2020届高三数学一轮复习导学案教师讲义第9章第2讲 两直线的位置关系

1、A1xB1yC10，第2讲两直线的位置关系学生用书P1461两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率都存在且分别为k1，k2，则有l1l2k1k2；特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直2两直线相交直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应A2xB2yC20相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解3三种距离点

2、点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|（x2x1）2（y2y1）2|Ax0By0C|点线距线线距点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离dA2B2d|C1C2|A2B2(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1l2，则

3、A1A2B1B20.()|kx0b|1k2(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB1k的中点在直线l上()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)过点(1，0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10C2xy20B.x2y10Dx2y10解析：选A.由题意知，斜率k，又直线过点(1，0)，所以所求直线方程为y(x11221)，即x2y10.(教材习题改编)已知点(a，2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A.2C.21B.22D21解析：选C.d|a23|1，所

4、以|a1|2.12（1）2又因为a0，所以a21.(教材习题改编)已知点A(5，1)，B(m，m)，C(2，eqoac(,3)，若ABC为直角三角形且AC边最长，则整数m的值为()A4C2B.3D1解得m1或m，故整数m的值为1，故选D.解析：选D.由题意得B90，m13m2m即ABBC，kABkBC1，所以m51.72已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为_解析：因为l1与l2：xy10平行，所以可设l1的方程为xyb0(b1)又因为l1与l2的距离是2，所以|b1|12122，解得b1或b3，即l1的方程为xy10或xy30.答案：xy10或xy30(

5、教材习题改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_解析：由题意知(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，整理得a2a0，即a0或1.答案：0或1两条直线的位置关系学生用书P147典例引领(1)已知过点A(2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10C0B.2D8又1，所以n8.(2)已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10，试确定m，n的值，使l1与l2相交于点P(m，1)；l1l2；l1l2，且l1在y轴上的截距为1.4m【解】(1)选A.因为l1l2，所以m

6、22(m2)，解得m8(经检验，l1与l2不重合)因为l2l3，所以211n0，即n2.所以mn10.m28n0，(2)由题意得2mm10，解得m1，n7.即m1，n7时，l1与l2相交于点P(m，1)因为l1l2，m2160，所以m2n0，m4，m4，解得或n2n2.即m4，n2或m4，n2时，l1l2.当且仅当2m8m0，即m0时，l1l2.n8即m0，n8时，l1l2，且l1在y轴上的截距为1.(1)已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线垂直两直线的斜率之积等于1.注意当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况(2)由一般式

7、确定两直线位置关系的方法A1B1C1A2B2C22221(A2B20)A1B1C1A2B2C2222直线方程l1与l2垂直的充要条件l1与l2平行的充分条件l1与l2相交的充分条件l1与l2重合的充分条件2l1：A1xB1yC10(A21B10)l2：A2xB2yC20(A22B20)A1A2B1B20(ABC0)A1BA2B2(ABC0)A2B2C2所以a.3ABC注意在判断两直线位置关系时，比例式1与1，1的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答通关练习1若直线2xy10，yx1，yax2交于一点，则a的值为_2xy10，x9，解析：解方程组可得yx1，y8，所以直线2x

8、y10与yx1的交点坐标为(9，8)，代入yax2，得8a(9)2，232答案：2经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_x2y40，x0，解析：法一：由方程组得xy20，y2，即P(0，2)所以直线l的方程为y2x，所以1a.联立可得a2，b2或a，b2.4因为ll3，所以直线l的斜率k3，43即4x3y60.法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.因为l与l3垂直，所以3(1)(4)(2)0，所以11，所以直线l的方程为12x9y180，即4x3y60.答案：4

9、x3y603已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解：(1)因为l1l2，所以a(a1)b0.又因为直线l1过点(3，1)，所以3ab40.故a2，b2.(2)因为直线l2的斜率存在，l1l2，所以直线l1的斜率存在ab又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，4所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即bb.23距离问题学生用书P147典例引领(1)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最A.5C.D小值为()95291018B.29

10、5【解析】(1)因为，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，6282所以|PQ|的最小值为.所以2，a1，由联立可得或b87.所以所求点P的坐标为(1，4)或7，7.【答案】(1)C(2)(1，4)或7，7(2)已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为_3412685|245|29102910(2)设点P的坐标为(a，b)因为A(4，3)，B(2，1)，所以线段AB的中点M的坐标为(3，2)432而AB的斜率kAB11，所以线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy

11、50.因为点P(a，b)在直线xy50上，所以ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，|4a3b2|5即4a3b210，a27，7b4278278处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在55又|153a|3，即|153a|15，两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便注意利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等通关练习1已知P是直线2x3y60

12、上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(1，1)，若|PO|PA|，则P点的坐标为_解析：法一：设P(a，b)，则2a3b60，a2b2（a1）2（b1）2，解得a3，b4.所以P点的坐标为(3，4)法二：线段OA的中垂线方程为xy10，2x3y60，x3，则由解得则P点的坐标为(3，4)xy10.y4，答案：(3，4)2已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围为_解析：由题意得，点P到直线的距离为|443a1|153a|.5解得0a10，所以a的取值范围是0，10答案：0，10对称问题(高频考点)学生用书P148对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常

13、见题型主要命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称典例引领角度一点关于点对称过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_【解析】设l1与l的交点为A(a，82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4，0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x4y40.【答案】x4y40角度二点关于线对称如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB

