数学思维与数学教学课件-2

1、數學思維與數學教學黃德華博士香港教育學院講師1摘要小學數學教育的主要目的是提升學生的數學能力。而要達至此目的，數學教師對學生的數學思維培養是十分重要的。講者更認為只有提升學生的數學思維能力，才能夠提升學生的真正數學能力，幫助學生運用數學知識，解決數學難題，從而提高學生學習數學的興趣及自學能力。2何謂數學思維？數學是一種思維。Mathematics is a mode of thinking.(CDC 2019)數學是一種溝通的媒介。Mathematics is a mean of communication. (CDC 2019)3數學是甚麼思維？許多老師、數學教育工作者、數學教育家都把數學思

2、維解作：創造性思維 (creative thinking)邏輯性思維 (logical thinking)批判性思維 (critical thinking)，此外還包括：分析 (analysis)、歸納 (induction)、演繹(deduction) 及解決難題 (problem -solving) 及等等的能力。4創造性思維 (creative thinking)例：圓心的關鍵特徵：圓心是圓的中心、並是由兩條直徑相交得出的。創意活動：怎樣找圓心？ (六下單元二：圓)5活動一：如何找出一張圓形紙的圓心？方法：摺紙向右對摺一次向下對摺一次展開，摺痕的交點便是圓心。6活動二：如何找出一隻圓形碟

3、的圓心？方法：利用圓周角是直角的方法。7利用直尺在圓周上畫出直角。圖中的 AB 是圓的直徑。AB重覆在圓上畫直角三角形。ABDC圖中的 CD 是圓的另一條直徑，AB 和 CD 的交點便是圓心。ABDCAB8活動三：如何找出一個圓形水池的圓心？方法：利用一根繩，找出最長的弦。圓的最長的弦一定是直徑。9邏輯性思維 (logical thinking)例： 小明比小強高，小強比小英高。(一上單元六：長度和距離 (一) )小明小強小英小強那麼，小明比小英 (高 / 矮)。若 A B 及 B C，則 A C。10例：圖中有箱 12 個。將第一隻雞蛋放入 A 箱，將第 2 隻雞蛋放入 B 箱，如此類推。第

4、 100 隻雞蛋會放入哪一個箱中？(四上單元二：除法(二) )答案11圖中有箱 12 個。由於 100 12 = ， 第 100 隻雞蛋應放在由 A 箱數起第 個箱中，即 箱。844D12批判性思維 (critical thinking)小芬統計了 4D 班同學最喜愛的動物，並製作了以下的棒形圖。標題正確嗎？如不正確，請建議一個新的標題。橫軸和縱軸編寫正確嗎？說說看。c.你還找到其他錯處嗎？答案(四下單元七：棒形圖 (一) )13c.代表大象的棒太闊。棒形圖中每一棒的闊度應該相同，我們不應因為某動物的體型較大便畫上較闊的棒。a.不正確。標題沒有說明統計的對象。建議標題為 “4D 班同學最喜愛的

5、動物”。b.不正確。圖像欠了橫軸名稱：“動物” 和縱軸名稱： “人數”。標題正確嗎？如不正確，請建議一個新的標題。橫軸和縱軸編寫正確嗎？說說看。c.你還找到其他錯處嗎？14分析 (analysis)例：兩隻小熊以不同路線回家，你知道哪一條回家的路線較短呢？(一上單元六：長度和距離 (一) 小熊 A小熊 B答案15小熊 A 的路線長 段，小熊 B 的路線長 段。所以，小熊 _ 的路線比小熊 _ 的短。1213AB小熊 A小熊 B16歸納 (induction)例：觀察首 4 個乘法算式，找出當中的規律，然後計算出餘下等式的積。a.102 9 = 918b.203 9 = 1827c.304 9

6、= 2736d.405 9 = 3645e.506 9 = f.607 9 = g.708 9 = h.809 9 = 答案(三上單元三：乘法 (一) )17a.102 9 = 918b.203 9 = 1827c.304 9 = 2736d.405 9 = 3645e.506 9 = f.607 9 = g.708 9 = h.809 9 = 102 9 = 9181 9 = 92 9 = 18455454636372728118演繹 (deduction)例：下圖中，C 是直線 BD 的中點。AE 平行 BD。BDEF 是一個平行四邊形。已知三角形 ABC 的面積是 10 cm2。求平行四

7、邊形 BDEF 的面積。 (五上單元五：面積 (二) )答案19由 A 和 F 點分別作垂直線至 BD。三角形 ABC 的面積= BC AH 210 cm2= BC AH 2所以，BC AH= 20 cm2平行四邊形 BDEF 的面積是：BD FG= 2 BC AH= 2 20= 40 (cm2)還有其他計算方法嗎？20利用本科知識解決難題 (problem - solving)例：小芬有兩包不同味道的糖果，一包有 10 粒，另一包有 15 粒。她想把糖果均分給若干位小朋友，每人分得糖果的數量是一樣的。問小朋友最多可以是多少人？(四上單元五：公倍數和公因數 )答案21小朋友的人數必可同時整除

