人教A版高中数学必修五 1.1.1 正弦定理课件

1、1.1.1 正弦定理主题正弦定理1.在RtABC中, 存在怎样的关系?提示:在RtABC中,因为sin A= ,故c= ,同理c= ,因此 又因为C=90,故 2.在锐角ABC中,以上关系式是否仍然成立? 提示:如图,在锐角ABC中,作CDAB于点D,有 =sin A, =sin B.所以CD=bsin A=asin B.所以 同理,在ABC中, 所以 成立.结论:1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的_的比相等,即_.正弦2.解三角形(1)三角形的元素:三角形的三个内角A,B,C和它们的对边_.(2)解三角形:已知三角形的几个元素求_的过程.a,b,c其他元素【对点训练】1.在ABC中

2、,a= b,A=120,则角B的大小为()A.30B.45C.60D.90【解析】选A.由正弦定理 得 sin B= ,因为A=120,得B=30.2.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,A=30,B=45,则b的值为()A. B. C. D.2【解析】选C.由正弦定理 可得: .解得:b= .类型一已知两角和一边解三角形【典例1】(1)(2019潮州高二检测)在ABC中, B=135,C=15,a=3,则边b=()A.5 B.4 C.3 D.2 (2)已知在ABC中,D为BC中点,cosBAD= ,cosCAD= ,求BAC的值;求 的值.【解题指南】(1)由已知利

3、用三角形内角和定理可求角A,再根据正弦定理可求b的值即可.(2)先求出sinBAD,sinCAD,根据cosBAC= cos(BAD+CAD)求解.在ABC与ABD中分别利用正弦定理及D为BC中点求解.【解析】(1)选C.因为B=135,C=15,所以A=180-B-C=30,所以由正弦定理 ,可得:b= .(2)因为cosBAD= ,cosCAD= ,所以在ABC中,BAD,CAD为锐角,所以sinBAD= ,sinCAD= ,cosBAC=cos(BAD+CAD) 因为0BAC,所以BAC= 在ABC中, 在ABD中, 又因为BC=2BD,所以 【方法总结】已知两角和一边解三角形的步骤【跟

4、踪训练】1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A= ,B= ,a=3 ,则b=()A.2 B.2C.3D.3 【解析】选A.在ABC中,由正弦定理得 ,所以b= 2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=1,B= ,cos A= ,则a=() 【解析】选A.由cos A= ,得sin A= .由正弦定理 【补偿训练】若在ABC中,AC= ,A=45,C=75,求BC,AB及B.【解析】在ABC中,由A+B+C=180得B=180-A-C=60,在ABC中,由正弦定理得 故BC= 类型二已知两边及其中一边的对角解三角形【典例2】(1)在ABC中,角A,B,C所

5、对的边分别为a,b,c.已知A= ,a=1,b= ,则B=_.(2)已知ABC中,a= ,b= ,A=45,则三角形的解的个数为_.【解题指南】(1)由正弦定理即可求出角B.(2)利用正弦定理求角B的值,从而确定解的个数.【解析】(1)依题意,由正弦定理知 得出sin B= .由于0Ba,故B=60或B=120,所以三角形的解的个数为2.答案:2【延伸探究】1.若本例(1)条件不变,试求边长c. 【解析】由本例(1)解析知B= 或 ,当B= 时,C=- 所以c= 当B= 时,C=- 故c=a=1.2.把本例(1)中的“b= ”改为“b= ”,其他条件不变,试求B.【解析】由正弦定理得 即sin

6、 B= 由于0B0,所以3sin B=4cos B,所以tan B= ,由同角三角函数关系得cos B= .2.已知在ABC中,b=2 ,c=2,C=30,那么解此三角形可得()A.一解B.两解C.无解D.解的个数不确定【解析】选B.因为 ,所以sin B= 因为bc,所以B=60或120,故解此三角形可得两解.类型三利用正弦定理判断三角形形状【典例3】(1)若 则ABC是()A.等腰直角三角形B.有一内角是30的直角三角形C.等边三角形D.有一内角是30的等腰三角形(2)在ABC中,已知 则ABC的形状是_三角形.【解题指南】(1)由正弦定理可得tan B=tan C=1,从而判断ABC形状

7、.(2)切化弦后,利用正弦定理判断.【解析】(1)选A.在ABC中, 则由正弦定理可得 即tan B=tan C=1,所以B=C=45,A=90,故ABC为等腰直角三角形. (2)由正弦定理得 即cos A=cos B,故A=B,所以ABC为等腰三角形.答案:等腰【方法总结】判断三角形形状的常用方法及步骤(1)方法:化边为角或化角为边.(2)步骤:第一步,将题目中的条件,利用正弦定理化边为角或化角为边,第二步,根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边的关系,进而确定三角形的形状.【跟踪训练】设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C +ccos B=asinA,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形【解析】选B.由正弦定理可以得到sin Bc