14、反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A210C33B.6D25【解析】易得AB所在的直线方程为xy4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A2(2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A2(2，0)两间的距离于是|A1A2|（42）2（20）2210.【答案】A角度三线关于线对称直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y30Cx2y10B.x2y30Dx2y10 xx0yy020，x0y2，y2by1，yy【解析】设所求直线上任意一点P(x，)，则P关于xy20的对称点为P(x0，0)，由22得xx（yy）y0 x2，00由点P(x0

15、，y0)在直线2xy30上，所以2(y2)(x2)30，即x2y30.【答案】A(1)中心对称问题的2个类型及求解方法点关于点对称：x2ax1，yy若点M(x1，1)及N(x，)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解直线关于点的对称，主要求解方法：xxyyABC0，yyAB1，xx2k1，2在直线ykxb上，故解析：由题意得线段AB的中点21kb2，2，b，所以直线方程为yx.令y0，即x0，解得x，故直线ykxb在x轴上的截距为.61在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；2求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求

16、直线方程(2)轴对称问题的2个类型及求解方法点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，1212由方程组222121可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行通关练习1与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为_解析：设A(x，y)为所求直线上的任意一点，则A(x，y)在直线3x4y50上，即3x4(y)50，故所求直线方程为3x4y50.答案：3x4y502已知点A(1，3)关于直线ykxb对称的点是

17、B(2，1)，则直线ykxb在x轴上的截距是_3解得k135353552424246565答案：3已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_解析：设点M(3，4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在b411，直线过点M，a（3）3ab42230，解得a1，b0.又反射光线经过点N(2，6)，所以6021y0 x1所求直线的方程为，即6xy60.答案：6xy60两直线位置关系的判断与求解两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.

18、若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意解决对称问题的方法(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直(2)如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可以解决问题(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上解决距离问题应关注以下两点(1)在解题过程中，点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式(2)在两平行直线的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数要对应相等

19、学生用书P311(单独成册)1已知直线l1：mxy10与直线l2：(m2)xmy20，则“m1”是“l1l2”的()A充分不必要条件C必要不充分条件B.充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.由l1l2，得m(m2)m0，解得m0或m1，所以“m1”是“l1l2”的充分不必要条件，故选A.12当0k2时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()A第一象限C第三象限B.第二象限D第四象限k1y2k1.又因为0k，k1k1xk，kxyk1，解析：选B.由得kyx2k，k112k2k1所以x0，故直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在第二象限3若直线l1：yk(x4)与直

20、线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点()A(0，4)C(2，4)B.(0，2)D(4，2)x(解析：选B.由于直线l1：yk(x4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又由于直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2，1)对称，所以直线l2恒过定点(0，2)4若直线l1：ay60与l2：a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为()A.C.423823B.42D22621a62a解析：选C.因为l1l2，所以a23，解得a1，所以l1与l2的方程分别为l1：2382xy60，l2：xy30，所以l1与l2的距离d23.5光线沿着直线y3xb射到直线xy0

21、上，经反射后沿着直线yax2射出，则有()Aa，b6B.a，b6Ca3，bDa3，b13161316解析：选B.在直线y3xb上任意取一点A(1，b3)，则点A关于直线xy0的对称点B(b3，1)在直线yax2上，故有1a(b3)2，即1ab3a2，所以ab3a3，结合所给的选项，只有B项符合，故选B.6直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是_解析：由题意得直线x2y10与直线x1的交点坐标为(1，1)又直线x2y10上的点(1，0)关于直线x1的对称点为(3，0)，所以由直线方程1013解析：因为kAB51314kDC330y0 x3的两点式，得，即x2y30.答案：x2y30BCD7以

22、点A(4，1)，(1，5)，(3，2)，(0，2)为顶点的四边形ABCD的面积为_4，2（2）4.kAD2132534，kBC04314.以kAB112，所以两平行直线的斜率为k，则kABkDC，kADkBC，所以四边形ABCD为平行四边形又kADkAB1，即ADAB，故四边形ABCD为矩形故S|AB|AD|（14）2（51）2（04）2（21）225.答案：258已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是_解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大因为A(1，1)，B(0，1)，所10121所以直线l1

23、的方程是y12(x1)，即x2y30.答案：x2y309已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.|2k1|由已知得2，k21解得k.34此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.所以k

24、l2.解：点C到直线x3y50的距离d.19d，19d，19(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，1kOP由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，|5|最大距离为5.5(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线10正方形的中心为点C(1，0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程|15|3105设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离|1m|3

25、105解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离|3n|3105解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.1已知定点A(1，0)，点B在直线xy0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是()A.2，222B.2211，C.2332D，52，52直线AB和直线xy0垂直，AB的方程为yx10，与xy0联立解得x，y，所以点B的坐标是2，2.A.10解析：选A.因为定点A(1，0)，点B在直线xy0上运动，所以当线段AB最短时，1122112在直

26、角坐标平面内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：xay30相交于点M，则|MP|2|MQ|2的值为()2B.10C5D10解析：选D.由题意知P(0，1)，Q(3，0)，因为过定点P的直线axy10与过定点Q的直线xay30垂直，所以M位于以PQ为直径的圆上，因为|PQ|9110，所以|MP|2|MQ|2|PQ|210，故选D.3.如图，已知A(2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为_解析：从特殊位置考虑如图，因为点A(2，0)关于直线BC：|MA|MC|MB|MD|最小，则点M为所求因为kAC31设B(x0，y0)，则AB的中点M2，2，2x0y010，xy2的对称点为A1(2，4)，所以kA1F4.又点E(1，0)关于直线AC：yx2的对称点为E1(2，1)，点E1(2，1)关于直线BC：xy2的对称点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在，所以kFDkA1F，即kFD(4，)答案：(4，)4在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_解析：设平面上任一点M，因为|MA|MC|