取BD= yx得D点yByxD （4）连接 DD两点的直线与 轴相交于C 点 （5）以C为圆心, CD 为半

9、径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C7-3 平面应力状态分析-图解法28 （1）该圆的圆心C点到 坐标原点的 距离为 （2）该圆半径为DxyOxAyByxDC2.证明7-3 平面应力状态分析-图解法29三、应力圆的应用1.求单元体上任一截面上的应力 从应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE.圆周上 E 点的坐标就是斜截面上的正应力 和切应力.DxyOxAyByxDC20FE2xyaxxyxxyefn7-3 平面应力状态分析-图解法30 （1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标.说 明AB （2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元

10、体上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.2OCBA7-3 平面应力状态分析-图解法312.求主应力数值和主平面位置（1）主应力数值 A1 和 B1 两点为与主平面对应的点,其横坐标 为主应力 1,2 12DxyOxAyByxDC20FE2B1A17-3 平面应力状态分析-图解法3220DxyOxAyByxDC12A1B1（2）主平面方位 由 CD顺时针转 20 到CA1 所以单元体上从 x 轴顺时针转 0 （负值）即到 1对应的主平面的外法线 0 确定后,1 对应的主平面方位即确定7-3 平面应力状态分析-图解法333.求最大切应力 G1和G2两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力 20Dxy

11、OxAyByxDC12A1B1G1G2最大、最小切应力等于应力圆的半径7-3 平面应力状态分析-图解法34O例题 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, x = -1MPa , y = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa , （1）绘出相应的应力圆 （2）确定此单元体在 =30和 =-40两斜面上的应力.xyxy解: （1） 画应力圆，选定比例尺： 量取OA= x= - 1 , AD = xy= - 0.2,定出 D点;ACB OB =y= - 0.4和， BD = yx= 0.2 , 定出 D点. (-1,-0.2)DD(-0.4,0.2) 以DD为直

12、径绘出的圆即为应力圆.7-3 平面应力状态分析-图解法135 将半径 CD 逆时针转动 2 = 60到半径 CE, E 点的坐标就代表 = 30斜截面上的应力。（2）确定 = 30斜截面上的应力E60（3）确定 = - 40斜截面上的应力 将半径 CD顺时针转 2 = 80到半径 CF, F 点的坐标就代表 = - 40斜截面上的应力.F80ADCBOD 3040 403030= - 0.36MPa30= - 0.68MPa40= - 0.26MPa-40= - 0.95MPa7-3 平面应力状态分析-图解法36 已知受力物体内某一点处三个主应力1, 2, 3 利用应力圆确定该点的最大正应力和

13、最大切应力.一、 空间应力状态下的与主平面垂直的斜截面上的最大正应力和最大切应力7-4 三向应力状态分析3122313713 首先研究与其中一个主平面 （例如主应力3 所在的平面）垂直的斜截面上的应力122 用截面法,沿求应力的截面将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象217-4 三向应力状态分析38 主应力 3 所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力 , 与3 无关, 只由主应力1 , 2 决定 与3 垂直的斜截面上的应力可由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表示1233217-4 三向应力状态分析39 该应力圆上的点对应于与3 垂直的所有斜截面上的应力 A1O2B 与主应力

14、 2 所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可用由1 ,3作出的应力圆上的点来表示C3 与主应力所在主平面垂直的斜截面上的应力 , 可用由2 ,3作出的应力圆上的点来表示7-4 三向应力状态分析40 该截面上应力 和 对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内 abc 截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc121237-4 三向应力状态分析二、 任意斜截面上的最大正应力和最大切应力41A1O2BC3结论 三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力 最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上A点的横坐标17-4 三向应力状态分析42A1O2BC3

15、最大切应力则等于最大的应力圆的半径 最大切应力所在的截面与 2 所在的主平面垂直,并与1和3所在的主平面成45角.7-4 三向应力状态分析43一、各向同性材料的广义胡克定律 （1） 正应力:拉应力为正, 压应力为负1.应力、应变的符号规定 （2） 切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则为正;反之为负 （3） 线应变:以伸长为正, 缩短为负; （4） 切应变:使直角减小为正, 增大为负.xx7-5 广义胡克定律yzyxyyxz44yy x 方向的线应变 用叠加原理,分别计算出x , y , z 单独存在时, x,y,z方向的线应变x ,y,z,然后代数相加.2.各向同性材料的广义胡

16、克定律单独存在时单独存在时 单独存在时xyyzzzxx7-5 广义胡克定律45 在 x ,y ,z同时存在时, x 方向的线应变x为 同理,在 x ,y ,z同时存在时, y , z 方向的线应变为 在 xy,yz,zx 三个面内的切应变为7-5 广义胡克定律46上式称为广义胡克定律 沿x,y,z轴的线应变 在xy,yz,zx面上的角应变7-5 广义胡克定律47 对于平面应力状态 （假设z = 0,xz= 0,yz= 0）xyzxyxyyxxyxyyx7-5 广义胡克定律483.主应力-主应变的关系 二向应力状态下 设 3 = 0 已知 1,2,3; 1,2,3为主应变7-5 广义胡克定律49

17、二、各向同性材料的体积应变123a1a2a3 构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变，用q 表示.下面看看各向同性材料在三向应力状态下的体积应变 如图所示的单元体,三个边长为 dx , dy , dz 变形后的边长分别为 变形后单元体的体积为dx(1+,dy(1+2 ,dz(1+3 V1=dx(1+ dy(1+2 dz(1+37-5 广义胡克定律50 体积应变为7-5 广义胡克定律51bhzb=50mmh=100mm例题 已知矩形外伸梁受力F1,F2作用. 弹性模量E=200GPa,泊松比= 0.3, F1=100KN,F2=100KN. 求:（1）A点处的主应变 1,2 , 3（2）A点处

18、的线应变 x , y , zaAF1F2F2l7-5 广义胡克定律52解: 梁为拉伸与弯曲的组合变形. A点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力.（拉伸） （负）Ax = 20 x = 30 （1）A点处的主应变1， 2 ， 37-5 广义胡克定律53 （2）A点处的线应变 x , y , z7-5 广义胡克定律54一、强度理论的概念1.引言7-6 强度理论轴向拉压弯曲剪切扭转弯曲 切应力强度条件 正应力强度条件 55 （2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪切试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全因数而得,即根据相应的试验结果建立的强度条件. 上述强度条件具有如下特点（1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态;2.强度理论的概念 是关于“构件发生强度失效起因”的假说.7-6 强度理论56 基本观点 构件受外力作用而发生破坏时,不论破坏的表面现象如何复杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的. 根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料在单向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态下的强度条件.7-6 强度理论57 （1）脆性断裂 :无明显的变形下突然断裂.二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）屈服失效 材料出