8、10 和 15，即小朋友的人數應是 10 和 15 的最大公因數。10 的因數有：1, 2, 5, 1015 的因數有：1, 3, 5, 1510 和 15 的最大公因數是：5因此，小朋友最多可以是 5 人。22計算 23 13。(四上單元一：乘法 (二) )除了以上的思維能力外，還有很多不同的思考方法，例如：23 13 = 23 (10 + 3) = 23 10 + 23 3 = 230 + 6923 102 3 023 36 923 10 + 23 32 9 9 = 299知識轉移23計算 。(五上單元三：分數 (四) )24如何提升學生的數學能力？數學能力包括數學思維及基礎運算能力。宜先

9、加強基礎數學知識與運算能力。要求學生多做多練，提升他們的數學概念的認識與運算操作的能力。然後便加強培訓學生的思考能力，解決非常規數學難題。25數學思維的培訓模式宜利用基礎至高階的教學程序進行 (Basic to Advance Model)基礎包含數學概念和技巧由於數學概念和技巧都是合乎邏輯推理的思維模式，這正是培養學生思維的基本元素。26一般數學教學能否配合這模式？一般數學教學的模式，大體上分為兩種：傳統教育模式培養學生自身思考的教學的模式 27傳統數學的教學模式 博文強記 以教師為中心 講授式教學學生沒有積極的思考、發問和質疑的機會 機械式操練、背誦28培養學生自身思考的數學的教學模式 以

10、學生為中心學生不斷思考、不斷嘗試、不斷探究學生可透過已有知識，探究新的知識29數學思維與數學方法數學方法是指我們學習數學知識、解答數學難題時所採用的方法。當中包括思考過程及獲取知識的步驟。數學方法的培養應與數學思維融為一體。教授數學知識的過程中應包括誘導學生透過思考、理解、探究、歸納等形式獲取學習該數學知識的方法和程序。因此，任何數學知識中都應包含相關的、可行的數學方法和思考方式。30數學思維、數學方法與教學材料數學思維是無形的東西，大多不能具體全面性的寫在教材內。教師應在備課時深入分析、理解、掌握所教授的知識所包含的數學方法和思維模式。宜透過討論，闡述方法的作用。在知識傳遞的過程中，揭示數學

11、方法，培訓學生的數學思維。 31如何強化新形式的數學思維？數學能力是結合操作與解難的能力。正如前文所述，數學是不單要多做多練，更要多思考地應用在不同情境中。因此，老師可設計一些類同剛學會的思維方式的延展問題，藉以強化和訓練學生應用這些新學的數學思維方法，隨後再透過思維能力評估等練習，使學生能熟練運用數學中的思維方式解答非常規難題，從而達到提升學生的學習自覺性，激發他們的學習興趣。全方位數學思維訓練：四下單元一32設計校本教材專業的數學老師當然有能力自我編寫相關的校本教材。時間？人力資源？合符經濟原則嗎？33小學數學 全方位數學思維訓練小小溫習室基本能力測試數學思維訓練數學思維訓練方法延展問題數

12、學思維應用出版社編寫的輔助教材34數學思維培訓的常用模式舉隅35例 1.結合具體實例作思考。分析(a)(b)？(c)？36(a)：分數概念的簡單事例，包括例子、非例子。這有助加深對分數概念的理解，提升辨別具體實例的能力(涉及批判性思維)。(b) 和 (c) ： 分數概念的變式事例。分數概念的等份特徵暗藏起來，要識別每份是否相等，需作深入的分析和思考。37延展問題(a)(b)求下圖佔全個圖形的幾分之幾。38思維應用比較 和 ，哪個較大？由於 ，所以 。394 5 2 3 = 21利用 2、3、4 和 6，加上運算符號，使算式等於 21。(三下單元一：四則運算 (一)例 2.判斷及試誤的能力。40

13、例 3.逆思法美儀原有郵票若干枚，哥哥給了她 176 枚後，她捐贈了其中的 432 枚給集郵學會。她現在有郵票 912 枚。問美儀原有郵票多少枚？(二下單元二：加與減 (三)答案41美儀原有郵票：912 432 176= (枚)+116842例 4.利用數線解題(a)果園有芒果樹和蘋果樹。芒果樹有 1200 棵，而蘋果樹的數量比芒果樹的 2 倍多 80 棵。蘋果樹有多少棵？(四上單元四：倍數和因數)答案43因此，蘋果樹有： 2 + = (棵)1200802480芒果樹：1200 棵蘋果樹：2 倍80 棵44(b)小珊原有 150 元，買了練習簿 5 本後，還有 75 元。問練習簿每本售多少元？

14、(六下單元六：簡易方程(二)答案455x 元元150 元設練習簿每本售 x 元，則 5 本練習簿售 5x 元。 150 5x= 5x = 150 5x = = x = 所以，練習簿每本售 元。 7575757575151546例 5.利用列表解題一井底蛙想跳出一口深 6 米的井。牠每一跳可向上前進 2.5 米，然後下滑 1.3 米。問這隻青蛙需要跳多少次才能離開這口井？(五下單元一：小數(二)答案47跳的次數 離井底的距離 (米) 下滑後離井底 的距離 (米)12.52.5 1.3 = 1.2這隻青蛙需要跳 次才能離開這口井。4此時，青蛙已跳至井口。21.2 + 2.5 = 3.73.7 1.3 = 2.432.4 + 2.5 = 4.94.9 1.3 = 3.643.6 + 2.5 = 6.148例 6.利用移項湊整解題利用移項湊整計算 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9。答案(二上單元二：加與減 (二)491 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9= (1 + 9) + (2 + ) + (3 + ) + ( + ) += + + + + = += 8746455405